Problema 1(despre calcularea suprafeței trapez curbat).
În sistemul de coordonate dreptunghiular cartezian xOy, este dată o cifră (a se vedea figura) delimitată de axa x, drepte x = a, x = b (un trapez curbat. Este necesar să se calculeze aria trapezului curbat.
Soluţie. Geometria ne oferă rețete pentru calcularea ariilor poligoanelor și a unor părți ale unui cerc (sector, segment). Folosind considerații geometrice, putem găsi doar o valoare aproximativă a ariei necesare, raționând după cum urmează.
Să împărțim segmentul [a; b] (baza unui trapez curbat) în n părți egale; această partiție se realizează folosind punctele x 1, x 2, ... x k, ... x n-1. Să tragem linii drepte prin aceste puncte paralele cu axa y. Apoi, trapezul curbiliniu dat va fi împărțit în n părți, în coloane înguste. Aria întregului trapez este egală cu suma ariilor coloanelor.
Să luăm în considerare coloana k-a separat, adică. un trapez curbat a cărui bază este un segment. Să-l înlocuim cu un dreptunghi cu aceeași bază și înălțime egală cu f(x k) (vezi figura). Aria dreptunghiului este egală cu \(f(x_k) \cdot \Delta x_k \), unde \(\Delta x_k \) este lungimea segmentului; Este firesc să luăm în considerare produsul rezultat ca o valoare aproximativă a ariei coloanei k-a. 
Dacă procedăm acum la fel cu toate celelalte coloane, vom ajunge la următorul rezultat: aria S a unui trapez curbiliniu dat este aproximativ egală cu aria S n a unei figuri în trepte formată din n dreptunghiuri (vezi figura):
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) \)
Aici, de dragul uniformității notației, presupunem că a = x 0, b = x n; \(\Delta x_0 \) - lungimea segmentului, \(\Delta x_1 \) - lungimea segmentului etc.; în acest caz, așa cum am convenit mai sus, \(\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) \)
Deci, \(S \approx S_n \), iar această egalitate aproximativă este mai precisă, cu cât n este mai mare.
Prin definiție, se crede că aria necesară a unui trapez curbiliniu este egală cu limita secvenței (S n):
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$
Problema 2(despre mutarea unui punct)
Un punct material se deplasează în linie dreaptă. Dependența vitezei de timp este exprimată prin formula v = v(t). Aflați mișcarea unui punct într-o perioadă de timp [a; b].
Soluţie. Dacă mișcarea ar fi uniformă, atunci problema s-ar rezolva foarte simplu: s = vt, adică. s = v(b-a). Pentru mișcarea neuniformă, trebuie să utilizați aceleași idei pe care s-a bazat soluția la problema anterioară.
1) Împărțiți intervalul de timp [a; b] în n părți egale.
2) Considerați o perioadă de timp și presupuneți că în această perioadă de timp viteza a fost constantă, la fel ca la momentul t k. Deci presupunem că v = v(t k).
3) Să găsim valoarea aproximativă a mișcării punctului pe o perioadă de timp, vom desemna această valoare aproximativă s k
\(s_k = v(t_k) \Delta t_k \)
4) Aflați valoarea aproximativă a deplasării s:
\(s \aprox S_n \) unde
\(S_n = s_0 + \dots + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \dots + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) \)
5) Deplasarea necesară este egală cu limita secvenței (S n):
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$
Să rezumam. Soluțiile la diferite probleme au fost reduse la același model matematic. Multe probleme din diverse domenii ale științei și tehnologiei duc la același model în procesul de soluționare. Aceasta înseamnă că acest model matematic trebuie studiat special.
Conceptul de integrală definită
Să dăm o descriere matematică a modelului care a fost construit în cele trei probleme luate în considerare pentru funcția y = f(x), continuă (dar nu neapărat nenegativă, așa cum sa presupus în problemele luate în considerare) pe intervalul [a; b]:
1) împărțiți segmentul [a; b] în n părți egale;
2) alcătuiți suma $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) calculați $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$
În cursul analizei matematice s-a dovedit că această limită există în cazul unei funcții continue (sau continuă pe bucăți). Îl sună o anumită integrală a funcției y = f(x) peste segmentul [a; b]și notată după cum urmează:
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
Numerele a și b se numesc limite de integrare (inferioară și respectiv superioară).
