3 în grade diferite. Exponentiație. Operații cu rădăcini

y (x) = e x, a cărei derivată este egală cu funcția însăși.

Exponentul este notat ca , sau .

Numărul e

Baza gradului de exponent este numărul e. Acesta este un număr irațional. Este aproximativ egal
e ≈ 2,718281828459045...

Numărul e este determinat prin limita secvenței. Acesta este așa-numitul a doua limită minunată:
.

Numărul e poate fi reprezentat și ca o serie:
.

Graficul exponențial

Grafic exponențial, y = e x .

Graficul arată exponențialul eîntr-o măsură X.
y (x) = e x
Graficul arată că exponentul crește monoton.

Formule

Formulele de bază sunt aceleași ca pentru funcția exponențială cu o bază de gradul e.

;
;
;

Exprimarea unei funcții exponențiale cu o bază arbitrară de gradul a printr-o exponențială:
.

Valori private

Lasă y (x) = e x.
.

Apoi

Proprietățile exponentului e > 1 .

Exponentul are proprietățile unei funcții exponențiale cu o bază de putere

Domeniu, set de valori (x) = e x Exponentul y
definit pentru toate x.
- ∞ < x + ∞ .
Domeniul său de definiție:
0 < y < + ∞ .

Multele sale semnificații:

Extreme, în creștere, în scădere

Exponențialul este o funcție crescătoare monoton, deci nu are extreme. Principalele sale proprietăți sunt prezentate în tabel.

Funcția inversă
;
.

Inversa exponentului este logaritmul natural.

Derivată a exponentului eîntr-o măsură X Derivat eîntr-o măsură X :
.
egal cu
.
Derivată de ordin al n-lea:

Formule derivate > > >

Integral

Numerele complexe Operațiile cu numere complexe se efectuează folosind:
,
formulele lui Euler
.

unde este unitatea imaginară:

; ;
.

Expresii prin funcții hiperbolice

; ;
;
.

Expresii folosind funcții trigonometrice

Extinderea seriei de putere
Literatura folosita:

ÎN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matematică pentru ingineri și studenți, „Lan”, 2009.

^

Introduceți numărul și gradul, apoi apăsați =.

Tabelul de grade Exemplu: 2 3 =8 grad: 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1 024 3 9 27 81 243 729 2 187 6 561 19 683 59 049 4 16 64 256 1 024 4 096 16 384 65 536 262 144 1 048 576 5 25 125 625 3 125 15 625 78 125 390 625 1 953 125 9 765 625 6 36 216 1 296 7 776 46 656 279 936 1 679 616 10 077 696 60 466 176 7 49 343 2 401 16 807 117 649 823 543 5 764 801 40 353 607 282 475 249 8 64 512 4 096 32 768 262 144 2 097 152 16 777 216 134 217 728 1 073 741 824 9 81 729 6 561 59 049 531 441 4 782 969 43 046 721 387 420 489 3 486 784 401 10 100 1 000 10 000 100 000 1 000 000 10 000 000 100 000 000 1 000 000 000 10 000 000 000 11 121 1 331 14 641 161 051 1 771 561 19 487 171 214 358 881 2 357 947 691 25 937 424 601 12 144 1 728 20 736 248 832 2 985 984 35 831 808 429 981 696 5 159 780 352 61 917 364 224 13 169 2 197 28 561 371 293 4 826 809 62 748 517 815 730 721 10 604 499 373 137 858 491 849 14 196 2 744 38 416 537 824 7 529 536 105 413 504 1 475 789 056 20 661 046 784 289 254 654 976 15 225 3 375 50 625 759 375 11 390 625 170 859 375 2 562 890 625 38 443 359 375 576 650 390 625 16 256 4 096 65 536 1 048 576 16 777 216 268 435 456 4 294 967 296 68 719 476 736 1 099 511 627 776 17 289 4 913 83 521 1 419 857 24 137 569 410 338 673 6 975 757 441 118 587 876 497 2 015 993 900 449 18 324 5 832 104 976 1 889 568 34 012 224 612 220 032 11 019 960 576 198 359 290 368 3 570 467 226 624 19 361 6 859 130 321 2 476 099 47 045 881 893 871 739 16 983 563 041 322 687 697 779 6 131 066 257 801 20 400 8 000 160 000 3 200 000 64 000 000 1 280 000 000 25 600 000 000 512 000 000 000 10 240 000 000 000 21 441 9 261 194 481 4 084 101 85 766 121 1 801 088 541 37 822 859 361 794 280 046 581 16 679 880 978 201 22 484 10 648 234 256 5 153 632 113 379 904 2 494 357 888 54 875 873 536 1 207 269 217 792 26 559 922 791 424 23 529 12 167 279 841 6 436 343 148 035 889 3 404 825 447 78 310 985 281 1 801 152 661 463 41 426 511 213 649 24 576 13 824 331 776 7 962 624 191 102 976 4 586 471 424 110 075 314 176 2 641 807 540 224 63 403 380 965 376 25 625 15 625 390 625 9 765 625 244 140 625 6 103 515 625 152 587 890 625 3 814 697 265 625 95 367 431 640 625

