Дериватив ашиглан тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх. Деривативыг ашиглан тэгшитгэлийг шийдвэрлэх, тэгш бус байдлыг батлах, шийдвэрлэх. Хичээлээс гадуурх үйл ажиллагаанд зориулсан материал. Үүсмэл хэлбэрийг ашиглан илэрхийллийг хүчин зүйл болгох

1.3. Тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд деривативыг ашиглах

Деривативын тусламжтайгаар тэгшитгэлийн үндэс байгаа эсэх, зарим тохиолдолд тэдгээрийг хайх асуудлыг хэрхэн шийдэж болохыг харуулъя. Өмнөх нэгэн адил энд гол үүрэг нь монотон байдлын функцийг судлах, түүний туйлын утгыг олох явдал юм. Үүнээс гадна монотон ба тасралтгүй функцүүдийн хэд хэдэн шинж чанарыг ашиглах болно.

Өмч чанар 1. Хэрэв f функц нь зарим нэг интервалд нэмэгдэж, буурч байвал энэ интервалд f(x)=0 тэгшитгэл хамгийн ихдээ нэг язгууртай байна.

Энэ баталгаа нь өсөлт ба буурах функцүүдийн тодорхойлолтоос шууд гардаг. f(x)=0 тэгшитгэлийн язгуур нь y=f(x) функцийн графикийн х тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийн абсциссатай тэнцүү байна.

Шинж чанар 2. Хэрэв f функц тодорхойлогдсон бөгөөд интервал дээр үргэлжилсэн бөгөөд төгсгөлд нь өөр өөр тэмдгийн утгыг авдаг бол a ба b хооронд f(c)=0 байх c цэг байна.

Асуудал 1.12. тэгшитгэлийг шийд

Тэгшитгэлийн үндэс нь юу болохыг анхаарна уу. Энэ тэгшитгэлд өөр үндэс байхгүй гэдгийг баталцгаая. Бид f функцийг судалж, хаана , монотон байдлын хувьд. Дериватив . Функц тэмдэгээ хадгалах интервалуудыг тогтооцгооё. Үүнийг хийхийн тулд бид монотон байдлыг шалгадаг. Дериватив . Учир нь , дараа нь төлөө . Тиймээс х-ийн эерэг утгуудын хувьд функц нэмэгдэж байна; . Тиймээс . Функц нь тэгш байдаг тул бүх зүйлд эерэг утгыг авна. Иймд f нь бүхэл тооны шулуун дээр нэмэгдэнэ. 1-р шинж чанарын дагуу тэгшитгэл нь хамгийн ихдээ нэг үндэстэй байна. Тэгэхээр тэгшитгэлийн цорын ганц үндэс нь юм.

Асуудал 1.13. Тэгшитгэлийн системийг шийд

Систем нь дараахтай тэнцүү байна.

Эхний тэгшитгэлээс , хоёрдугаарт - . Бид эхний x тэгшитгэлээс у-ээр илэрхийлнэ: , . Дараа нь . тавих, бид авдаг эсвэл . f функцийн дериватив энд , -тэй тэнцүү байна. t-ийн бүх утгын хувьд сөрөг байна. Тиймээс f функц буурч байна. Тиймээс тэгшитгэл нь хамгийн ихдээ нэг үндэстэй байна. Үүний үндэс нь юу болохыг анхаарна уу. Тэгэхээр системийн цорын ганц шийдэл.

Асуудал 1.14. Тэгшитгэл интервалд орших өвөрмөц язгууртай болохыг батал.

Тэгшитгэлийг хэлбэрт эквивалент хувиргалтаар багасгасан . f функц нэмэгдэж байна, учир нь бүгдээрээ. 1-р шинж чанарын дагуу тэгшитгэл нь хамгийн ихдээ нэг шийдэлтэй байна. f функц нь тасралтгүй, үүнээс гадна, , . 2-р шинж чанарын улмаас интервал дээрх тэгшитгэл нь үндэстэй байна.

Бодлого 3-т тэгшитгэлийн язгуур нь ямар нэг интервалд хамаарах болохыг нотлохыг шаардсан. Бид энэ сегментийн төгсгөлд өөр өөр тэмдгийн утгыг авдаг сегмент дээр тасралтгүй функцийн 2-р шинж чанарыг ашигласан. Иймэрхүү асуудлыг шийдэхэд энэ зам үргэлж зорилгод хүргэдэггүй. Заримдаа ялгах функцүүдийн дараах шинж чанарыг ашиглах нь зүйтэй.

3-р шинж чанар (Роллегийн теорем). Хэрэв f функц нь интервал дээр тасралтгүй, (a,b) болон f(a)=f(b) интервал дээр дифференциалагдах боломжтой бол ийм цэг байна.

Геометрийн хэлээр 3-р шинж чанар нь дараах утгыг илэрхийлнэ: хэрэв , тэгвэл муруйн график дээр координаттай С цэг байгаа бөгөөд графын шүргэгч нь x тэнхлэгтэй параллель байна.

Асуудал 1.15. -ийн тэгшитгэл хамгийн ихдээ нэг бодит язгууртай болохыг батал.

Тэгшитгэл дор хаяж хоёр үндэстэй гэж үзье. f функц нь бүхэл бүтэн бодит шугам дээр ялгагдах боломжтой. Учир нь , тэгвэл 3-р шинж чанарын дагуу түүний интервал дээрх дериватив үндэстэй байна. Гэсэн хэдий ч -ийн хувьд тэгшитгэлд шийдэл байхгүй. Олж авсан зөрчилдөөн нь тэгшитгэл нь нэгээс олон үндэстэй байж болохгүй гэдгийг харуулж байна.

Асуудал 1.16. Олон гишүүнт , , гэдгийг батал.

Хамгийн ихдээ n үндэстэй.

3-р шинж чанарын дагуу олон гишүүнтийн хоёр язгуурын хооронд түүний деривативын дор хаяж нэг язгуур оршино. Иймд f(x) олон гишүүнт , ялгаатай үндэстэй бол түүний дериватив нь хамгийн багадаа (k-1) үндэстэй байх ёстой. Үүнтэй адилаар - хамгийн багадаа k-2 үндэс гэх мэт, n-р дериватив - хамгийн багадаа (k-n) үндэс, . Энэ нь тэгээс ялгаатай тогтмол тоо учраас энэ нь боломжгүй юм.

Асуудал 1.17. Олон гишүүнт 0-1 () хооронд үндэстэй болохыг батал.

Зорилтот шинж чанар 2-ыг ашигласнаар үр дүн гарахгүй, учир нь . g функцийг авч үзье, энд . Үүний тулд f функц нь дериватив юм. Түүнээс хойш , дараа нь өмчийн дагуу 3, зарим нь .

Асуудал 1.18. Тэгшитгэл гэдгийг батал жинхэнэ үндэс байхгүй.

Байцгаая , дараа нь . Хэрэв x нь тэгшитгэлийн язгуур бол , i.e. f функц нь залгамж чанараараа язгуур тус бүрийн ойролцоо багасдаг. Хэрэв тэгшитгэл нь үндэстэй бол сөрөг байна гэдгийг анхаарна уу. n-р зэргийн олон гишүүнт n-ээс ихгүй үндэстэй гэдгийг мэддэг. Үндэсүүдийн хамгийн том нь гэж тэмдэглэнэ. Дараа нь ийм зүйл байдаг. -ээс хойш интервал нь f(x) олон гишүүнтийн язгуурыг агуулсан байх ёстой. зөрчилтэй болсон.

f, g нь харилцан урвуу, ижил тодорхойлолтын мужтай нэмэгдэж буй функцүүдийн тэгшитгэлийг авч үзье. Энэ тэгшитгэл нь тэгшитгэлтэй тэнцүү болохыг харуулъя. (3)

Үнэн хэрэгтээ, (3) тэгшитгэлийн язгуурыг a гэж үзье, өөрөөр хэлбэл. . G функцийн домэйн нь f функцийн утгуудын олонлогтой давхцаж байгаа бөгөөд эсрэгээр нь бид дараахь зүйлийг бичиж болно. , эсвэл , i.e. , ба тэгшитгэлийн үндэс .

Харин эсрэгээр, зөвшөөрөх, гэхдээ . Дараа нь эсвэл . анхны тохиолдол. Хоёр дахь тохиолдолд ч мөн адил.

Тиймээс тэгшитгэлийг эквивалент хувиргах тодорхой нэг аргыг олж авсан.

Асуудал 1.19. Тэгшитгэлийг шийд.

Энэ тэгшитгэлийг хэлбэрээр дахин бичье . Чиг үүрэг тасралтгүй, өсөх (хоёр нэмэгдэж буй функц ба -ын нийлбэр) тул урвуу утгатай байна. Үүнийг олцгооё: , . Тэгэхээр f-ийн урвуу функц байна , тэгшитгэлийн баруун талтай давхцаж байна. Дээрхээс үндэслэн тэгшитгэл нь тэгшитгэлтэй тэнцүү байна . Энэ нь тэгшитгэлийн үндэс болох нь ойлгомжтой. Тэгшитгэлд өөр үндэс байхгүй эсэхийг шалгаарай.

Боловсруулсан таамаглал нь дараахь ажлуудыг шийдвэрлэх шаардлагатай байв: 1. Математикийг заахдаа тригонометрийн тэгшитгэл ба тэгш бус байдлын үүргийг тодорхойлох; 2. Тригонометрийн дүрслэлийг хөгжүүлэхэд чиглэсэн тригонометрийн тэгшитгэл, тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх чадварыг бүрдүүлэх арга зүйг боловсруулах; 3. Боловсруулсан аргачлалын үр нөлөөг туршилтаар шалгах. Шийдлийн хувьд...

Координатын тэнхлэгийн цэгүүд. Хичээлийн дугаар 4. Сэдэв: Аналитик арга. Салбарын арга. Хичээлийн зорилго: оюутнуудад параметр агуулсан тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үндсэн аргыг танилцуулах. Багшийн унших: , , , , Оюутны уншлага: Хураангуйг үзнэ үү: Параметр авч болох өөр өөр утгыг харна уу. Тэгшитгэлийг хялбарчилж, тэгшитгэлийг бүтээгдэхүүнд авчрах...

