Să considerăm un trapez curbat mărginit de axa Ox, curba y=f(x) și două drepte: x=a și x=b (Fig. 85). Să luăm o valoare arbitrară a lui x (doar nu a și nu b). Să-i dăm un increment h = dx și să considerăm o bandă delimitată de drepte AB și CD, axa Ox și arcul BD aparținând curbei luate în considerare. Vom numi această bandă o bandă elementară. Aria unei benzi elementare diferă de aria dreptunghiului ACQB prin triunghiul curbiliniu BQD, iar aria acestuia din urmă este mai mică decât aria dreptunghiului BQDM cu laturile BQ = =h= dx) QD=Ay și aria egală cu hAy = Ay dx. Pe măsură ce latura h scade, latura Du scade și concomitent cu h tinde spre zero. Prin urmare, aria BQDM este infinitezimală de ordinul doi. Aria unei benzi elementare este incrementul ariei, iar aria dreptunghiului ACQB, egală cu AB-AC ==/(x) dx> este diferența ariei. În consecință, găsim zona în sine prin integrarea diferenţialului acesteia. În cadrul figurii luate în considerare, variabila independentă l: se schimbă de la a la b, deci aria necesară 5 va fi egală cu 5= \f(x) dx. (I) Exemplul 1. Să calculăm aria mărginită de parabola y - 1 -x*, drepte X =--Fj-, x = 1 și axa O* (Fig. 86). la Fig. 87. Fig. 86. 1 Aici f(x) = 1 - l?, limitele integrării sunt a = - și £ = 1, deci J [*-t]\- -fl -- Г -1-±Л_ 1V1 -l-l- Ii-^ 3) |_ 2 3V 2 / J 3 24 24* Exemplul 2. Să calculăm aria limitată de sinusoida y = sinXy, axa Ox și linia dreaptă (Fig. 87). Aplicând formula (I), obținem A 2 S= J sinxdx= [-cos x]Q =0 -(-1) = lf Exemplul 3. Calculați aria limitată de arcul sinusoidei ^у = sin jc, închisă între două puncte de intersecție adiacente cu axa Ox (de exemplu, între origine și punctul cu abscisa i). Rețineți că din considerente geometrice este clar că această zonă va fi de două ori mai mare decât aria exemplului anterior. Totuși, să facem calculele: I 5= | s\nxdx= [ - cosх)* - - cos i-(-cos 0)= 1 + 1 = 2. o Într-adevăr, ipoteza noastră s-a dovedit a fi corectă. Exemplul 4. Calculați aria delimitată de sinusoid și de axa Ox la o perioadă (Fig. 88). Calculele preliminare sugerează că aria va fi de patru ori mai mare decât în Exemplul 2. Totuși, după efectuarea calculelor, obținem „i Г,*i S - \ sin x dx = [ - cos x]0 = = - cos 2l -( -cos 0) = - 1 + 1 = 0. Acest rezultat necesită clarificare. Pentru a clarifica esența problemei, calculăm și aria limitată de aceeași sinusoidă y = sin l: și axa Ox în intervalul de la l la 2i. Aplicând formula (I), obținem 2l $2l sin xdx=[ - cosх]l = -cos 2i~)-c05i=- 1-1 =-2. Astfel, vedem că această zonă s-a dovedit a fi negativă. Comparând-o cu aria calculată în exercițiul 3, constatăm că valorile lor absolute sunt aceleași, dar semnele sunt diferite. Dacă aplicăm proprietatea V (vezi Capitolul XI, § 4), obținem 2l I 2l J sin xdx= J sin * dx [ sin x dx = 2 + (- 2) = 0Ceea ce sa întâmplat în acest exemplu nu este un accident. Întotdeauna aria situată sub axa Ox, cu condiția ca variabila independentă să se schimbe de la stânga la dreapta, se obține atunci când se calculează folosind integrale. În acest curs vom lua în considerare întotdeauna zonele fără semne. Prin urmare, răspunsul din exemplul tocmai discutat va fi: aria necesară este 2 + |-2| = 4. Exemplul 5. Să calculăm aria BAB prezentată în Fig. 89. Această zonă este limitată de axa Ox, parabola y = - xr și dreapta y - = -x+\. Aria unui trapez curbiliniu Aria necesară OAB este formată din două părți: OAM și MAV. Deoarece punctul A este punctul de intersecție al unei parabole și al unei drepte, vom găsi coordonatele acesteia prin rezolvarea sistemului de ecuații 3 2 Y = mx. (ne trebuie doar să găsim abscisa punctului A). Rezolvând sistemul, găsim l; = ~. Prin urmare, aria trebuie calculată în părți, primul pătrat. OAM și apoi pl. MAV: .... G 3 2, 3 G xP 3 1/2 U 2. QAM-^x aria unui trapez curbiliniu format din funcție f, este egal cu incrementul antiderivatei acestei funcții:
Sarcina 1:
Găsiți aria unui trapez curbiliniu mărginit de graficul funcției: f(x) = x 2 si drept y = 0, x = 1, x = 2.