Număr

Proprietăți ale gradului - 2 părți

Un tabel al principalelor grade în algebră într-o formă compactă (imagine, convenabilă pentru tipărire), deasupra numărului, pe partea grade.

Accesați canalul de youtube al site-ului nostru pentru a fi la curent cu toate noile lecții video.

În primul rând, să ne amintim formulele de bază ale puterilor și proprietățile lor. Produsul unui număr o

apare pe sine de n ori, putem scrie această expresie ca a a … a=a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m = a n - m Putere sau ecuații exponențiale

Exemple de ecuații exponențiale:

În acest exemplu, numărul 6 este baza este întotdeauna în partea de jos, iar variabila x grad sau indicator.

Să dăm mai multe exemple de ecuații exponențiale.
2 x *5=10
16 x - 4 x - 6=0

Acum să vedem cum se rezolvă ecuațiile exponențiale?

Să luăm o ecuație simplă:

2 x = 2 3

Acest exemplu poate fi rezolvat chiar și în capul tău. Se poate observa că x=3. La urma urmei, pentru ca părțile din stânga și din dreapta să fie egale, trebuie să puneți numărul 3 în loc de x.
Acum să vedem cum să oficializăm această decizie:

2 x = 2 3
x = 3

Pentru a rezolva o astfel de ecuație, am eliminat temeiuri identice(adică doi) și a notat ce a mai rămas, acestea sunt grade. Am primit răspunsul pe care îl căutam.

Acum să rezumam decizia noastră.

Algoritm pentru rezolvarea ecuației exponențiale:
1. Trebuie verificat identic dacă ecuația are baze la dreapta și la stânga. Dacă motivele nu sunt aceleași, căutăm opțiuni pentru a rezolva acest exemplu.
2. După ce bazele devin aceleași, echivala grade și rezolvați noua ecuație rezultată.

Acum să ne uităm la câteva exemple:

Să începem cu ceva simplu.

Bazele din stânga și din dreapta sunt egale cu numărul 2, ceea ce înseamnă că putem renunța la baza și le putem echivala puterile.

x+2=4 Se obţine cea mai simplă ecuaţie.
x=4 – 2
x=2
Răspuns: x=2

În exemplul următor puteți vedea că bazele sunt diferite: 3 și 9.

3 3x - 9 x+8 = 0

Mai întâi, mutați cele nouă în partea dreaptă, obținem:

Acum trebuie să faci aceleași baze. Știm că 9=3 2. Să folosim formula puterii (a n) m = a nm.

3 3x = (3 2) x+8

Se obține 9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16

3 3x = 3 2x+16 Acum este clar că în partea stângă și în dreapta bazele sunt aceleași și egale cu trei, ceea ce înseamnă că le putem elimina și echivala gradele.

3x=2x+16 obținem cea mai simplă ecuație
3x - 2x=16
x=16
Răspuns: x=16.

Să ne uităm la următorul exemplu:

2 2x+4 - 10 4 x = 2 4

În primul rând, ne uităm la bazele, bazele două și patru. Și avem nevoie să fie la fel. Transformăm cele patru folosind formula (a n) m = a nm.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Și folosim, de asemenea, o formulă a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Adăugați la ecuație:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Am dat un exemplu din aceleași motive. Dar alte numere 10 și 24 ne deranjează Ce să facem cu ele? Dacă te uiți cu atenție, poți vedea că în partea stângă avem 2 2x repetate, iată răspunsul - putem pune 2 2x din paranteze:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Să calculăm expresia dintre paranteze:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Împărțim întreaga ecuație la 6:

Să ne imaginăm 4=2 2:

2 2x = 2 2 baze sunt aceleași, le aruncăm și echivalăm gradele.
2x = 2 este cea mai simplă ecuație. Împărțiți-l la 2 și obținem
x = 1
Răspuns: x = 1.