Алгебр, шинжилгээний эхлэл, улсын эцсийн баталгаажуулалтад бэлтгэх, хөндлөнгийн хараат бус үнэлгээ. Хангалттай олон тооны асуудал нь хязгааргүй жижиг хэмжигдэхүүнийг шинжлэх боломжуудыг харуулж байна. 1. Дериватив ба түүний хэрэглээний бодлого шийдвэрлэхэд ашиглах арга 1.1 Түүхэн мэдээлэл Дифференциал тооцооллын хэд хэдэн асуудлыг эрт дээр үед шийдэж байжээ. Тэд уулзсан ...

Дээрх теорем нь шийдлийн оршихуй ба өвөрмөц байдлын теоремуудыг батлахад априори тооцоолол чухал болохыг гэрчилж байна. Бүлэг 2. Хэрэглээний жишээ 1. λ жижиг бодит параметртэй интеграл тэгшитгэлийг авч үзье: (1) Энэ нь А()х = у() хэлбэрийн тэгшитгэл – С[-π дахь оператор тэгшитгэл; π], энд A() нь 0 цэгт аналитик болохыг харуулъя, өөрөөр хэлбэл, хэд хэдэн төрөл зүйлд задардаг. Функцийг задалж үзье ...

Хэмжээ: px

Сэтгэгдэлийг дараах хуудаснаас эхлүүлэх:

хуулбар

1 1 Тэгшитгэлийг шийдвэрлэх, тэгш бус байдлыг батлах, шийдвэрлэхэд дериватив ашиглах. Сонгомол хичээлийн материал Пирютко О.Н. - БСШУСЯ-ны Математик, математик заах аргын тэнхимийн дэд профессор, Ковгореня Л.В. - Математик, заах аргын тэнхимийн магистрант Беларусийн Улсын Багшийн Их Сургуулийн Математик Уламжлал ёсоор сургуулийн сурах бичигт деривативыг ашиглах нь түүний физик, геометрийн утга, функцүүдийн судалгаа, график, оновчлолын асуудлыг шийдвэрлэхэд зориулагдсан болно. Уг нийтлэлд тэгшитгэл, тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхэд дериватив ашиглах талаархи материалыг санал болгож байна. , нэмэлт ангиудад ашиглаж болох тэгш бус байдлын нотолгоо, одоо байгаа сурах бичгүүдийн хамт математикийн гүнзгийрүүлсэн сургалттай ангиудад сурах бичгийг ашиглахыг зөвлөж байна Тэгшитгэлийг шийдвэрлэхийн тулд дериватив ашиглах (хичээл 1) Боловсролын зорилго: ур чадварыг бий болгох. f(x)=0 тэгшитгэлийг f(x) функцийг дериватив ашиглан шалгаж шийдвэрлэх; язгуур оршин байгаа, өгөгдсөн тэгшитгэлийн язгуурын өвөрмөц байдлыг деривативын тусламжтайгаар нотлох ур чадварыг бий болгох Хөгжих зорилго: тэгшитгэлийг шийдвэрлэх алгоритмыг ашиглахдаа ерөнхийлөлт, тодорхой болгох аргуудыг ашиглах чадварыг хөгжүүлэх; тэгшитгэлийг шийдвэрлэх нэг буюу өөр аргыг сонгохдоо аналоги, харьцуулалт, харьцуулалт, ангиллыг ашиглахыг заах Боловсролын зорилго: асуудлыг шийдвэрлэхдээ нарийвчлал, тодорхой, тууштай байдлыг төлөвшүүлэх; өөрийн хүмүүжлийн болон танин мэдэхүйн үйл ажиллагааг төлөвлөх чадварыг бүрдүүлэх Онолын үндсэн заалтуудыг давтах Өгөгдсөн интервал дахь функцийн өсөлт (бууралт) -ийг тодорхойлох Функц нь тухайн интервалд нэмэгдэх (бууралт) -ийг тодорхойлох

2 2 дурын цэг ба нөхцөлийг хангасан интервалаас тэгш бус байдал үнэн байна.Өөрөөр хэлбэл, Өсөх буурах функц I дээр нэмэгдэж, буурах функцийг I дээр монотон гэнэ. Функцийг нэмэгдүүлэх хангалттай шалгуур Хэрэв I интервалын цэг бүрт > 0 байвал функц I-ээр нэмэгддэг Функцийг бууруулах хангалттай шалгуур Хэрэв< 0 в каждой точке интервала I, то функция убывает на I Или кратко: Теорема1 (первая теорема Больцано-Коши) Пусть функция непрерывна на отрезке и на концах отрезка принимает значения разных знаков, тогда на интервале существует хотя бы одно значение такое, что Теорема II Если функция непрерывна на промежутке I, а ее производная неотрицательна(соответственно неположительна) внутри I и равна нулю лишь в конечном множестве точек, то функция возрастает (соответственно убывает) на I Перейдем к решению задач Решить уравнение это значит найти все корни уравнения или доказать, что уравнение корней не имеет Одним из методов решения уравнений является определение корня, тн «подбором» Этот метод используется в случаях, когда вычислением находится один или несколько корней уравнения, но решить уравнение с помощью тождественных преобразований не

3 3 боломжтой юм шиг эсвэл төвөгтэй хувиргахад хүргэдэг Хэрэв тэгшитгэл нь олдсоноос өөр үндэсгүй гэдгийг батлах боломжтой бол асуудал шийдэгдэнэ. , x хувьсагчийн утгын язгуурыг тооцоолоход "тохиромжтой" гэдэгт дүн шинжилгээ хийж, энэ тэгшитгэлийн язгуур Энэ язгуур нь өвөрмөц гэдгийг 1 функцийн монотон шинж чанарыг ашиглан баталъя. Энэ тэгшитгэлийг дараах хэлбэрээр бичье: 2 Let; 3; 4, тодорхойлолтын бүх мужид 5 Функц нь нэмэгддэг тул тэгшитгэл нь нэгээс илүү язгуургүй тул сонгосон язгуур нь энэ тэгшитгэлийн цорын ганц язгуур байна Хариулт: Энэ төрлийн бодлого бодох алгоритмуудыг томъёолъё Алгоритм (I) ) дериватив ашиглан тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд: »хувьсагчийн утгыг тооцоолох, тэгшитгэлийн язгуур 2 Тэгшитгэлийг хэлбэрт оруулах; 3Функцийн домайныг олох 4Функцын монотон эсвэл хамаарах интервалыг судлах; 5Хэрэв авч үзэж буй интервал дээр функц нэмэгдэж (багасвал) энэ интервал дээр тэгшитгэлийн олдсон язгуурын өвөрмөц байдлын талаар дүгнэлт хий. хэлбэр; 2 Функцийн хамрах хүрээг ол;

4 4 3 Функцын монотон байдал эсвэл 4-т хамаарах интервалыг судлах боломжтой бол D(f)-ийн сегментийн төгсгөлд байгаа функцын утгын тэмдгүүдийг шалгана уу; 5 Дүгнэнэ үү: o хэрэв интервал () дотор байвал хамгийн ихдээ нэг утга байна; o хэрэв интервал дээр байвал (мөн дараа нь дараах тэгшитгэлийг алгоритм ашиглан шийднэ үү 2 тэгшитгэлийг шийднэ үү 1. Энэ тэгшитгэлийн язгуур нь 2 болохыг тодорхойлно уу. Энэ тэгшитгэлийг дараах хэлбэрт буулгана: 3 ; =0 4 дээр тодорхойлолтын бүх талбар (Анхаарна уу) 5 Функц нь нэмэгддэг тул тэгшитгэлийн олсон язгуур нь цорын ганц хариулт болно: 3 Тэгшитгэл 1-ийг шийд. Энэ тэгшитгэлийн язгуур нь 2 гэдгийг бид тодорхойлно. : =0; 3

5 5 Функц нь тэгш, тиймээс энэ нь мөн энэ тэгшитгэлийн язгуур мөн болохыг анхаарна уу.Иймээс функц хагас интервал дээр монотон гэдгийг батлахад хангалттай; 4 дээр; 5Функц хагас интервал дээр буурдаг тул тэгшитгэл нь функцийн тэгш байдлаас шалтгаалан өөр үндэсгүй болно Хариулт: 4 Тэгшитгэл 1-ийг шийдэнэ Энэ тэгшитгэлийн язгуурууд нь 2 утгатай болохыг анхаарна уу. хэлбэрт оруулах: Функц нь тэгш байх тул хагас интервал дээр монотон гэдгийг батлахад хангалттай; 4 хагас интервалаар; 5 Функц нь хагас интервалаар өсөх тул тэгшитгэл нь паритетаас шалтгаалсан нь Хариултаас өөр язгуургүй болно: 5 Тэгшитгэл нэг язгууртай болохыг батал. Баталгаажуулахдаа II алгоритмыг ашиглая. ; Анхаарна уу,

6 6 3, 4 Дериватив нь 5 цэгээс нэг цэгт алга болох тул x-ийн хувьд бид нэмэгдэх болно. Тиймээс тэгшитгэл нь нэг язгууртай тул энэ язгуур 6 байгааг харж болно. тэгшитгэл; 2; 3 D 4 5-т функц нь хагас интервалаар өсдөг тул тэгшитгэлд x=1-ээс өөр язгуур байхгүй Хариу: 7 1-р тэгшитгэлийг шийд. Энэ тэгшитгэлийн язгуур нь 2 болохыг тодорхойлно; 3D; 4 Функц нь тэгш* тул энэ нь бас язгуур юм x=0 нь энэ тэгшитгэлийн үндэс биш гэдгийг анхаарна уу. Функц нь интервал дээр монотон, өөр байхгүй гэдгийг харуулъя.