Să revenim la sarcinile discutate mai sus. Definiția zonei dată în problema 1 poate fi acum rescrisă după cum urmează:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
aici S este aria trapezului curbiliniu prezentat în figura de mai sus. Aceasta este semnificația geometrică a unei integrale definite.
Definiția deplasării s a unui punct care se deplasează în linie dreaptă cu o viteză v = v(t) în perioada de timp de la t = a la t = b, dată în problema 2, poate fi rescrisă după cum urmează:
formula Newton-Leibniz
Mai întâi, să răspundem la întrebarea: care este legătura dintre integrala definită și antiderivată?
Răspunsul poate fi găsit în problema 2. Pe de o parte, deplasarea s a unui punct care se deplasează în linie dreaptă cu o viteză v = v(t) pe perioada de timp de la t = a la t = b se calculează prin formula
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)
Pe de altă parte, coordonatele unui punct în mișcare este o antiderivată pentru viteză - să o notăm s(t); Aceasta înseamnă că deplasarea s este exprimată prin formula s = s(b) - s(a). Ca rezultat obținem:
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
unde s(t) este antiderivata lui v(t).
Următoarea teoremă a fost demonstrată în cursul analizei matematice.
Teorema. Dacă funcția y = f(x) este continuă pe intervalul [a; b], atunci formula este valabilă
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
unde F(x) este antiderivata lui f(x).
Formula dată este de obicei numită formula Newton-Leibnizîn onoarea fizicianului englez Isaac Newton (1643-1727) și a filozofului german Gottfried Leibniz (1646-1716), care l-au primit independent unul de celălalt și aproape simultan.
În practică, în loc să scrie F(b) - F(a), ei folosesc notația \(\left. F(x)\right|_a^b \) (uneori se numește dubla substitutie) și, în consecință, rescrieți formula Newton-Leibniz în această formă:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \left. F(x)\right|_a^b \)
Când calculați o integrală definită, găsiți mai întâi antiderivată și apoi efectuați o dublă substituție.
Pe baza formulei Newton-Leibniz, putem obține două proprietăți ale integralei definite.
Proprietatea 1. Integrala sumei funcțiilor este egală cu suma integralelor:
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)
Proprietatea 2. Factorul constant poate fi scos din semnul integral:
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)
Calcularea ariilor figurilor plane folosind o integrală definită
Folosind integrala, puteți calcula zonele nu numai ale trapezelor curbate, ci și ale figurilor plane de tip mai complex, de exemplu, cea prezentată în figură. Figura P este limitată de drepte x = a, x = b și grafice ale funcțiilor continue y = f(x), y = g(x), iar pe segmentul [a; b] inegalitatea \(g(x) \leq f(x) \) este valabilă. Pentru a calcula aria S a unei astfel de figuri, vom proceda după cum urmează:
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)
Deci, aria S a unei figuri mărginite de drepte x = a, x = b și grafice ale funcțiilor y = f(x), y = g(x), continuă pe segment și astfel încât pentru orice x din segment [o; b] inegalitatea \(g(x) \leq f(x) \) este satisfăcută, calculată prin formula
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)
Tabel de integrale nedefinite (antiderivate) ale unor funcții
$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch) ) x +C $$Subiect: Calcularea ariei unei figuri plane folosind o integrală definită
Obiective: învață definiția și formulele pentru găsirea ariei unui trapez curbiliniu;
luați în considerare diferite cazuri de găsire a ariei unui trapez curbiliniu;
Să fiți capabil să calculați aria unui trapez curbat.
Plan:
Trapez curbiliniu.
Formule pentru calcularea ariei unui trapez curbat.
Trapez curbiliniu este o figură care este limitată de graficul unei funcții continue, nenegative f(x) pe interval, segmente de linie x=a și x=b, precum și un segment al axei x dintre punctele a și b .
Imagini cu trapeze curbate:
Acum să trecem la posibilele opțiuni pentru aranjarea figurilor, a căror zonă trebuie calculată pe planul de coordonate.
Primul
va exista varianta cea mai simpla (prima poza), cea obisnuita trapez curbat, ca în definiție. Nu este nevoie să inventați nimic aici, luați doar integrala o la b din functie f(x). Dacă găsim integrala, vom cunoaște și aria acestui trapez. 