Soluție: ( conform algoritmului slide 3)
Să desenăm un grafic al funcției și al liniilor
Să găsim una dintre antiderivatele funcției f(x) = x 2 :
Autotest pe diapozitiv
Integral
Se consideră un trapez curbiliniu definit de funcție f pe segmentul [ o; b]. Să împărțim acest segment în mai multe părți. Aria întregului trapez va fi împărțită în suma ariilor trapezelor mai mici curbate. ( slide 5). Fiecare astfel de trapez poate fi considerat aproximativ dreptunghi. Suma ariilor acestor dreptunghiuri oferă o idee aproximativă a întregii zone a trapezului curbat. Cu cât împărțim segmentul mai mic [ o; b], cu atât calculăm mai precis aria.
Să scriem aceste argumente sub formă de formule.
Împărțiți segmentul [ o; b] în n părți prin puncte x 0 =a, x1,...,xn = b. Lungime k- th notează prin xk = xk – xk-1. Să facem o sumă
Geometric, această sumă reprezintă aria figurii umbrite în figură ( sh.m.)
Sumele formei sunt numite sume integrale pentru funcție f. (sh.m.)
Sumele integrale dau o valoare aproximativă a ariei. Valoarea exactă se obţine prin trecerea la limită. Să ne imaginăm că rafinăm partiția segmentului [ o; b] astfel încât lungimile tuturor segmentelor mici tind spre zero. Apoi, zona figurii compuse se va apropia de zona trapezului curbat. Putem spune că aria unui trapez curbat este egală cu limita sumelor integrale, Sc.t. (sh.m.) sau integral, adică
Definiţie:
Integrala unei funcții f(x) din o la b numită limita sumelor integrale
= (sh.m.)
formula Newton-Leibniz.
Ne amintim că limita sumelor integrale este egală cu aria unui trapez curbiliniu, ceea ce înseamnă că putem scrie:
Sc.t. = (sh.m.)
Pe de altă parte, aria unui trapez curbat este calculată folosind formula
S k.t. (sh.m.)
Comparând aceste formule, obținem:
= (sh.m.)Această egalitate se numește formula Newton-Leibniz.
Pentru ușurință de calcul, formula este scrisă astfel:
= = (sh.m.)Sarcini: (sh.m.)
1. Calculați integrala folosind formula Newton-Leibniz: ( verificați diapozitivul 5)
2. Compune integrale conform desenului ( verificați diapozitivul 6)
3. Aflați aria figurii mărginită de liniile: y = x 3, y = 0, x = 1, x = 2. ( Slide 7)
Găsirea ariilor figurilor plane ( slide 8)
Cum să găsiți aria figurilor care nu sunt trapeze curbate?
Să fie date două funcții, ale căror grafice le vedeți pe diapozitiv . (sh.m.) Găsiți aria figurii umbrite . (sh.m.). Figura în cauză este un trapez curbat? Cum puteți găsi zona sa folosind proprietatea de aditivitate a zonei? Luați în considerare două trapeze curbate și scădeți aria celuilalt din aria unuia dintre ele ( sh.m.)
Să creăm un algoritm pentru găsirea zonei folosind animația pe un diapozitiv:
- Funcții grafice
- Proiectați punctele de intersecție ale graficelor pe axa x
- Umbriți figura obținută atunci când graficele se intersectează
- Găsiți trapeze curbilinie a căror intersecție sau unire este figura dată.
- Calculați aria fiecăruia dintre ele
- Găsiți diferența sau suma suprafețelor
Sarcină orală: Cum să obțineți zona unei figuri umbrite (spuneți folosind animație, slide 8 și 9)
Teme pentru acasă: Lucrați prin note, nr. 353 (a), nr. 364 (a).
Referințe
- Algebra și începuturile analizei: un manual pentru clasele 9-11 ale școlii de seară (în schimburi) / ed. G.D. Glaser. - M: Iluminismul, 1983.
- Bashmakov M.I. Algebra și începuturile analizei: un manual pentru clasele 10-11 de liceu / Bashmakov M.I. - M: Iluminismul, 1991.
- Bashmakov M.I. Matematică: manual pentru instituțiile de început. si miercuri prof. educație / M.I. Bashmakov. - M: Academia, 2010.
- Kolmogorov A.N. Algebră și începuturi de analiză: manual pentru clasele 10-11. instituţii de învăţământ / A.N. Kolmogorov. - M: Educație, 2010.
- Ostrovsky S.L. Cum se face o prezentare pentru o lecție?/ S.L. Ostrovsky. – M.: 1 septembrie 2010.
Încărcare...