7 7 *Паритетийн баталгаа: 1) тэгтэй харьцангуй 2) Функцийн муж нь тэгш хэмтэй 8 Тэгшитгэлийг шийд Энэ тэгшитгэлийн язгуур нь 1 Let гэдгийг харж болно; 2 Функц нь үндсэн үетэй тэгш ба үечилсэн байна Тиймээс тэгшитгэлийн шийдлүүд нь мөн адил байх болно, Бид тэгшитгэлд өөр язгуур байхгүй гэдгийг харуулах болно. Иймээс функц монотон байгаа эсэхийг шалгахад хангалттай, жишээ нь: интервал 3 гэж, тэгвэл функц нь заасан интервал дээр нэмэгдэж байна 4 Эндээс тэгшитгэлийн үндэс нь зөвхөн байх болно, Хариулт:, 9 Тэгшитгэлийг шийд. Энэ тэгшитгэлийн язгуур нь хувьсагч 1 Let; 2 Функц нь тэгш ба үндсэн үетэй үе үе байдгийг анхаар.Тиймээс тэгшитгэлийн шийдүүд мөн адил байх болно, Тэгшитгэлд өөр үндэс байхгүй гэдгийг харуулъя.

8 8 3-р интервал дахь функц нь заасан интервал дээр монотон байгаа эсэхийг шалгахад хангалттай, функц нэмэгдэж байна 4 Тэгшитгэлийн үндэс нь дараах байдалтай байна, Хариулт:, Санал болгож буй даалгаврууд нь дараахь зүйлийг хийх боломжтой гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. үүсмэл хэлбэрийг ашиглахгүйгээр шийдвэрлэх.Үүсвэрийн бусад аргуудыг авч үзэж, оюутнуудтай ярилцахыг зөвлөж байна. Зарим тэгшитгэлийн өөр аргыг ашиглан товч шийдлийг өгье 1 x>0 хувьд y= x 2 +9 функц өсөж, буурдаг болохыг анхаарна уу. , нэмэгдэнэ, нэмэгдэнэ Иймд аргументын нэг утгад хамгийн ихдээ 24-тэй тэнцүү сүүлийн утгыг авна. Иймээс сонгосон x=4 утга нь энэ тэгшитгэлийн цорын ганц шийдэл бөгөөд энэ тэгшитгэлийн үндэс нь 3 байна. орлуулах:, дараа нь тэгшитгэлийн шийдийг системийн шийдэл болгон бууруулна (t + k \u003d 4, k 4 + t). 4 =82 Хоёр дахь тэгшитгэлийг хэлбэрт оруулъя: Энэ тэгшитгэлээс tk=3 буюу tk=29 Шийдвэрлэх системүүдийг олно (t+k=4, kt=3; (t+k=4, kt=29, бид t=1, k=3 эсвэл t=3, k=1 (1)-д орлуулснаар бид x= болно.

9 9 4 x 0 язгуур тус бүрд - x 0 тоо нь мөн тэгшитгэлийн язгуур болохыг анзаарч, бид үүнийг x>0-ийн хувьд шийднэ Хаалт нээж, тэгшитгэлийн зүүн талыг хүчин зүйл болгон хуваахдаа бид дараахь зүйлийг олж авна. тэгшитгэл нь интервал дээр байна Дараах даалгавруудыг авч үзье: 1 Баталгаажуулахын тулд интервал дээрх функцийг авч үзэх; Функц нь ба гэсэн утгаар буурч байгааг харцгаая

11 11 Хэсэгтийн зүүн хилээр тэмдэглэнэ: Дараа нь хэрчим дээрх буурах функцийн улмаас энэ хэрчмээс бүх х-ийн буурах функцийн тодорхойлолтоор бид х-ийн монотон байдлын функцийг судлах буюу 2 олж авна: ; функцийн деривативыг олох; Жишээ 1-ээс харахад функц тасралтгүй асаалттай байх ба функцийн дериватив нь энэ сегментийн нэг цэг дээр тэгтэй тэнцүү байх үед авч үзэж буй сегмент дээр функц нэмэгддэг.Хэсэгтийн зүүн хилээр тэмдэглэнэ. , 1-р нотлох баримтад тэгш бус байдал биелнэ гэдгийг 2-ыг ; 3, at Тиймээс хамгийн бага цэг нь мөн 4 дээрх функцийн хамгийн бага утгын цэг юм. Дериватив ашиглан тэгш бус байдлыг нотлох алгоритм (iii) зохиох: 1 Тэгш бус байдлыг хэлбэрт оруулах;

12 12 2 Функцийн хамрах хүрээг ол; 3 Монотоник ба экстремын функц эсвэл 4-д хамаарах интервалыг судал. 0-г (тэгш бус байдлын баруун талд) (); 5 Тэгш бус байдлаас дүгнэхэд: хэрэв функц нэмэгдвэл; хэрэв функц буурч байвал; Энэ алгоритмын дагуу бид дараах даалгавруудыг гүйцэтгэнэ: 4 Баталгаат 1 Let-ийн тэгш бус байдлыг батал; 2 3, ; 4 5 байг ба өсөх функцийн тодорхойлолтоор нотлогдсон 5 Баталгаат 1-ийн хувьд гэдгийг баталъя; 2 3 бидэнд байгаа үед; 4 5 байг, бид нотолсон байх болно, 6 1-ийн бүх утгыг тодорхойлох; 2

13 13 3, 4 At, at Иймд функцийн хамгийн их цэг; f(1)=0 тул f(x)< 0 при всех Ответ: неравенство выполняется при 7 Решить неравенство: Для решения этого неравенства важно сравнить основание логарифма (x-lnx)c единицей В задаче 6 занятия 2 показано, что x-lnx 1, поэтому для x>0, x 1(1) энэ тэгш бус байдал нь тэгш бус байдалтай тэнцэнэ. Энэ илэрхийлэлийг түүнтэй давхцаж буй тэмдгээр сольж шийднэ. Тэгш бус байдлыг шийдэж, (1) ба нөхцөлүүдийг харгалзан үзээд y = x функцийн мужийг олж авна. энэ систем x (тодорхойлолтын хүрээг харгалзан бид хариултыг авна: энэ тэгш бус байдлын шийдэл x Хариулт: x

14 14 8 Тэгш бус байдал үнэн үү? 1 Энэ тэгш бус байдлыг дараах хэлбэрээр дахин бичье:, 2 f(x) = x + cox функцийг авч үзье Үүнийг монотон байдлын хувьд (, бид x 3-ийн хувьд функц нэмэгддэг болохыг олж мэдье. Тэгтэл тэгш бус байдал үнэн болж хувирав. 8 тэгш бус байдал үнэн үү? 1 Зарим хувиргалтуудыг хий, 2 , 3 гэж бодъё, учир нь 4 интервал дээр функцийг авч үзэх нь зүйтэй, Бид байгаа үед; бид байгаа үед; өөрөөр хэлбэл, цэг нь хамгийн их цэг бөгөөд энэ цэг нь интервал дээрх зөвхөн экстремум цэг, энэ нь мөн функцийн хамгийн том утгыг авах цэг юм 5: 6Тиймээс, эдгээрийн хувьд тэгш бус байдал нь үнэн Дээрх дасгалууд дээр үндэслэн бид тоон тэгш бус байдлыг нотлох алгоритмыг (iv) томъёолдог. дериватив нь юу вэ? нотлох баримт

15 15 Тэгш бус байдлыг дараах хэлбэрт шилжүүлнэ:, 1 2 функцийг бодъё. Түүнээс хойш, дараа нь 3, 4, өгөгдсөн интервал дээр функцийг авч үзье Өгөгдсөн интервал дээрх функцийн өсөлтийн тодорхойлолтыг ашиглана уу. Өмнөх нь:, Гарсан тэгш бус байдлыг үржүүлбэл: Батлагдсан 10Үүнийг батална: a ) > ; б)? a) 1 Энэ тэгш бус байдлын логарифмыг авъя: Бид сүүлчийн тэгш бус байдлыг хэлбэрээр илэрхийлнэ, энд, ; 2Функцийн деривативыг ол:)Тиймээс, at, at, at 3Let, Функцийн өсөлтийн тодорхойлолтыг өгөгдсөн интервал дээр ашиглавал: b) 1Энэ тэгш бус байдлын логарифмыг авъя: ;

16 16, 2 Тэгш бус байдлыг энд, 3 хэлбэрээр илэрхийлье: Функцийн деривативыг ол: Иймээс at, at 4 Let, Өгөгдсөн интервал дээр буурч буй функцийн тодорхойлолтыг ашигла:, 11 Илүү юу вэ:? 1 Энд, 2 гэсэн хэлбэрээр функцийн деривативыг олъё гэж бодъё. Сүүлчийн тэгш бус байдлыг:, тиймийн тул, at, at x = e үед илэрхийлье, тэгвэл функц нь x 3 : 12-ын хувьд буурна гэж бодъё. 1 2 гэж бодъё, хаана, ; Жишээ 10б) нь хэзээ гэдгийг харуулж байна

17 17, тиймээс функц нь 3 хувьд буурна. Өгөгдсөн интервал дээр буурна, бид өгөгдсөн интервал дээр буурч буй функцийн тодорхойлолтыг ашиглана:, Таамаглал буруу болсон Хариулт: Бусад арга замыг авч үзэх нь зүйтэй. тэгш бус байдлыг нотлох, шийдвэрлэх Жишээ нь: 1-р тэгш бус байдлыг батлахын тулд функцийн гүдгэр ба хотгор болон (0;0) цэг дээрх функцийн графикт шүргэгчийг ашиглана. Тэгш бус байдлын зүүн ба баруун тал, тэдгээрийн шинж чанарууд 3-р тэгш бус байдлыг батлахын тулд та харилцан тоонуудын шинж чанарыг ашиглаж болно: 12, илэрхийлэл бүрийг завсрын тоогоор харьцуулах техникийг ашиглаж болно.Та үүнийг харуулж чадна, мөн Үнэн хэрэгтээ, >, (> Үүнээс үүдэн Бие дааж гүйцэтгэх даалгавар: 1? 2 2tg1 èëè tg2-ээс хэд нь их вэ? 3 Хэзээ юу болохыг батлах 5 Аль нь илүү: 6 Аль нь илүү:? 7 Тэгш бус байдлыг шийд. Уран зохиол 1Виленкин, Н Я Ивашев МусатовОСИДР "Шинжилгээний эхлэлийн алгебр"10 (математикийн гүнзгийрүүлсэн судалгаа) / И.Я.Виленкин, - М: Боловсрол 2000 2Колмогоров, Шинжлэх ухааны академи, Абрамов А.М., - ба бусад "Эхлэлийн алгебр" дүн шинжилгээ" (Ерөнхий боловсролын сургуулийн сурах бичиг) / Шинжлэх ухааны академи Колмогоров М: Гэгээрэл, Пирутко, О.Н. Танин мэдэхүйн ерөнхий аргуудыг бүрдүүлэх