În doilea
opțiunea, cifra noastră va fi limitată nu de axa x, ci de o altă funcție g(x). Prin urmare, pentru a găsi zona CEFD, trebuie să găsim mai întâi zona AEFB(folosind integrala lui f(x)), apoi găsiți zona ACDB(folosind integrala lui g(x)). Și zona necesară a figurii CEFD, va exista o diferență între prima și a doua zonă a trapezului curbat. Deoarece limitele integrării sunt aceleași aici, toate acestea pot fi scrise sub o integrală (a se vedea formulele de mai jos figură), totul depinde de complexitatea funcțiilor, caz în care va fi mai ușor să găsiți integrala. 
Treilea
foarte asemanator cu primul, dar doar trapezul nostru este plasat, nu deasupra axa x, iar sub ea. Prin urmare, aici trebuie să luăm aceeași integrală, doar cu semnul minus, deoarece valoarea integralei va fi negativă, iar valoarea ariei ar trebui să fie pozitivă. Dacă în loc de o funcţie f(x) ia functie –f(x), atunci graficul său va fi același, pur și simplu afișat simetric în raport cu axa x. 
ŞI patrulea opțiune când o parte a figurii noastre este deasupra axei x și o parte sub aceasta. Prin urmare, mai întâi trebuie să găsim aria figurii AEFB, ca în prima opțiune, și apoi zona figurii ABCD, ca în a treia opțiune și apoi pliați-le. Ca rezultat, obținem aria figurii DEFC. Deoarece limitele integrării sunt aceleași aici, toate acestea pot fi scrise sub o integrală (a se vedea formulele de mai jos figură), totul depinde de complexitatea funcțiilor, caz în care va fi mai ușor să găsiți integrala. 
Întrebări de autotest:
Ce figură se numește trapez curbat?
Cum să găsiți aria unui trapez curbat?
O figură mărginită de graficul unei funcții nenegative continue $f(x)$ pe segmentul $$ și dreptele $y=0, \ x=a$ și $x=b$ se numește trapez curbiliniu.
Aria trapezului curbat corespunzător se calculează cu formula:
$S=\int\limits_(a)^(b)(f(x)dx).$ (*)
Vom împărți condiționat problemele de găsire a ariei unui trapez curbiliniu în tipuri de $4$. Să ne uităm la fiecare tip mai detaliat.
Tipul I: un trapez curbat este specificat în mod explicit. Apoi aplicați imediat formula (*).
De exemplu, găsiți aria unui trapez curbiliniu mărginit de graficul funcției $y=4-(x-2)^(2)$ și liniile $y=0, \ x=1$ și $x =3$.
Să desenăm acest trapez curbat.
Folosind formula (*), găsim aria acestui trapez curbiliniu.
$S=\int\limits_(1)^(3)(\left(4-(x-2)^(2)\right)dx)=\int\limits_(1)^(3)(4dx)- \int\limits_(1)^(3)((x-2)^(2)dx)=4x|_(1)^(3) – \left.\frac((x-2)^(3) )(3)\right|_(1)^(3)=$
$=4(3-1)-\frac(1)(3)\left((3-2)^(3)-(1-2)^(3)\right)=4 \cdot 2 – \frac (1)(3)\left((1)^(3)-(-1)^(3)\right) = 8 – \frac(1)(3)(1+1) =$
$=8-\frac(2)(3)=7\frac(1)(3)$ (unități$^(2)$).
Tipul II: se specifica implicit trapezul curbat.În acest caz, liniile drepte $x=a, \ x=b$ nu sunt de obicei specificate sau parțial specificate. În acest caz, trebuie să găsiți punctele de intersecție ale funcțiilor $y=f(x)$ și $y=0$. Aceste puncte vor fi punctele $a$ și $b$.
De exemplu, găsiți aria unei figuri mărginite de graficele funcțiilor $y=1-x^(2)$ și $y=0$.
Să găsim punctele de intersecție. Pentru a face acest lucru, echivalăm părțile din dreapta ale funcțiilor.
Astfel, $a=-1$ și $b=1$. Să desenăm acest trapez curbat.
Să găsim aria acestui trapez curbat.
$S=\int\limits_(-1)^(1)(\left(1-x^(2)\right)dx)=\int\limits_(-1)^(1)(1dx)-\int \limits_(-1)^(1)(x^(2)dx)=x|_(-1)^(1) – \left.\frac(x^(3))(3)\right|_ (-1)^(1)=$
$=(1-(-1))-\frac(1)(3)\left(1^(3)-(-1)^(3)\right)=2 – \frac(1)(3) \left(1+1\right) = 2 – \frac(2)(3) = 1\frac(1)(3)$ (unități$^(2)$).