Să rezolvăm ecuația:

9 x – 12*3 x +27= 0

Să transformăm:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Obținem ecuația:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

Bazele noastre sunt aceleași, egale cu trei În acest exemplu, puteți vedea că primele trei au un grad de două ori (2x) decât al doilea (doar x). În acest caz, puteți rezolva metoda de înlocuire. Înlocuim numărul cu cel mai mic grad:

Atunci 3 2x = (3 x) 2 = t 2

Înlocuim toate puterile x din ecuație cu t:

t 2 - 12t+27 = 0
Obținem o ecuație pătratică. Rezolvând prin discriminant, obținem:
D=144-108=36
t 1 = 9
t2 = 3

Revenind la variabilă x.

Luați t 1:
t 1 = 9 = 3 x

Prin urmare,

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

S-a găsit o rădăcină. Îl căutăm pe al doilea din t 2:
t 2 = 3 = 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Răspuns: x 1 = 2; x 2 = 1.

Pe site poti pune intrebari de interes in sectiunea AJUTA LA DECIZI, cu siguranta iti vom raspunde.

Alăturați-vă grupului

O funcție de putere se numește funcție de forma y=x n (se citește ca y este egal cu x cu puterea lui n), unde n este un număr dat. Cazuri speciale de funcții de putere sunt funcții de forma y=x, y=x 2, y=x 3, y=1/x și multe altele. Să vă spunem mai multe despre fiecare dintre ele.

Funcția liniară y=x 1 (y=x)

Graficul este o linie dreaptă care trece prin punctul (0;0) la un unghi de 45 de grade față de direcția pozitivă a axei Ox.

Graficul este prezentat mai jos.

Proprietățile de bază ale unei funcții liniare:

• Funcția crește și este definită pe întreaga linie numerică.
• Nu are valori maxime sau minime.

Funcția pătratică y=x 2

Graficul unei funcții pătratice este o parabolă.

Proprietățile de bază ale unei funcții pătratice:

• 1. La x =0, y=0 și y>0 la x0
• 2. Funcția pătratică atinge valoarea minimă la vârf. Ymin la x=0; De asemenea, trebuie remarcat faptul că funcția nu are o valoare maximă.
• 3. Funcția scade pe intervalul (-∞;0] și crește pe intervalul al cărui sinus este egal cu a.

  arcsin(- Produsul unui număr)=- arcsinProdusul unui număr.

  Arccosinusul unui număr (arccos a) este un unghi din intervalul al cărui cosinus este egal cu a.

  arccos(-a)=π – arccosa.

  Arctangenta unui număr (arctg a) este un unghi din intervalul (-π/2; π/2), a cărui tangentă este egală cu a.

  arctg(- Produsul unui număr)=- arctgProdusul unui număr.

  Arccotangenta unui număr a (arcctg a) este un unghi din intervalul (0; π), a cărui cotangentă este egală cu a.

  arcctg(-a)=π – arcctg a.

  Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice simple.

  Formule generale.

  1) sin t=a, 0

  2) sin t = - a, 0

  3) cos t=a, 0

  4) cos t =-a, 0

  5) tg t =a, a>0, apoi t=arctg a + πn, nϵZ;

  6) tg t =-a, a>0, apoi t= - arctg a + πn, nϵZ;

  7) ctg t=a, a>0, apoi t=arcctg a + πn, nϵZ;

  8) ctg t= -a, a>0, apoi t=π – arcctg a + πn, nϵZ.

  Formule particulare.

  1) sin t =0, atunci t=πn, nϵZ;

  2) sin t=1, atunci t= π/2 +2πn, nϵZ;

  3) sin t= -1, atunci t= — π/2 +2πn, nϵZ;

  4) cos t=0, atunci t= π/2+ πn, nϵZ;

  5) cos t=1, atunci t=2πn, nϵZ;

  6) cos t=1, atunci t=π +2πn, nϵZ;

  7) tg t =0, atunci t = πn, nϵZ;

  8) cot t=0, atunci t = π/2+πn, nϵZ.

  Rezolvarea inegalităților trigonometrice simple.

  1) păcat

  2) sint>a (|a|<1), arcsina+2πn

  3) cost

  4) cost>a (|a|<1), -arccosa+2πn

  5) tgt

  6) tgt>a, arctga+πn

  7) ctgt

  8) ctgt>a, πn

  Direct într-un avion.