18 18 үйл ажиллагаа / Пирутко О.Н.// Народная асвета -9, 2008С 32-40

19 19

Математик, мэдээлэл зүйн тэнхим Математик анализ Зайны технологи ашиглан суралцаж буй ХПЭ-ийн оюутнуудад зориулсан сургалт, арга зүйн цогцолбор Модуль 4 Деривативын хэрэглээ Эмхэтгэсэн: Дэд профессор

Математик, мэдээлэл зүйн тэнхим Дээд математикийн элементүүд Зайны технологи ашиглан суралцаж буй дунд мэргэжлийн боловсролын оюутнуудад зориулсан сургалт, арга зүйн цогцолбор Модуль Дифференциал тооцоо Эмхэтгэсэн:

Сэдэв 39. "Функцийн дериватив" x 0 цэг дэх функцийн деривативыг тухайн функцийн өсөлтийг хувьсагчийн өсөлттэй харьцуулсан харьцааны хязгаар, өөрөөр хэлбэл = lim = lim + () гэж нэрлэдэг. ) Деривативын хүснэгт: Дериватив

Функц Функцуудыг судлах, график зурах. Интервал дахь монотон байдлыг судлах. b интервал дээрх f нь хэрэв f f бол буурахгүй; хэрэв f f бол нэмэгдэхгүй; Хэрэв f f бол a нь монотон хатуу өснө

Лекц 9. Дээд эрэмбийн дериватив ба дифференциал, тэдгээрийн шинж чанар. Функцийн экстремум цэгүүд. Ферма ба Роллегийн теоремууд. y функцийг зарим [b] сегмент дээр ялгах боломжтой байг. Энэ тохиолдолд түүний дериватив

Дериватив ашиглан функцийн график зурах Функцийн графикийг цэгээр зурах арга төгс биш юм. Олон тооны цэгийн ординатыг тооцоолсон ч графикийг үнэн зөв дүрслэхгүй байж болох ч,

1 С.А.Лавренченко Лекц 10 Үүсмэлийг ашиглан функцийг судлах 1 Эхний дериватив ашиглан функцийг судлах Интервал гэж бид төгсгөлтэй интервал эсвэл дараахын аль нэгийг хэлнэ.

Магистрын семестрийн үндсэн бодлого, асуултуудын жишээ дарааллын хязгаарыг энгийн тооцоолох дарааллын хязгаар l i m 2 n 6 n 2 + 9 n 6 4 n 6 n 4 6 4 n 6 2 2 Дарааллын хязгаарыг тооцоолох

МОДУЛЬ 7 "Экспоненциал ба логарифм функцууд". Зэрэглэлийн тухай ойлголтын ерөнхий ойлголт. Зэргийн үндэс ба түүний шинж чанар.. Иррационал тэгшитгэл.. Рационал илтгэгчтэй зэрэг.. Экспоненциал функц..

экспоненциал тэгшитгэл. Шийдлийн аргууд. Дубова Мария Игоревна 7 78-57 Экспоненциал тэгшитгэл гэдэг нь зөвхөн индекс дэх хувьсагчийг агуулсан тэгшитгэл юм. Хэд хэдэн төрлийн экспоненциал тэгшитгэлийг авч үзье.

Лекц Функцийг судлах, түүний график байгуулах Хураангуй: Функцийг монотон, экстремум, гүдгэр-хотгор, асимптот байгаа эсэхийг судална.

Функцийг судлахад дифференциал тооцооллын хэрэглээ Функцийн монотон байдал Орон нутгийн экстремум Гүдгэр Функцийн монотон чанар Def. Хэрэв x 1, x 2 a бол f x функц (a, b) интервал дээр нэмэгдэнэ.

Дериватив ба ялгах дүрэм y = f функцийг аргументийн өсөлтөд харгалзах y f 0 f 0 гэж нэмэгдүүлье 0 Тодорхойлолт Хэрэв y функцийн өсөлтийг дуудагчтай харьцуулах харьцаанд хязгаар байгаа бол.

МОСКВА УЛСЫН ТЕХНИКИЙН ИРГЭНИЙ НИСЭХИЙН ИХ СУРГУУЛЬ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов

ОХУ-ын Боловсрол, шинжлэх ухааны яам

Деривативын тусламжтайгаар функцийг судлах. Өсөх, багасгах функцууд. Теорем.) Хэрэв f) функц нь интервал дээр деривативтай бөгөөд энэ интервал дээр нэмэгдэж байгаа бол энэ интервал дээрх дериватив нь

ОХУ-ын Боловсрол, шинжлэх ухааны яам дээд мэргэжлийн боловсролын бие даасан боловсролын байгууллага

ОХУ-ын Боловсрол, Шинжлэх Ухааны Яам САРАТОВЫН НИЙТИЙН СУДАЛГААНЫ УЛСЫН ИХ СУРГУУЛЬ

Функцийн график байгуулах 1. График зурахдаа функцийг судлах төлөвлөгөө 1. Функцийн мужийг ол. Функцийн олон утгыг авч үзэх нь ихэвчлэн ашигтай байдаг. Функцийн тусгай шинж чанарыг судлах:

Лекц 23 БЭХ ЦЭГИЙН ҮЙЛ АЖИЛЛАГААНЫ ГРАФИК ГӨДӨР БА ХУЛХАЙ У \u003d f (x) функцийн график (a; b) интервал дээрх гүдгэр гэж нэрлэнэ. График

ДЭЭД МАТЕМАТИКИЙН ХИЧЭЭЛИЙН ХИЧЭЭЛИЙН ТООЦООНЫ ДААЛГАВАР "ЕРДИЙН дифференциал тэгшитгэлийн цуврал давхар интеграл" III ХЭСЭГ СЭДВИЙН ЦУВРАЛ Агуулга Цуврал Тоон цуваа Конвергенц ба дивергенц.

Асуудлыг шийдвэрлэх янз бүрийн арга барил C C C5 Улсын нэгдсэн шалгалт 9 жилийн Улсын нэгдсэн шалгалтанд бэлтгэх (багш нарт зориулсан лекцийн материал) Прокофьев А.А. [имэйлээр хамгаалагдсан]Даалгавар C Жишээ (ХЭРЭГЛЭЭ C) y si (si) тэгшитгэлийн системийг шийд (7 y)

Практик ажил Функцийг бүрэн судлах, график зурах Зорилго: функцийг судлах, график зурах ур чадварыг нэгтгэх Тоног төхөөрөмж (төхөөрөмж, материал, дидактик дэмжлэг): арга зүй

Хэсэг Нэг ба хэд хэдэн хувьсагчийн функцүүдийн дифференциал тооцоо Бодит аргумент функц Бодит тоо Эерэг бүхэл тоог натурал тоо гэнэ Натурал тоон дээр нэмэх

Практик ажил 6 Сэдэв: “Функцийг бүрэн судлах. График байгуулах "Ажлын зорилго: Ерөнхий схемийн дагуу функцийг хэрхэн судалж, график байгуулах талаар сурах. Ажлын үр дүнд оюутан дараахь зүйлийг хийх ёстой.

0-р ангийн сурагчдын алгебрийн хичээлийн бэлтгэлийн түвшин, математикийн шинжилгээний эхлэлд тавигдах шаардлага. Математикийг гүнзгийрүүлэн судалсны үр дүнд асуудлыг шийдвэрлэхэд математикийн шинжлэх ухааны ач холбогдол,

С.шестаков, [имэйлээр хамгаалагдсан], Москва 9 анги. Эхлэлийг үзнэ үү, / 05 Тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх

Бүлэг 3. Деривативын тусламжтайгаар функцийг судлах 3.1. Экстремум ба монотон байдал Зарим I R интервал дээр тодорхойлогдсон y = f () функцийг авч үзье. Энэ нь цэг дээр орон нутгийн максимумтай гэж хэлдэг.

ФУНКЦИЙН СУДАЛГАА Функцийн өсөлт, бууралтын хангалттай нөхцөл: Дифференциалагдах функцийн уламжлал нь ямар нэг X интервал дотор эерэг байвал энэ интервалд нэмэгдэнэ.

0.5 Логарифмын тэгшитгэл ба тэгш бус байдал. Ашигласан ном:. Алгебр ба анализын эхлэл 0 - А.Н. Колмогоров засварласан. Алгебрийн бие даасан болон хяналтын ажил 0- Е.П.Ершов найруулсан

Хязгаарлалт ба тасралтгүй байдал. Функцийн хязгаар = f) функцийг = a цэгийн зарим хэсэгт тодорхойл. Үүний зэрэгцээ, яг a цэг дээр функц тодорхойлогддоггүй. Тодорхойлолт. b тоог хязгаар гэж нэрлэдэг

~ 1 ~ “Функцийн монотоникийн шалгуур” x)

СЭДЭВИЙН СУРГАЛТЫН ҮР ДҮН Алгебрийн хичээлийн АЖЛЫН ХӨТӨЛБӨР 1 Эрдмийн хичээлийг эзэмшсэнээр төлөвлөсөн үр дүн ОЮУТНЫ БЭЛТГЭЛИЙН ТҮВШИНД ТАВИГДАХ ШААРДЛАГА

В.А.Шилинец, Беларусийн Улсын Багшийн Их Сургуулийн Математикийн тэнхимийн дэд профессор Архифункцтой тэгшитгэл, тэгш бус байдал Математикийг асуудлыг шийдвэрлэх явцад заадаг бөгөөд үүнд судалгааны асуудал онцгой үүрэг гүйцэтгэдэг.