Tipul III: aria unei figuri limitată de intersecția a două funcții continue nenegative. Această cifră nu va fi un trapez curbat, ceea ce înseamnă că nu puteți calcula aria sa folosind formula (*). Cum poate fi asta? Se pare că aria acestei figuri poate fi găsită ca diferență între ariile trapezelor curbilinii mărginite de funcția superioară și $y=0$ ($S_(uf)$), și funcție inferioarăși $y=0$ ($S_(lf)$), unde $x=a, \ x=b$ sunt coordonatele $x$ ale punctelor de intersecție ale acestor funcții, adică.
$S=S_(uf)-S_(lf)$. (**)
Cel mai important lucru atunci când se calculează astfel de zone este să nu „rată” cu alegerea funcțiilor superioare și inferioare.
De exemplu, găsiți aria unei figuri delimitate de funcțiile $y=x^(2)$ și $y=x+6$.
Să găsim punctele de intersecție ale acestor grafice:
Conform teoremei lui Vieta,
$x_(1)=-2,\x_(2)=3.$
Adică $a=-2,\b=3$. Să desenăm o figură:
Astfel, functie de top– $y=x+6$, iar cea de jos – $y=x^(2)$. În continuare, găsim $S_(uf)$ și $S_(lf)$ folosind formula (*).
$S_(uf)=\int\limits_(-2)^(3)((x+6)dx)=\int\limits_(-2)^(3)(xdx)+\int\limits_(-2 )^(3)(6dx)=\left.\frac(x^(2))(2)\right|_(-2)^(3) + 6x|_(-2)^(3)= 32 .5$ (unități$^(2)$).
$S_(lf)=\int\limits_(-2)^(3)(x^(2)dx)=\left.\frac(x^(3))(3)\right|_(-2) ^(3) = \frac(35)(3)$ (unități$^(2)$).
Să înlocuim ceea ce am găsit în (**) și să obținem:
$S=32,5-\frac(35)(3)= \frac(125)(6)$ (unități$^(2)$).
Tip IV: aria unei figuri delimitată de o funcție (funcții) care nu satisface condiția de non-negativitate. Pentru a găsi aria unei astfel de figuri, trebuie să fiți simetric față de axa $Ox$ ( cu alte cuvinte, puneți „minusuri” în fața funcțiilor) afișați zona și, folosind metodele prezentate în tipurile I – III, găsiți zona zonei afișate. Această zonă va fi zona necesară. În primul rând, poate fi necesar să găsiți punctele de intersecție ale graficelor funcției.
De exemplu, găsiți aria unei figuri mărginite de graficele funcțiilor $y=x^(2)-1$ și $y=0$.
Să găsim punctele de intersecție ale graficelor funcției:
aceste. $a=-1$ și $b=1$. Să desenăm zona.
Să arătăm zona simetric:
$y=0 \ \Rightarrow \ y=-0=0$
$y=x^(2)-1 \ \Rightarrow \ y= -(x^(2)-1) = 1-x^(2)$.
Rezultă un trapez curbiliniu mărginit de graficul funcției $y=1-x^(2)$ și $y=0$. Aceasta este o problemă pentru a găsi un trapez curbat de al doilea tip. Am rezolvat deja. Răspunsul a fost: $S= 1\frac(1)(3)$ (unități $^(2)$). Aceasta înseamnă că aria trapezului curbiliniu necesar este egală cu:
$S=1\frac(1)(3)$ (unități$^(2)$).
Fie funcția nenegativă și continuă pe interval. Apoi, conform semnificației geometrice a unei integrale definite, aria unui trapez curbiliniu delimitată deasupra de graficul acestei funcții, dedesubt de axă, la stânga și la dreapta prin linii drepte și (vezi Fig. 2) este calculat prin formula
Exemplul 9. Găsiți aria figurii delimitată de linie și axă.
Soluţie. Graficul funcției 
este o parabolă ale cărei ramuri sunt îndreptate în jos. Să-l construim (Fig. 3). Pentru a determina limitele de integrare, găsim punctele de intersecție a dreptei (parabolă) cu axa (linia dreaptă). Pentru a face acest lucru, rezolvăm sistemul de ecuații
Primim: 
, unde , ; prin urmare, ,.