  • Ecuația generală a unei drepte este: Ax+By+C=0.
  • Ecuația unei drepte cu coeficient unghiular: y=kx+b (k – coeficient unghiular).
  • Unghiul ascuțit dintre liniile y=k 1 x+b 1 și y=k 2 x+b 2 este determinat de formula:

  

  • k 1 =k 2 - condiția paralelismului dreptelor y=k 1 x+b 1 și y=k 2 x+b 2.
  • Condiția pentru perpendicularitatea acestor drepte:
  • Ecuația unei drepte cu panta k și care trece prin

  prin punctul M(x 1; y 1), are forma: y-y 1 =k (x-x 1).

  • Ecuația unei drepte care trece prin două puncte date (x 1; y 1) și (x 2; y 2) are forma:

  

  • Lungimea segmentului M 1 M 2 cu capete în punctele M 1 (x 1; y 1) și M 2 (x 2; y 2):
  • Coordonatele punctului M(x o; y o) - mijlocul segmentului M 1 M 2

  

  • Coordonatele punctului C(x; y), împărțind într-un raport dat λ segmentul M 1 M 2 între punctele M 1 (x 1; y 1) și M 2 (x 2; y 2):

  

  • Distanța de la punctul M(x o; y o) la dreapta ax+by+c=0:

  Ecuația unui cerc.

  • Cerc cu centrul la origine: x 2 +y 2 =r 2, r – raza cercului.
  • Cerc cu centrul în punctul (a; b) și raza r: (x-a) 2 + (y-b) 2 =r 2.

  Limite.

  Transformarea (construcția) graficelor de funcții.

  • Graficul unei funcții y=- f(x) se obţine din graficul funcţiei y=f (x) prin reflexie în oglindă din axa absciselor.
  • Graficul unei funcții y=| f(x)| se obține prin reflexie în oglindă de pe axa absciselor acelei părți din graficul funcției y=f (x) care se află sub axa absciselor.
  • Graficul unei funcții y= f(| x|) se obține din graficul funcției y=f (x) astfel: se lasă o parte din grafic la dreapta axei ordonatelor și se afișează aceeași parte simetric față de ea însăși în raport cu axa ordonatelor.
  • Graficul unei funcții y= O∙ f(x) obţinut din graficul funcţiei y=f (x) prin întinderea A ori de-a lungul ordonatei. (Ordonata fiecărui punct de pe graficul funcției y=f (x) se înmulțește cu numărul A).
  • Graficul unei funcții y= f(k∙ x) obținut din graficul funcției y=f (x) prin comprimarea de k ori la k>1 sau întinderea de k ori la 0
  • Graficul unei funcții y= f(x-m) se obține din graficul funcției y=f (x) prin translație paralelă cu m segmente unitare de-a lungul axei absciselor.
  • Graficul unei funcții y= f(x)+ n se obţine din graficul funcţiei y=f (x) prin translaţie paralelă cu n segmente unitare de-a lungul axei ordonatelor.

  Funcția periodică.

  • Funcţie f numită funcție periodică cu punct T≠0, dacă pentru orice x din domeniul definiției valorile acestei funcții în puncte x, T-xŞiT+ x sunt egali, adică egalitatea este valabilă : f(x)= f(T-x)= f(T+ x)
  • Dacă funcţia f periodic și are o perioadă T, apoi functia y= O·f(k∙ x+ b), Unde O, kŞi b sunt constante şi k≠0 , este de asemenea periodic, iar perioada sa este egală cu T/| k|.

  

  Limita raportului dintre incrementul unei funcții și incrementul argumentului, atunci când acesta din urmă tinde spre zero, se numește derivată a funcției la un punct dat:

  

  • O funcție de forma y=a x, unde a>0, a≠1, x este orice număr, se numește functie exponentiala.
  • Domeniul definiției funcţie exponenţială: D (y)= R - set de toate numerele reale.
  • Gama de valori funcţie exponenţială: E (y)= R+-set de toate numerele pozitive.
  • Funcția exponențială y=a x crește când a>1.
  • Funcția exponențială y=a x scade la 0 .

  Toate proprietățile unei funcții de putere sunt valide :

  • și 0 =1 Orice număr (cu excepția zero) la puterea zero este egal cu unu.
  • a 1 =a Orice număr la prima putere este egal cu el însuși.
  • un x∙ay=ax + y La înmulțirea puterilor cu aceleași baze, baza rămâne aceeași și se adaugă exponenții.
  • un x:oy=ax-y La împărțirea puterilor cu aceeași bază, baza rămâne aceeași, iar exponentul divizorului este scăzut din exponentul dividendului.
  • (ox) y=axy Când ridicați o putere la o putere, baza rămâne aceeași, iar exponenții sunt înmulțiți
  • (a∙b)x=ax∙by Când ridicați un produs la o putere, fiecare dintre factori este ridicat la acea putere.
  • (a/b)x=ax/by Când ridicați o fracție la o putere, atât numărătorul, cât și numitorul fracției sunt ridicate la acea putere.
  • a -x =1/ax
  • (a/b)-x=(b/a)x.