Модуль ба дериватив V.V. Силвестров Зарим асуудлыг шийдвэрлэхдээ нэг буюу хэд хэдэн модуль агуулсан функцийн деривативыг олох хэрэгтэй. Ийм даалгаврыг улсын нэгдсэн шалгалтаар хийх боломжтой.

Бүгд Найрамдах Беларусь улсын Боловсролын яам "ЯНКА КУПАЛА НЭРЭМЖИТ ГРОДНО УЛСЫН ИХ СУРГУУЛЬ" БОЛОВСРОЛЫН БАЙГУУЛЛАГА Ю.Ю. Гнездовский, В.Н.Горбузов, П.Ф. Проневич экспоненциал ба логарифм

Сергей А Беляев хуудас 1 Математикийн минимум 1-р хэсэг Онолын 1 Тодорхойлолт зөв үү Хоёр бүхэл тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэр нь өгөгдсөн тоо бүрт хуваагддаг хамгийн бага тоо юм.

Функцийн деривативын график Функцийн монотон байдлын интервалууд Жишээ 1. Зурагт (1;13) интервал дээр тодорхойлогдсон f (x) функцийн деривативын y =f (x) графикийг үзүүлэв. Өсөн нэмэгдэж буй функцийн интервалуудыг ол

Мэргэжил. Дурын бодит илтгэгчтэй зэрэг, түүний шинж чанарууд. Хүчин чадлын функц, түүний шинж чанар, график .. Рационал илтгэгчтэй зэрэглэлийн шинж чанарыг эргэн санах. байгалийн цаг үеийн хувьд a a a a a

I В Яковлев Математикийн материал МаthUsru Логарифм тэгшитгэл ба тэгш бус байдал Логарифм тэгшитгэл ба тэгш бус байдал гэдэг нь хувьсагч нь тэмдгийн доор байрлах тэгшитгэл ба тэгш бус байдал юм.

МОДУЛЬ “Тасралтгүй байдал ба деривативын хэрэглээ. Деривативыг функцийг судлахад ашиглах. Тасралтгүй байдлын хэрэглээ.. Интервалын арга.. Графикийн шүргэгч. Лагранжийн томъёо. 4. Деривативын хэрэглээ

Хичээл 7 Дундаж утгын теоремууд. L'Hôpital-ийн дүрэм 7. Дундаж утгын теоремууд Дундаж утгын теоремууд нь Ролле, Лагранж, Коши гэсэн гурван теорем бөгөөд тус бүр нь өмнөхийг ерөнхийд нь илэрхийлдэг. Эдгээр теоремуудыг бас нэрлэдэг

Практик ажил "Функцийг судлах деривативыг ашиглах" Зорилго: үүсмэл функцийг ашиглан функцийг судлах ZUN-ийг нэгтгэх, турших Тоног төхөөрөмж: бичиг хэрэг, арга зүй

И.В.Яковлев Математикийн материал MathUs.ru Параметртэй бодлого дахь тэгш хэм нь математик, физикийн үндсэн ойлголтуудын нэг юм. Та дүрсүүдийн геометрийн тэгш хэмийг мэддэг бөгөөд ерөнхийдөө олон янз байдаг

Тайлбар тэмдэглэл Энэхүү "Алгебр ба анализын эхлэл" ажлын хөтөлбөрийг дараахь үндсэн дээр боловсруулсан болно: - 2012 оны 12-р сарын 29-ний өдрийн 273-ФЗ Холбооны хууль (2015 оны 7-р сарын 13-нд нэмэлт, өөрчлөлт оруулсан) "ОХУ-ын боловсролын тухай" ;

ОХУ-ын Боловсролын яам Оросын газрын тос, байгалийн хийн улсын их сургууль И.М. Губкина V.I. Иванов С.И. Васин ФУНКЦИЙН СУДАЛГАА сэдвийг судлах удирдамж (for

Lim 3 Функцын ялгах үйл ажиллагаа 3 Функцийн дериватив f функцийн деривативыг цэг дээр дараах хязгаар гэж нэрлэнэ f f df f " d, f " ба df d нь деривативын тэмдэгт Үүсмэлийг олох үйл ажиллагаа.

Балтийск хотын 4-р дунд сургууль хотын төсвийн боловсролын байгууллага

Судалгааны ажил Математик "Тэгшитгэлийг шийдвэрлэх функцийн экстремаль шинж чанарыг ашиглах нь" Гүйцэтгэсэн: Елена Гудкова, "Аннинский лицей" MBOU дунд сургуулийн 11-р ангийн сурагч "Г" p.g.t. Анна дарга:

1. Нэгдэх дарааллын хязгаарын өвөрмөц байдлын тухай теоремыг томьёолон батал. Теорем (хязгаарлалтын өвөрмөц байдлын тухай). Дараалал нь хамгийн ихдээ нэг хязгаартай байж болно. Баталгаа. Байцгаая

СЭДЭВИЙН ХУАНЛИЙН ТӨЛӨВЛӨЛТ Алгебр ба математикийн шинжилгээний хичээлийн эхлэл p / p p / t Хичээлийн сэдэв Цагийн тоо Удиртгал давталт 2 Үндэс, градус, логарифм 2 2 Тригонометрийн функц, тригонометр

(функцын монотон өсөлт ба бууралтын интервалууд - интервал дээрх функцийн гүдгэр байдал - гулзайлтын цэгүүд - асимптотууд - функцийн график зурах) Функцийн монотон өсөлт ба бууралтын интервалууд

ОХУ-ын Боловсролын яам Оросын газрын тос, байгалийн хийн улсын их сургууль И.М. Губкина V.I. Иванов С.И. Васин "ФУНКЦИЙН СУДАЛГАА" сэдвийг судлах заавар.

y функцийг графикаар зурах Функцийн муж нь интервал (;0) (0;) y функц тэгш, учир нь y() y(), ба () функцын график нь OY тэнхлэгт тэгш хэмтэй байна. зан байдал

ҮҮСМЭЛ функцын тухай ойлголт Х олонлог дээр тодорхойлогдсон функцтэй байя, X цэгийг дотоод цэг, X-ийн хөрш байх цэг байя. Дурын цэгийг аваад түүнийгээ гэж тэмдэглэнэ.

98 МАТЕМАТИК: АЛГЕБР БА ШИНЖИЛГЭЭНИЙ ГЕОМЕТРИЙН ЭХЛЭЛ Гүдгэр функцийн шинж чанарт суурилсан тэгшитгэлийн шийдэл Липатов С.В.Калуга МБОУ "К.Э.Циолковскийн нэрэмжит лицей 9" 0 "А" анги Удирдагч:

P0 Дериватив Аргументаас хамааран зарим f () функцийг авч үзье. Энэ функцийг 0 цэг ба түүний хөршийн зарим хэсэгт, энэ цэг болон түүний хөрш дээр тасралтгүй тодорхойлъё.

MOIAIS-ийн 1-Р СЕМЕСТРИЙН ОЮУТНУУДАД ЗОРИУЛСАН МАТЕМАТИК ШИНЖИЛГЭЭНИЙ ЛЕКЦ ИРГЭН Э.Ю. 1-р бүлэг Нэг хувьсагчийн функцийн судалгаа 1.1 Өсөх ба буурах шинж тэмдэг. Тодорхойлолт. f(x) функц тодорхойлогдсон

Залуус аа, сүүлийн хичээлээр бид шинэ, тусгай дугаар сурсан e. Өнөөдөр бид энэ тоогоор үргэлжлүүлэн ажиллах болно. Бид логарифмыг судалж үзсэн бөгөөд логарифмын үндэс нь тооны багц байж болно гэдгийг бид мэднэ.

Функцийн судалгаа, график байгуулах Онолын материал Агуулга 1) Функцийн муж 2) Функцийн шинж чанарууд (тэгш, сондгой, үе үе) 4) Функцийн тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэгүүд

BBK 22.161 ЧИГЛЭЛИЙГ БУУРУУЛАХ, ӨСӨХИЙГ СУДАЛГААХ АРГАЛД ШИНЭ ХАНДЛАГА. Новиковын нэрэмжит Армавир улсын сурган хүмүүжүүлэх дээд сургууль, Армавир Түлхүүр үг, хэллэг: нэмэгдүүлэх

Дифференциал тооцоо Үндсэн ойлголт, томьёо Тодорхойлолт 1 Тухайн цэг дээрх функцийн деривативыг аргументийн өсөлттэй байх нөхцөлд функцийн өсөлтийг аргументийн өсөлттэй харьцуулсан харьцааны хязгаар гэнэ.

Холбооны боловсролын агентлаг Москвагийн Геодези, зураг зүйн их сургууль (MIIGAiK) ДЭЭД МАТЕМАТИКИЙН хичээлийн бие даасан ажлын АРГА ЗҮЙН ЗААВАР, ДААЛГАВАР

АЛГЕБРИЙН АЖЛЫН ХӨТӨЛБӨР, МАТЕМАТИК ШИНЖИЛГЭЭНИЙ 11-Р АНГИЙН ЭХЛЭЛ Суурь түвшин 2018/2019 оны хичээлийн жилд Суурь сургуульд математикийн хичээл заахыг дараахь зохицуулалтын баримт бичгээр тогтооно.