Orez. 3
Găsim aria figurii folosind formula (5):
Dacă funcția este nepozitivă și continuă pe segmentul , atunci aria trapezului curbiliniu delimitată mai jos de graficul acestei funcții, deasupra de axă, la stânga și la dreapta prin linii drepte și , se calculează de către formula
. (6)
Dacă funcția este continuă pe un segment și își schimbă semnul la un număr finit de puncte, atunci aria figurii umbrite (Fig. 4) este egală cu suma algebrică a integralelor definite corespunzătoare:
Orez. 4
Exemplul 10. Calculați aria figurii delimitată de axa și graficul funcției la .
Orez. 5
Soluţie. Să facem un desen (Fig. 5). Suprafața necesară este suma suprafețelor și . Să găsim fiecare dintre aceste zone. În primul rând, determinăm limitele integrării prin rezolvarea sistemului 
Primim,. Prin urmare:
;
.
Astfel, aria figurii umbrite este
(unități pătrate).
Orez. 6
În cele din urmă, fie trapezul curbiliniu mărginit deasupra și dedesubt de graficele funcțiilor continue pe segment și ,
iar pe stânga și dreapta - linii drepte și (Fig. 6). Apoi aria sa este calculată prin formula
. (8)
Exemplul 11. Găsiți aria figurii delimitată de linii și.
Soluţie. Această figură este prezentată în Fig. 7. Să calculăm aria sa folosind formula (8). Rezolvând sistemul de ecuații găsim, ; prin urmare, ,. Pe segment avem: . Aceasta înseamnă că în formula (8) luăm ca x, iar ca calitate – . Primim:
(unități pătrate).
Problemele mai complexe de calculare a suprafețelor sunt rezolvate prin împărțirea figurii în părți care nu se suprapun și calcularea ariei întregii figuri ca sumă a ariilor acestor părți.
Orez. 7
Exemplul 12. Aflați aria figurii delimitată de liniile , , .
Soluţie. Să facem un desen (Fig. 8). Această figură poate fi considerată ca un trapez curbiliniu, mărginit de jos de axă, la stânga și la dreapta - prin linii drepte și, de sus - prin grafice ale funcțiilor și. Deoarece figura este limitată de sus de graficele a două funcții, pentru a-și calcula aria, împărțim această cifră dreaptă în două părți (1 este abscisa punctului de intersecție a dreptelor și ). Aria fiecăreia dintre aceste părți este găsită folosind formula (4):
(unități pătrate); 
(unități pătrate). Prin urmare:
(unități pătrate).
Orez. 8
|
Orez. 9
În concluzie, observăm că, dacă un trapez curbiliniu este limitat de linii drepte și , axă și continuă pe curbă (Fig. 9), atunci aria lui se află prin formula
Volumul unui corp de rotație
Fie un trapez curbiliniu, mărginit de graficul unei funcții continuă pe un segment, de o axă, de drepte și , să se rotească în jurul axei (Fig. 10). Apoi volumul corpului de rotație rezultat este calculat prin formula
. (9)
Exemplul 13. Calculați volumul unui corp obținut prin rotirea în jurul axei unui trapez curbiliniu delimitat de o hiperbolă, linii drepte și axă.
Soluţie. Să facem un desen (Fig. 11).
Din condiţiile problemei rezultă că , . Din formula (9) obținem
.
Orez. 10
Orez. 11
Volumul unui corp obtinut prin rotatie in jurul unei axe Oh trapez curbiliniu delimitat de linii drepte y = cŞi y = d, axa Ohşi un grafic al unei funcţii continuă pe un segment (Fig. 12), determinat prin formula
. (10)
|
Orez. 12
Exemplul 14. Calculați volumul unui corp obținut prin rotirea în jurul unei axe Oh trapez curbiliniu delimitat de linii X 2 = 4la, y = 4, x = 0 (Fig. 13).
Soluţie. În conformitate cu condiţiile problemei, găsim limitele integrării: , . Folosind formula (10) obtinem:
Orez. 13
Lungimea arcului unei curbe plane
Fie curba dată de ecuația , unde , se află în plan (Fig. 14).
Orez. 14
Definiţie. Lungimea unui arc este înțeleasă ca limita la care tinde lungimea unei linii întrerupte înscrisă în acest arc, când numărul de legături ale liniei întrerupte tinde spre infinit, iar lungimea celei mai mari legături tinde spre zero.