  Logaritmul unui număr b bazat pe O (log a b) se numește exponentul la care trebuie ridicat un număr O pentru a obține numărul b.

  log a b= n, Dacă un n= b. Exemple: 1)log 2 8= 3 , deoarece 2 3 =8;

  2) log 5 (1/25)= -2 , deoarece 5 -2 =1/5 2 =1/25; 3) log 7 1= 0 , deoarece 7 0 =1.

  Sub semnul logaritmului poate fi doar numere pozitive, iar baza logaritmului este numărul a≠1. Valoarea logaritmului poate fi orice număr.

  

  Această identitate rezultă din definiția logaritmului: deoarece logaritmul este un exponent ( n), apoi, ridicând numărul la această putere O, primim numărul b.

  Logaritm la bază 10 se numește logaritm zecimal și atunci când sunt scrise, baza 10 și litera „o” sunt omise în scrierea cuvântului „log”.

  lg7 =log 10 7, lg7 – logaritmul zecimal al numărului 7.

  Logaritm la bază e(Numărul lui Neper e≈2.7) se numește logaritm natural.

  ln7 =log e 7, ln7 – logaritmul natural al numărului 7.

  Proprietățile logaritmilor valabil pentru logaritmi în orice bază.

  log a1=0 Logaritmul unității este zero (a>0, a≠1).

  log a a=1 Logaritmul unui număr O bazat pe O egal cu unu (a>0, a≠1).

  log a (x∙y)=log a x+log a y

  Logaritmul produsului este egal cu suma logaritmilor factorilor.

  log a(x/ y)= log un x— log a y

  Logaritmul coeficientului este egal cu diferența dintre logaritmii dividendului și divizorului.

  log a b=log c b/log c a

  Logaritmul unui număr b bazat pe O egal cu logaritmul numărului b pe o bază nouă Cu, împărțit la logaritmul vechii baze O pe o bază nouă Cu.

  log a b k= k∙ log a b Logaritmul puterii ( b k) este egal cu produsul exponentului ( k) prin logaritmul bazei ( b) de acest grad.

  log a n b=(1/ n)∙ log a b Logaritmul unui număr b bazat pe un n egal cu produsul fracției 1/ n la logaritmul unui număr b bazat pe Produsul unui număr.

  log a n b k=(k/ n)∙ log a b Formula este o combinație a celor două formule anterioare.

  log a r b r =log a b sau log a b= log a r b r

  Valoarea logaritmului nu se va schimba dacă baza logaritmului și numărul de sub semnul logaritmului sunt ridicate la aceeași putere.

  • O funcție F (x) se numește antiderivată pentru o funcție f (x) pe un interval dat dacă pentru toți x din acest interval F"(x)=f (x).
  • Orice antiderivată pentru funcția f (x) pe un interval dat poate fi scrisă sub forma F (x) + C, unde F (x) este una dintre antiderivatele pentru funcția f (x), iar C este o constantă arbitrară .
  • Mulțimea tuturor antiderivatelor F (x) + C ale funcției f (x) pe intervalul luat în considerare se numește integrală nedefinită și se notează ∫f (x) dx, unde f (x) este integrandul, f (x) ) dx este integrandul, x este integrarea variabilă.

  1) (∫f (x) dx)"=f (x); 2) d∫f (x) dx=f (x) dx; 3) ∫kf (x) dx=k·∫f (x) dx;

  4) ∫dF (x) dx=F (x)+C sau ∫F"(x) dx=F (x)+C;

  5) ∫(f (x)±g (x)) dx=∫f (x) dx±∫g (x) dx;

  6) ∫f (kx+b) dx=(1/k)·F (kx+b)+C.

  Tabelul integralelor.

  

  

  

  Volumul unui corp de rotație.

  

  Dragi oaspeți ai site-ului meu, toată lumea formulele matematice de bază 7-11îl puteți obține (complet gratuit) făcând clic pe link.

  În total există 431 de formule atât în ​​algebră, cât și în geometrie. Vă sfătuiesc să tipăriți fișierul pdf rezultat sub forma unei cărți. Cum să faci asta - Studii reușite, prieteni!