Алгебрийн тэгшитгэл энд Тодорхойлолт. Алгебр гэдэг нь 0, P () 0, зарим бодит тоонуудын тэгшитгэл юм. 0 0 Энэ тохиолдолд хувьсагчийг үл мэдэгдэх, 0 тоонуудыг дуудна

Математик, мэдээлэл зүйн тэнхим Дээд математикийн элементүүд Зайны технологи ашиглан суралцаж буй дунд мэргэжлийн боловсролын оюутнуудад зориулсан сургалт, арга зүйн цогцолбор Модуль Хязгаарлалтын онол Эмхэтгэсэн: Дэд профессор

Лекц 7-9 Функцийн судалгаа 7 Бүлэг 7 Функцийн өсөлт ба бууралт Функцийн монотон байдлын тухай теорем Хэрэв f (а; b интервал дээр, энэ интервал дээр f (өсөх)) Хэрэв f (интервал дээр)

ФУНКЦИЙН СУДАЛГААНД ҮҮСМЭЛИЙГ ХЭРЭГЛЭХ Функцийн үйлдлийг деривативын тусламжтайгаар судлах Монотон байдлын интервалууд. Хэт туйлуудын тодорхойлолт. f (x) функц нэмэгдэх (багарах) интервалууд,

Wwwfmclassru ТООНЫ ХАРЬЦУУЛАХ АРГУУД Хэмжигдэхүүний шинжилгээ, cos0, si 40 томъёоны хэрэглээ

Хэн нэгний нотолгоог заримдаа нэг тодорхой тайлбарыг ашиглан хийж болно:

Хэрэв ямар нэгэн интервал дээр функц нь тогтмолтой ижил тэнцүү байвал энэ интервал дээрх түүний дериватив нь байнга тэгтэй тэнцүү байна:

дээр
дээр
.

Даалгавар 1. Хэн болохыг шалгах:

Бид түүний деривативыг тооцдог ( X):

Тиймээс (тэмдэглэл)
. Үүний үр дүнд,
Энэ нь таних тэмдэгтэй (1) тэнцүү байна.

Даалгавар 2. Хэн болохыг шалгах:

(2)

Баталгаажуулалт: Функцийг авч үзье

Үүнийг баталцгаая

Үүний деривативыг олцгооё:

гэсэн үг
.
At x=0
, тиймээс, таних тэмдэг (2) үнэн байна.

Үзсэн жишээнүүдтэй холбогдуулан тогтмолыг олохдоо интеграл гэдгийг тэмдэглэж болно FROMХамгийн хялбар тооцоог гаргахын тулд ялгах хувьсагчийн утгыг засах нь ашигтай байдаг.

9.3. Алгебр болон тригонометрийн илэрхийллийг хялбарчлахад деривативын хэрэглээ.

Алгебр болон тригонометрийн илэрхийлэлийг хувиргахад дериватив ашиглах арга нь үүсмэл функц нь заримдаа анхны функцээс хамаагүй хялбар хэлбэртэй байдаг тул амархан нэгтгэгддэг тул эхийн хүссэн хувиргалтыг олох боломжийг олгодог. илэрхийлэл:

Даалгавар 1Илэрхийлэлийг хялбарчлах:

Шийдэл:Энэ илэрхийлэлийг илэрхийлж байна
байх болно:

Тиймээс өгөгдсөн илэрхийлэл (1) нь тэнцүү байна
.

Даалгавар 2.Илэрхийлэлийг хялбарчлах:

Шийдэл:Энэ илэрхийлэлийг дамжуулан тэмдэглэнэ
, байх болно:

болон цагт
бид авах:

Тэгэхээр

Даалгавар 3. Функц бичихийг хялбарчлах:

Шийдэл: Ердийн тригонометрийн төхөөрөмжийг ашиглах нь харьцангуй төвөгтэй тооцоо хийхэд хүргэнэ. Энд деривативыг ашиглах нь илүү тохиромжтой:

Эндээс

Олъё :

Тиймээс (2) функц нь тэнцүү байна

Даалгавар 4. Олон гишүүнт бичгийг хялбарчлах:

Шийдэл: Олон гишүүнт (3)-ыг тэмдэглэнэ үү
Энэ функцийн эхний болон хоёр дахь деривативуудыг дараалан ол.

Энэ нь ойлгомжтой
Тийм ч учраас
, хаана
, олох : цагт

,
.

9.4.Илбэрийг дериватив ашиглан хүчин зүйл болгон задлах.

Даалгавар 1. Илэрхийллийн хүчин зүйл:

Шийдэл: Тоолох хувьсагч ба Тэгээд тогтмол тогтмол (параметр) ба өгөгдсөн илэрхийллийг дамжуулан тэмдэглэнэ
, байх болно:

Тиймээс (2)

хаана - тогтмол, өөрөөр хэлбэл. энэ тохиолдолд параметрээс хамаарах илэрхийлэл Тэгээд . олохын тулд тэгш байдалд
тавья
тэгээд
.

Авах

Даалгавар 2. Илэрхийллийн хүчин зүйл:

Шийдэл: Хувьсагчаас хойш энэ илэрхийлэлийг хамгийн бага хэмжээгээр оруулбал үүнийг функц гэж үзнэ
мөн бидэнд байх болно:

бид авах:

Тиймээс анхны илэрхийлэл (3) нь тэнцүү байна

Даалгавар 3. Илэрхийллийн хүчин зүйл:

Шийдэл: Энэ илэрхийллийг дамжуулан тэмдэглэнэ
болон тоолох Тэгээд тогтмол, бид дараахийг авна:

хаанаас, хаанаас зөвхөн хамаарна Тэгээд . Энэ таних тэмдгийг оруулж байна
, бид авдаг
Тэгээд

Хоёрдахь хүчин зүйлийг хүчин зүйл болгохын тулд бид ижил техникийг ашигладаг боловч хувьсагч гэж үздэг , энэ хувьсагчаас бага хэмжээгээр орсон тул . Үүнийг дамжуулан тэмдэглэж байна
болон тоолох Тэгээд тогтмол, бид байх болно:

Тиймээс анхны илэрхийлэл (4) нь тэнцүү байна

9.5. Тэгшитгэлийн язгуур оршин тогтнох асуудалд деривативыг ашиглах.

Уг дериватив нь тэгшитгэлд хэдэн шийдэл байгааг тодорхойлоход ашиглаж болно. Энд гол үүрэг нь монотон байдлын функцийг судлах, түүний туйлын утгыг олох явдал юм. Үүнээс гадна монотон функцүүдийн шинж чанарыг ашигладаг.

Даалгавар 1. Хэрэв функц тодорхой интервалд өсөх эсвэл буурах, дараа нь энэ интервал дээр тэгшитгэл
хамгийн ихдээ нэг үндэстэй.

Шийдэл: Энэ тэгшитгэлийн муж нь интервал юм
Энэ интервалын функц дээрх тодорхойлолт , оруулах

Дараа нь, дээр

,

улмаар функц - нэмэгдэж, ингэснээр энэ тэгшитгэл (1) нэгээс олон шийдэлтэй байж болохгүй.

Даалгавар 2. Ямар үнэ цэнээр
тэгшитгэлийн шийдэлтэй

Шийдэл: тэгшитгэлийн муж нь сегмент юм
, функцийг авч үзье , оруулах

Дараа нь нээлттэй интервал дээр

, тиймээс энэ нь функцийн цорын ганц чухал цэг юм , энэ нь мэдээжийн хэрэг хамгийн дээд цэг юм. Үүний хэрээр

тэгээд хамгийн их үнэ цэнийг авах болно , хамгийн бага утга нь - at
.

Функцээс хойш тасралтгүй байвал түүний утгын хүрээ нь сегмент болно
хамгийн бага ба хамгийн том утгын хооронд. Өөрөөр хэлбэл, анхны тэгшитгэл (2) нь шийдлүүдтэй байна
.

Дериватив нь анхан шатны математикийн хэд хэдэн асуудлыг шийдвэрлэхэд өргөн хэрэглэгддэг. Эдгээр бүх асуудлын дотроос бид Лагранжийн теорем ба түүний үр дагаварыг шийдвэрлэхэд ашигладаг асуудлуудыг ялгаж үздэг. Үүнд ижил төстэй байдал, тэгш бус байдлыг нотлох, тригонометрийн томьёог гаргах, алгебрийн илэрхийлэлийг хүчин зүйлчлэх, тэгшитгэл, тэгш бус байдал, тэгшитгэлийн систем, параметр бүхий тэгшитгэлийг шийдвэрлэх даалгавар орно. Энэ тохиолдолд шийдлийн ерөнхий аргууд болон зарим тодорхой аргуудыг зааж өгч болно.

Лагранжийн теорем. f функц нь сегмент дээр тасралтгүй байх ба энэ сегментийн дотоод цэгүүдэд дифференциалагдах боломжтой байг. Дараа нь энэ сегментээс ийм дотоод цэг байдаг<Рисунок1>.

Үр дүн 1 (тогтвортой байдлын нөхцөл) . Хэрэв f функц нь хэрчим дээр тасралтгүй, түүний дериватив нь энэ сегмент дотор тэгтэй тэнцүү бол f функц нь дээр тогтмол байна.

Дүгнэлт 2. Хэрэв болон функцүүд хэрчим дээр тасралтгүй бөгөөд энэ сегмент дотор ижил деривативууд байвал тэдгээр нь зөвхөн тогтмол гишүүнээр ялгаатай байна.

Функцийн монотон байдлын нөхцөл нь мөн Лагранжийн теоремын үр дагавар юм. Сургуулийн сурах бичигт үүнийг теорем хэлбэрээр тусад нь тогтоодог.

Үр дүн 3 ( монотон байдал). Хэрэв f функц нь I интервал дээр тасралтгүй, түүний уламжлал нь энэ интервалын дотоод цэгүүдэд эерэг (тус тус нь сөрөг) байвал I дээр f функц нэмэгдэнэ (тус тус буурна).

Лагранжийн теоремыг дараах байдлаар хэрэглэж болно.

Тэгш бус байдлыг нотлохдоо, ялангуяа тоон тэгш бус байдал;

Олон гишүүнт буюу тэгшитгэлийн язгуурын асуултыг судлахдаа;

Тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үед.

Ийм бодлогыг шийдвэрлэх явцад Лагранж теоремын нөхцөлийг хангасан сегмент дээрх f(x) функцийг авч үзэж, түүнд зориулж Лагранжийн томьёог бичдэг.<Рисунок1>, c (a;b) ба f’(c)-г үнэлж, улмаар илэрхийлэл<Рисунок2>, энэ нь бидэнд авч үзсэн тэгш бус байдлыг батлах эсвэл олон гишүүнт, тэгшитгэлийн язгуурын асуудлыг шийдэх боломжийг олгодог.

Жишээ 1. Үүнийг батал<Рисунок3>.