Dacă o funcție și derivata ei sunt continue pe segment, atunci lungimea arcului curbei este calculată prin formula
. (11)
Exemplul 15. Calculați lungimea arcului curbei cuprinse între punctele pentru care 
.
Soluţie. Din conditiile problema pe care le avem 
. Folosind formula (11) obținem:
4. Integrale improprii
cu limite infinite de integrare
La introducerea conceptului de integrală definită, s-a presupus că au fost îndeplinite următoarele două condiții:
a) limitele integrării Oși sunt finite;
b) integrandul este mărginit pe interval.
Dacă cel puțin una dintre aceste condiții nu este îndeplinită, atunci se numește integrala nu a ta.
Să considerăm mai întâi integralele improprii cu limite infinite de integrare.
Definiţie. Fie ca funcția să fie definită și continuă pe interval, atunciși nelimitat în dreapta (Fig. 15).
Dacă integrala improprie converge, atunci această zonă este finită; dacă integrala improprie diverge, atunci această zonă este infinită.
Orez. 15
O integrală improprie cu o limită inferioară infinită de integrare este definită în mod similar:
. (13)
Această integrală converge dacă limita din partea dreaptă a egalității (13) există și este finită; în caz contrar, integrala se numește divergentă.
O integrală improprie cu două limite infinite de integrare este definită după cum urmează:
, (14)
unde с este orice punct al intervalului. Integrala converge numai dacă ambele integrale din partea dreaptă a egalității (14) converg.
;G) 
= [selectați un pătrat complet la numitor: ] = 
[înlocuire:
] = 
Aceasta înseamnă că integrala improprie converge și valoarea ei este egală cu .
Integrală definită. Cum se calculează aria unei figuri
Să trecem la considerarea aplicațiilor calculului integral. În această lecție vom analiza sarcina tipică și cea mai comună – cum să folosiți o integrală definită pentru a calcula aria unei figuri plane. În cele din urmă, cei care caută sens în matematica superioară - să-l găsească. Nu se știe niciodată. Va trebui să o aducem mai aproape în viață teren cabana de vara funcții elementare și găsiți-i aria folosind o integrală definită.
Pentru a stăpâni cu succes materialul, trebuie să:
1) Înțelegeți integrală nedefinită cel putin la un nivel mediu. Astfel, manechinii ar trebui să citească mai întâi lecția Nu.
2) Să fie capabil să aplice formula Newton-Leibniz și să calculeze integrala definită. Puteți stabili relații prietenoase calde cu anumite integrale de pe pagină Integrală definită. Exemple de soluții.
De fapt, pentru a găsi aria unei figuri, nu aveți nevoie de atâtea cunoștințe despre integrala nedefinită și definită. Sarcina „calculați suprafața folosind o integrală definită” implică întotdeauna construirea unui desen, așa că cunoștințele și abilitățile tale de desen vor fi o problemă mult mai presantă. În acest sens, este util să vă reîmprospătați memoria graficelor funcțiilor elementare de bază și, cel puțin, să puteți construi o linie dreaptă, o parabolă și o hiperbolă. Acest lucru se poate face (pentru mulți, este necesar) folosind material metodologicși articole despre transformările geometrice ale graficelor.
De fapt, toată lumea a fost familiarizată cu sarcina de a găsi zona folosind o integrală definită încă de la școală și nu vom merge cu mult mai departe decât programa școlară. Acest articol poate să nu fi existat deloc, dar adevărul este că problema apare în 99 de cazuri din 100, când un elev suferă de o școală urâtă și stăpânește cu entuziasm un curs de matematică superioară.
Materialele acestui atelier sunt prezentate simplu, detaliat și cu un minim de teorie.
Să începem cu un trapez curbat.
Trapez curbiliniu este o figură plată delimitată de o axă, linii drepte și graficul unei funcții continuă pe un interval care nu își schimbă semnul pe acest interval. Fie localizată această cifră nu mai jos axa x:
Apoi aria unui trapez curbiliniu este numeric egală cu o integrală definită. Orice integrală definită (care există) are o semnificație geometrică foarte bună. În clasă Integrală definită. Exemple de soluții Am spus că o integrală definită este un număr. Și acum este timpul să precizăm un alt fapt util. Din punct de vedere al geometriei, integrala definită este AREA.
adica integrala definită (dacă există) corespunde geometric cu aria unei anumite figuri. De exemplu, luați în considerare integrala definită. Integrandul definește o curbă pe planul situat deasupra axei (cei care doresc pot face un desen), iar integrala definită în sine este numeric egală cu aria trapezului curbiliniu corespunzător.