Шийдэл. Сегмент дээрх f(x)=arccosx функц нь тасралтгүй бөгөөд (0.6;0.8) интервал дээр дифференциалагдах боломжтой.<Рисунок4>. Иймд энэ сегмент дээрх f(x) функцийн хувьд Лагранж теоремын нөхцөл хангагдсан ба<Рисунок5>, энд 0.6 , өөрөөр хэлбэл<Рисунок7>. Тоогоо тооцоод үзье<Рисунок8>. 0.6-аас хойш <0,8, следовательно <Рисунок10>. Дараа нь<Рисунок11>мөн эцэст нь<Рисунок3>.

Жишээ 2. e x >=ex гэдгийг батал.

Шийдэл. Тэгш бус байдал нь x=1-д хүчинтэй. f(x)=e x -ex функцийг авч үзье. Дараа нь дурын b (b>1) тооны хувьд энэ функцийн хувьд Лагранжийн теоремын нөхцлүүд сегмент дээр биелэгдэнэ, b-ийн хувьд<1 – выполняется условие теоремы на отрезке и, следовательно, существует внутренняя точка соответствующего отрезка, такая, что <Рисунок12>, өөрөөр хэлбэл<Рисунок13>. b>1-тэй c>1 тул e c >e, тиймээс e c -e>0 болно. Дараа нь<Рисунок14>, улмаар e b -eb>0, i.e. e b >eb аль ч b>1. Ингээд x>=1-ийн хувьд e x >=ex гэдэг нь батлагдсан.

Хэрэв b<1, то <Рисунок15>, өөрөөр хэлбэл -аас<1, тогда e c , үүнээс үүдэн e b -eb>0, i.e. eb >eb.

Тэгэхээр ямар ч бодит х-д e x >= ex тэгш бус байдал үнэн болох нь батлагдсан. Тодруулбал, x=c+1-ийн хувьд бид e c+1 >=e(c+1), i.e. e c >=c+1, энд c нь дурын бодит тоо.

Жишээ 3. Тэгшитгэл гэдгийг батал<Рисунок16>жинхэнэ эерэг үндэс байхгүй.

Шийдэл. b нь дурын эерэг тоо байг. Функцийг авч үзье f(x)= <Рисунок17>, интервал дээр үргэлжилсэн ба деривативтай<Рисунок18>интервал дээр (0; b). Лагранжийн теоремоор бид байна<Рисунок19>, 0. Аливаа с>0 e c >c+1 (Жишээ 2-т нотлогдсон) тул e c -c>1, тиймээс,<Рисунок21>. Эндээс бид авдаг<Рисунок22>, юу гэсэн үг вэ гэхээр<Рисунок23>ямар ч b>0 хувьд. Энэ замаар,<Рисунок24>x>0-ийн хувьд, өөрөөр хэлбэл.<Рисунок25>, иймээс тэгш байдал<Рисунок16>ямар ч x>0-д хамаарахгүй. Тэгээд тэгшитгэл<Рисунок16>жинхэнэ эерэг үндэс байхгүй.

Жишээ 4. (0, 2) интервал дээр тэгшитгэлийн хамгийн ихдээ хоёр өөр бодит язгуур байгааг батал.<Рисунок26>.

Шийдэл. Тэгшитгэл нь (0.2) интервалд хамаарах x 1 , x 2 , x 3 гэсэн дор хаяж гурван өөр бодит язгууртай гэж бодъё, тэгээд x 1 гэж үзье. , өөрөөр хэлбэл f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)=0. Хэсэг тус бүр дээр f (x) функцийн хувьд Лагранж теоремын нөхцөл хангагдсан тул (x 1; x 2), (x 2; x 3) интервалаас c 1 ба c 2 тоонууд байна. , тус тус, ийм<Рисунок28>Тэгээд<Рисунок29>. f (x 1) \u003d f (x 2) \u003d f (x 3) \u003d 0, дараа нь f '(c 1) \u003d 0 ба f '(c 2) \u003d 0, 1-ээс 2.

f'(x) деривативыг олъё:

<Рисунок30>. Учир нь<Рисунок31>дурын х-ийн хувьд f’(x)=0 тэгшитгэл нь (0, 2) интервалд хамаарах нэг язгуур х= байна. c 1 ба c 2 (c 1 c 2) нь f’(x)=0 тэгшитгэлийн язгуур учраас бид зөрчилдөж байна.<Рисунок26>(0,2) интервал дээр хамгийн ихдээ хоёр өөр бодит үндэстэй байна.

Жишээ 5. x 9 -9x 5 +63x-55=0 тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл. x 1 \u003d 1 тоо нь энэ тэгшитгэлийн үндэс гэдгийг харахад хялбар байдаг. x 1 -ээс ялгаатай ядаж нэг жинхэнэ язгуур x 2 байна гэж бодъё. x 1 ба x 2 тоонууд нь f(x)=x 9 -9x 5 +63x-55 функцийн тэг бөгөөд иймээс f(x 1)=f(x 2)=0 болно. Хэрэв x 1 бол интервал дээр f(x) функцэд Лагранжийн теоремыг хэрэглэцгээе x 2. Тиймээс энэ сегментээс ийм дотоод цэг бий<Рисунок32>. f (x 1) \u003d f (x 2) \u003d 0 гэж үзвэл бид f’ (c) \u003d 0, өөрөөр хэлбэл. c тоо нь f’(x)=0 тэгшитгэлийн үндэс юм. Харин f’(x)=9x 8 -45x 4 +63 дериватив, i.e. f’(x)=9(x 4 -2.5) 2 +6.75 нь дурын х-д эерэг байх нь f’(x)=0 тэгшитгэл нь үндэсгүй гэсэн үг. Олдсон язгуур x 1 =1 нь x 9 -9x 5 +63x-55=0 тэгшитгэлийн цорын ганц язгуур болохыг үр дүнд үүссэн зөрчил баталж байна.

y \u003d (x 2 -1) (x 2 -8x) (x-9) функцийн чухал цэгүүдийн тоог тодорхойлно уу.

Шийдэл. f (x) \u003d (x 2 -1) (x 2 -8x) (x-9) олон гишүүнтийн зэрэг нь 5 тул түүний уламжлал f '(x) нь дөрөвдүгээр зэргийн олон гишүүнт бөгөөд ямар ч олон гишүүнт байхгүй. дөрвөөс илүү бодит үндэс. Лагранжийн теоремыг f(x)=(x+1)(x-1)x(x-8)(x-9) функцэд [-1;0], , , интервалд хэрэглэж, анхааралдаа авъя. f( -1)=f(0)=f(1)=f(8)=f(9)=0. Ийм сегмент тус бүр дээр x 1 , x 2 , x 3 , x 4 гэсэн дотоод цэгүүд байдаг.<Рисунок33>, <Рисунок34>, <Рисунок35>, <Рисунок36>, өөрөөр хэлбэл f'(x 1)=0, f'(x 2)=0, f'(x 3)=0, f'(x 4)=0. x 1, x 2, x 3, x 4 нь 4-р зэргийн олон гишүүнт f'(x)-ын өөр язгуурууд тул олж авсан язгуураас өөр язгуур байхгүй тул y = функц байна гэж бид дүгнэж байна. (x 2 - 1) (x 2 -8x) (x-9) нь дөрвөн чухал цэгтэй.

Функцийн монотон байдлын нөхцлийг дараах байдлаар хэрэглэж болно.

Тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх үед;

Хувьсагчтай тэгш бус байдлыг нотлох үед;

Тоон тэгш бус байдлыг нотлох үед;

Тэгшитгэлийн язгуурын тооны асуултыг судлахдаа;

Зарим тохиолдолд тэгшитгэл, параметр бүхий тэгшитгэл, тэгшитгэлийн систем шийдвэрлэх үед.

Монотоник байдлын нөхцөлийг ашиглан асуудлыг шийдвэрлэх нь тодорхой интервал дахь функцийн өсөлт, бууралт ба түүний дериватив тэмдгийн хоорондын хамаарал дээр суурилдаг. Үүний зэрэгцээ авч үзсэн монотон функцийн энэ интервалаас аргументийн өөр өөр утгуудыг харьцуулж, энэ функцийн харгалзах утгуудын талаар дүгнэлт гаргана.

Жишээ 7. 3xcosx гэдгийг батал .

Шийдэл. Хэрэв 0 бол гэдгийг баталцгаая , дараа нь sinx+sin2x-3xcosx>0, өөрөөр хэлбэл. cosx(tgx+2sinx-3x)>0. Интервал дээр тасралтгүй байхыг авч үзье<Рисунок38>функц f(x)=tgx-3x+2sinx. Түүний дериватив<Рисунок39>цагт<Рисунок40>эерэг утгыг авдаг тул f(x) функц интервал дээр нэмэгдэнэ<Рисунок38>ба үүн дээр f(x)>f(0) байна.

f(0)=0 гэж үзвэл tgx-3x+2sinx>0 болно. Тэгээд дундаас хойш<Рисунок38>cosx>0, дараа нь cosx(tgx+2sinx-3x)>0. Ингээд sinx+sin2x-3xcosx>0, өөрөөр хэлбэл 3xcosx гэдэг нь батлагдсан. .

Жишээ 8. Үүнийг батал

1) <Рисунок41>Тэгээд<Рисунок42>хэрэв 0

2) <Рисунок43>Тэгээд<Рисунок44>, хэрэв e<=x 1

Шийдэл. (0;+) интервал дээр үргэлжилсэн функцийг авч үзье.<Рисунок45>. Түүний уламжлалаас хойш<Рисунок46>x=e, 0 үед тэгтэй тэнцүү байна 0 ба f'(x)<0 при x>e, дараа нь (0;e] интервал дээр f(x) функц нэмэгдэж, интервал дээр буурна. x=-3, x=-2, x= цэгүүд дэх функцийн утгыг тооцоол. 2, x=5. Бид f( -3)=-1 байна<0, f(-2)=13>0, f(2)=-51<0, f(5)=111>0. [-3;-2], [-2;2] сегментүүдийн төгсгөлд байрлах f(x) функц нь өөр өөр тэмдгийн утгыг авдаг тул тус бүр нь тэгшитгэлийн зөвхөн нэг үндэстэй байна. Тиймээс 2x 3 -24x-19 \u003d 0 тэгшитгэл нь (-3; -2), (-2; 2), (2; 5) интервалд байрлах гурван бодит үндэстэй байна.