Exemplul 1
Aceasta este o declarație tipică de atribuire. În primul rând și cel mai important moment soluții – desen. Mai mult, desenul trebuie construit CORECT.
Când construiți un desen, vă recomand următoarea ordine: la început este mai bine să construiți toate liniile drepte (dacă există) și numai Apoi– parabole, hiperbole, grafice ale altor funcții. Este mai profitabil să construiești grafice ale funcțiilor punct cu punct, tehnica de construcție punct cu punct poate fi găsită în material de referință Grafice și proprietăți ale funcțiilor elementare. Acolo puteți găsi și material foarte util pentru lecția noastră - cum să construiți rapid o parabolă.
În această problemă, soluția ar putea arăta astfel.
Să desenăm desenul (rețineți că ecuația definește axa):
Nu voi umbri trapezul curbat aici este evident despre ce zonă vorbim. Solutia continua asa:
Pe segment se află graficul funcției deasupra axei, De aceea:
Răspuns:
Care are dificultăți în calcularea integralei definite și aplicarea formulei Newton-Leibniz 
, consultați prelegerea Integrală definită. Exemple de soluții.
După ce sarcina este finalizată, este întotdeauna util să priviți desenul și să vă dați seama dacă răspunsul este real. În acest caz, numărăm numărul de celule din desen „cu ochi” - ei bine, vor fi aproximativ 9, se pare că este adevărat. Este absolut clar că dacă am primit, să zicem, răspunsul: 20 de unități pătrate, atunci este evident că s-a făcut o greșeală undeva - 20 de celule evident nu se încadrează în figura în cauză, cel mult o duzină. Dacă răspunsul este negativ, atunci și sarcina a fost rezolvată incorect.
Exemplul 2
Calculați aria unei figuri delimitate de linii , și axă
Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.
Ce trebuie să faceți dacă este localizat trapezul curbat sub ax?
Exemplul 3
Calculați aria figurii delimitată de linii și axe de coordonate.
Soluţie: Hai să facem un desen: 
Dacă este localizat un trapez curbat sub ax(sau, de către cel puţin, nu mai sus axa dată), atunci aria sa poate fi găsită folosind formula:
În acest caz: 
Atenţie! Cele două tipuri de sarcini nu trebuie confundate:
1) Dacă vi se cere să rezolvați pur și simplu o integrală definită fără nicio semnificație geometrică, atunci aceasta poate fi negativă.
2) Dacă vi se cere să găsiți aria unei figuri folosind o integrală definită, atunci aria este întotdeauna pozitivă! De aceea apare minusul în formula tocmai discutată.
În practică, cel mai adesea figura este situată atât în semiplanul superior, cât și în cel inferior și, prin urmare, de la cele mai simple probleme școlare trecem la exemple mai semnificative.
Exemplul 4
Aflați aria unei figuri plane delimitată de liniile , .
Soluţie: Mai întâi trebuie să finalizați desenul. În general, atunci când construim un desen în probleme de zonă, suntem cel mai interesați de punctele de intersecție a liniilor. Să găsim punctele de intersecție ale parabolei și ale dreptei. Acest lucru se poate face în două moduri. Prima metodă este analitică. Rezolvam ecuatia:
Aceasta înseamnă că limita inferioară a integrării este , limita superioară a integrării este .
Dacă este posibil, este mai bine să nu utilizați această metodă..
Este mult mai profitabil și mai rapid să construiești linii punct cu punct, iar limitele integrării devin clare „de la sine”. Tehnica de construcție punct cu punct pentru diferite grafice este discutată în detaliu în ajutor Grafice și proprietăți ale funcțiilor elementare. Cu toate acestea, metoda analitică de găsire a limitelor mai trebuie folosită uneori dacă, de exemplu, graficul este suficient de mare sau construcția detaliată nu a evidențiat limitele integrării (pot fi fracționale sau iraționale). Și vom lua în considerare și un astfel de exemplu.
Să revenim la sarcina noastră: este mai rațional să construim mai întâi o linie dreaptă și abia apoi o parabolă. Să facem desenul: 
Repet că atunci când construim punctual, limitele integrării sunt cel mai adesea descoperite „automat”.