Лагранжийн теоремын бусад үр дагаврыг ашиглаж болно.

Баримтлалыг батлахдаа, ялангуяа анхан шатны математикийн томъёог гаргахдаа;

Илэрхийллийг хялбарчлах үед;

Алгебр илэрхийллийг хүчин зүйл болгон задлахдаа.

Ийм хэд хэдэн бодлогыг тодорхой интервалаар шийдвэрлэхдээ аль нэг f(x) функцийг авч үзэх бөгөөд түүний уламжлал f’(x)=0, тиймээс функц нь тогтмол байна, өөрөөр хэлбэл. f(x)=c хэлбэртэй, эсвэл f(x) ба g(x) гэсэн хоёр функцтэй, f'(x)=g'(x) байх ба f(x)=g(x) гэсэн дүгнэлтэнд хүрсэн. )+c (c нь тогтмол). Энэ тогтмолыг x зарим утгатай x 1-тэй тэнцүү болгосноор олно.

Жишээ 12. Томъёо гарга<Рисунок61>.

Шийдэл. f(x)= функц<Рисунок62>бүхэл тооны шулуун дээр тасралтгүй. f'(x)=2sinxcosx-sin2x=sin2x-sin2x функцийн деривативыг олъё. Аливаа бодит х утгын хувьд f'(x)=0 байна, тиймээс функцийн тогтмол байдлын нөхцөл дээр үндэслэн бид f(x) функц тогтмол байна гэж дүгнэж болно, өөрөөр хэлбэл. f(x)=c. Тогтмол c-г тодорхойлохын тулд бид x=0 гэж тавиад f(0)=c, i.e. нүгэл 2 0-0.5+0.5cos0=c. Иймээс c=0, улмаар f(x)=0, эндээс олж авна<Рисунок62>=0, эсвэл<Рисунок61>.

Жишээ 13. arctgx=arcsin гэдгийг батал<Рисунок63>x дээр<0.

Шийдэл. (-;0) интервал дээр f(x)=arctgx ба g(x)=arcsin тасралтгүй хоёр функцийг авч үзье.<Рисунок64>, дараа нь тэдгээр нь ямар ч интервал дээр тасралтгүй . Эдгээр функцүүдийн деривативуудыг олцгооё.

<Рисунок65>, <Рисунок66>. Учир нь x-ийн хувьд<0 |x|=-x, то <Рисунок67>дараа нь сегмент дотор f'(x)=g'(x) . Үр дүн 2-т үндэслэн бид f(x)=g(x)+c байх ба энд c нь тогтмол байна. c-г тодорхойлохын тулд arctg(-1)=arcsin-ийг өгөх x=-1 гэж үзье<Рисунок69>, өөрөөр хэлбэл<Рисунок68>Тиймээс бид arctgx=arcsin-ийг авна<Рисунок63>x дээр<0.

Лагранжийн теоремыг дараах байдлаар хэрэглэж болно.

Тэгш бус байдлыг нотлохдоо, ялангуяа тоон тэгш бус байдал;

Олон гишүүнт буюу тэгшитгэлийн язгуурын асуултыг судлахдаа;

Тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үед.

Жишээ 1. Үүнийг батал<Рисунок3>.

Жишээ 2. e x >=ex гэдгийг батал.

Хэрэв b<1, то <Рисунок15>, өөрөөр хэлбэл -аас<1, тогда e c , үүнээс үүдэн e b -eb>0, i.e. eb >eb.

Жишээ 3. Тэгшитгэл гэдгийг батал<Рисунок16>жинхэнэ эерэг үндэс байхгүй.

Жишээ 4. (0, 2) интервал дээр тэгшитгэлийн хамгийн ихдээ хоёр өөр бодит язгуур байгааг батал.<Рисунок26>.

f'(x) деривативыг олъё:

Жишээ 5. x 9 -9x 5 +63x-55=0 тэгшитгэлийг шийд.

y \u003d (x 2 -1) (x 2 -8x) (x-9) функцийн чухал цэгүүдийн тоог тодорхойлно уу.

Функцийн монотон байдлын нөхцлийг дараах байдлаар хэрэглэж болно.

Тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх үед;

Хувьсагчтай тэгш бус байдлыг нотлох үед;

Тоон тэгш бус байдлыг нотлох үед;

Тэгшитгэлийн язгуурын тооны асуултыг судлахдаа;

Зарим тохиолдолд тэгшитгэл, параметр бүхий тэгшитгэл, тэгшитгэлийн систем шийдвэрлэх үед.

Жишээ 7. 3xcosx гэдгийг батал .

Жишээ 8. Үүнийг батал

1) <Рисунок41>Тэгээд<Рисунок42>хэрэв 0

2) <Рисунок43>Тэгээд<Рисунок44>, хэрэв e<=x 1

Лагранжийн теоремын бусад үр дагаврыг ашиглаж болно.

Баримтлалыг батлахдаа, ялангуяа анхан шатны математикийн томъёог гаргахдаа;

Илэрхийллийг хялбарчлах үед;

Алгебр илэрхийллийг хүчин зүйл болгон задлахдаа.

Жишээ 12. Томъёо гарга<Рисунок61>.

Жишээ 13. arctgx=arcsin гэдгийг батал<Рисунок63>x дээр<0.

Жишээ 14. Хувийн шинж чанарыг бататга

<Рисунок70>

Шийдэл. анзаараарай, тэр<Рисунок71>, <Рисунок72>аливаа бодит х ба функцийн хувьд<Рисунок73>, <Рисунок74>бүхэл тооны шулуун дээр тасралтгүй. Бидэнд байгаа<Рисунок75>,

<Рисунок76>.

1) F(x)=f(x)+g(x), x (-;-1) (0;1) функцийг авч үзье.

F(x)=<Рисунок77>, мөн F'(x)=f'(x)+g'(x)=<Рисунок78>. Хэрэв x (-;-1) бол |x 2 -1|=x 2 -1, |x|=-x ба F’(x)=0 байна. Хэрэв x (0;1) бол |x 2 -1|=-(x 2 -1), |x|=x ба F'(x)=0 байна. F(x)=c функцийн тогтмол байдлын нөхцөл дээр үндэслэн, өөрөөр хэлбэл.<Рисунок79>. Харгалзан үзсэн интервал бүр дээр бид c-г, жишээлбэл, x = тохируулж тодорхойлно<Рисунок80>ба x=<Рисунок81>.

<Рисунок82>, тиймээс c=.

<Рисунок83>, иймээс c=0. Бидэнд байгаа:<Рисунок84>x хувьд (-;-1),<Рисунок85>x(0;1)-ийн хувьд.

2) G(x)=f(x)-g(x), x (-1;0) (1; +) функцийг авч үзье.

<Рисунок86>, <Рисунок87>.

Хэрэв x (-1; 0) бол |x 2 -1|=-(x 2 -1), |x|=-x ба G'(x)=0 байна.

Хэрэв x (1; +) бол |x 2 -1|=x 2 -1, |x|=x ба G'(x)=0 байна. Дараа нь G(x) функц нь заасан интервалд тогтмол байна, өөрөөр хэлбэл,<Рисунок88>. x= байг<Рисунок80>ба x=<Рисунок81>, бид авдаг<Рисунок89>, тиймээс, c =;<Рисунок90>, дараа нь c=0.

Бидэнд байгаа:<Рисунок91>x үед (-1; 0),<Рисунок92>x-ийн хувьд (1;+).

3) x=± 1 ба x=0-ийн f(x) ба g(x) утгуудыг тооцоол.

f(-1)=arccos(-1)=, g(-1)=arcsin0=0; тиймээс x=-1 f(x)=+g(x)-ийн хувьд i.e.<Рисунок93>. <Рисунок94>, <Рисунок95>, тиймээс x=0 f(x)=-g(x) үед i.e.<Рисунок96>. f(1)=arccos1=0, g(1)=arcsin0=0, тиймээс x= 1 үед f(x)=g(x), i.e.<Рисунок97>.

Тиймээс энэ ижилсэл нь бүх бодит х-д нотлогддог.

Жишээ 15. Илэрхийллийн хүчин зүйл

y 2 (x-z)+x 2 (z-y)+z 2 (y-x).

Шийдэл. Бид энэ илэрхийллийг x хувьсагчийн функц болгон авч үзэх болно: f (x) \u003d y 2 (x-z) + x 2 (z-y) + z 2 (y-x).

f'(x)-г ол.

f'(x)=y 2 +2x(zy)-z 2 =y 2 -z 2 -2x(yz)=(yz)(y+z)-2x(yz)=(yz)(y+z- 2x).

g'(x)=(y-z)((y+z)-2x). g(x) функцийн хувьд бид g(x)=(y-z)((y-z)x-x 2) авч болно.

f(x) ба g(x) функцууд нь бүхэл бүтэн бодит шулуун ба f'(x)=g'(x) дээр тасралтгүй бөгөөд дифференциал болох тул 2-р үр дүнд f(x)=g(x)+c, хаана нь x-ээс хамаарахгүй, гэхдээ y ба z-ээс хамаарах боломжтой. Бидэнд y 2 (x-z)+x 2 (z-y)+z 2 (y-x)=(y-z)((y+z)x-x 2)+c байна. Энэ тэгшитгэлд жишээлбэл x=0 гэж тохируулж c-г олъё. Бидэнд yz 2 -zy 2 =c байна. Дараа нь f(x)=g(x)+yz 2 -zy 2, i.e.

f(x)=(yz)((y+z)xx 2)+yz 2 -zy 2 =(yz)(xy+xz-x 2)-yz(yz)=(yz)(xy-x 2 + xz-yz)=(yz)(x(yx)-z(yx))=(yz)(yx)(xz).

Тэгэхээр y 2 (x-z)+x 2 (z-y)+z 2 (y-x)=(y-z)(y-x)(x-z) болно.