Și acum formula de lucru: Dacă există o funcție continuă pe segment mai mare sau egal cu o funcție continuă , apoi aria figurii delimitată de graficele acestor funcții și liniile , , poate fi găsită folosind formula: 
Aici nu mai trebuie să vă gândiți la locul în care se află figura - deasupra axei sau sub axa și, aproximativ vorbind, contează care grafic este MAI MARE(față de alt grafic), și care este JOS.
În exemplul luat în considerare, este evident că pe segment parabola este situată deasupra liniei drepte și, prin urmare, este necesar să se scadă din
Soluția finalizată ar putea arăta astfel:
Cifra dorită este limitată de o parabolă deasupra și de o linie dreaptă dedesubt.
Pe segment, conform formulei corespunzătoare:
Răspuns:
De fapt, formula școlară pentru aria unui trapez curbiliniu în semiplanul inferior (a se vedea exemplul simplu nr. 3) este un caz special al formulei 
. Deoarece axa este specificată de ecuație, iar graficul funcției este localizat nu mai sus topoare, atunci 
Și acum câteva exemple pentru propria dvs. soluție
Exemplul 5
Exemplul 6
Aflați aria figurii delimitată de liniile , .
Când rezolvați probleme care implică calcularea ariei folosind o integrală definită, se întâmplă uneori un incident amuzant. Desenul a fost făcut corect, calculele au fost corecte, dar din nepăsare... a fost găsită zona figurii greșite, exact așa a dat peste cap umilul tău servitor de mai multe ori. Iată un caz real:
Exemplul 7
Calculați aria figurii delimitată de liniile , , , .
Soluţie: Mai întâi, să facem un desen: 
...Eh, desenul a ieșit prost, dar totul pare a fi lizibil.
Figura a cărei zonă trebuie să o găsim este umbrită în albastru(uitați-vă cu atenție la starea - cum este limitată cifra!). Dar, în practică, din cauza neatenției, apare adesea o „glitch” prin care trebuie să găsiți zona unei figuri care este umbrită. verde!
Acest exemplu este util și prin faptul că calculează aria unei figuri folosind două integrale definite. Serios:
1) Pe segmentul de deasupra axei se află un grafic al unei drepte;
2) Pe segmentul de deasupra axei există un grafic al unei hiperbole.
Este destul de evident că zonele pot (și ar trebui) să fie adăugate, prin urmare:
Răspuns:
Să trecem la o altă sarcină semnificativă.
Exemplul 8
Calculați aria unei figuri delimitate de linii,
Să prezentăm ecuațiile sub formă de „școală” și să facem un desen punct cu punct: 
Din desen reiese clar că limita noastră superioară este „bună”: .
Dar care este limita inferioară?! Este clar că acesta nu este un număr întreg, dar ce este? Pot fi ? Dar unde este garanția că desenul este realizat cu acuratețe perfectă, s-ar putea dovedi că... Sau rădăcina. Ce se întâmplă dacă am construit incorect graficul?
În astfel de cazuri, trebuie să petreceți timp suplimentar și să clarificați limitele integrării analitic.
Să găsim punctele de intersecție ale unei drepte și ale unei parabole.
Pentru a face acest lucru, rezolvăm ecuația: 
,
Într-adevăr, .
Soluția ulterioară este banală, principalul lucru este să nu vă confundați în substituții și semne, calculele de aici nu sunt cele mai simple.
Pe segment 
, conform formulei corespunzătoare: 
Răspuns: 
Ei bine, pentru a încheia lecția, să ne uităm la două sarcini mai dificile.
Exemplul 9
Calculați aria figurii delimitată de liniile , ,
Soluţie: Să reprezentăm această figură în desen. 
La naiba, am uitat să semnez programul și, scuze, nu am vrut să refac poza. Nu este o zi de desen, pe scurt, azi este ziua =)
Pentru construcția punct cu punct trebuie să știți aspect sinusoide (și în general util de știut grafice ale tuturor funcţiilor elementare), precum și unele valori sinus, acestea pot fi găsite în tabel trigonometric. În unele cazuri (ca acesta) este posibil să se construiască desen schematic, pe care graficele și limitele integrării ar trebui să fie în mod fundamental afișate corect.
Nu există probleme cu limitele de integrare aici, acestea rezultă direct din condiția: „x” se schimbă de la zero la „pi”. Să luăm o altă decizie:
Pe segment, graficul funcției este situat deasupra axei, prin urmare:
Încărcare...