Решение интегралов - задача легкая, но только для избранных. Эта статья для тех, кто хочет научиться понимать интегралы, но не знает о них ничего или почти ничего. Интеграл... Зачем он нужен? Как его вычислять? Что такое определенный и неопределенный интегралы? Если единственное известное вам применение интеграла – доставать крючком в форме значка интеграла что-то полезное из труднодоступных мест, тогда добро пожаловать! Узнайте, как решать интегралы и почему без этого никак нельзя обойтись.

Изучаем понятие "интеграл"

Интегрирование было известно еще в Древнем Египте. Конечно, не в современном виде, но все же. С тех пор математики написали очень много книг по этой теме. Особенно отличились Ньютон и Лейбниц , но суть вещей не изменилась. Как понять интегралы с нуля? Никак! Для понимания этой темы все равно понадобятся базовые знания основ математического анализа. Сведения о , необходимые и для понимания интегралов, уже есть у нас в блоге.

Неопределенный интеграл

Пусть у нас есть какая-то функция f(x) .

Неопределенным интегралом функции f(x) называется такая функция F(x) , производная которой равна функции f(x) .

Другими словами интеграл – это производная наоборот или первообразная. Кстати, о том, как читайте в нашей статье.

Первообразная существует для всех непрерывных функций. Также к первообразной часто прибавляют знак константы, так как производные функций, различающихся на константу, совпадают. Процесс нахождения интеграла называется интегрированием.

Простой пример:

Чтобы постоянно не высчитывать первообразные элементарных функций, их удобно свести в таблицу и пользоваться уже готовыми значениями.

Полная таблица интегралов для студентов

Определенный интеграл

Имея дело с понятием интеграла, мы имеем дело с бесконечно малыми величинами. Интеграл поможет вычислить площадь фигуры, массу неоднородного тела, пройденный при неравномерном движении путь и многое другое. Следует помнить, что интеграл – это сумма бесконечно большого количества бесконечно малых слагаемых.

В качестве примера представим себе график какой-нибудь функции. Как найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции?

С помощью интеграла! Разобьем криволинейную трапецию, ограниченную осями координат и графиком функции, на бесконечно малые отрезки. Таким образом фигура окажется разделена на тонкие столбики. Сумма площадей столбиков и будет составлять площадь трапеции. Но помните, что такое вычисление даст примерный результат. Однако чем меньше и уже будут отрезки, тем точнее будет вычисление. Если мы уменьшим их до такой степени, что длина будет стремиться к нулю, то сумма площадей отрезков будет стремиться к площади фигуры. Это и есть определенный интеграл, который записывается так:

Точки а и b называются пределами интегрирования.

Бари Алибасов и группа "Интеграл"

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на

Правила вычисления интегралов для чайников

Свойства неопределенного интеграла

Как решать неопределенный интеграл? Здесь мы рассмотрим свойства неопределенного интеграла, которые пригодятся при решении примеров.

• Производная от интеграла равна подынтегральной функции:

• Константу можно выносить из-под знака интеграла:

• Интеграл от суммы равен сумме интегралов. Верно также для разности:

Свойства определенного интеграла

• Линейность:

• Знак интеграла изменяется, если поменять местами пределы интегрирования:

• При любых точках a , b и с :

Мы уже выяснили, что определенный интеграл - это предел суммы. Но как получить конкретное значение при решении примера? Для этого существует формула Ньютона-Лейбница:

Примеры решения интегралов

Ниже рассмотрим несколько примеров нахождения неопределенных интегралов. Предлагаем самостоятельно разобраться в тонкостях решения, а если что-то непонятно, задавайте вопросы в комментариях.

Для закрепления материала посмотрите видео о том, как решаются интегралы на практике. Не отчаиваетесь, если интеграл не дается сразу. Обратитесь в профессиональный сервис для студентов, и любой тройной или криволинейный интеграл по замкнутой поверхности станет вам по силам.

Неопределенный интеграл.
Подробные примеры решений

На данном уроке мы начнём изучение темы Неопределенный интеграл , а также подробно разберем примеры решений простейших (и не совсем) интегралов. В этой статье я ограничусь минимумом теории , и сейчас наша задача – научиться решать интегралы.

Что нужно знать для успешного освоения материала? Для того чтобы справиться с интегральным исчислением Вам необходимо уметь находить производные, минимум, на среднем уровне. Поэтому, если материал запущен, то рекомендую сначала внимательно ознакомиться с уроками Как найти производную? и Производная сложной функции . Не лишним опытом будет, если у Вас за плечами несколько десятков (лучше – сотня) самостоятельно найденных производных. По-крайне мере, Вас не должны ставить в тупик задания на дифференцирование простейших и наиболее распространенных функций. Казалось бы, при чем здесь вообще производные, если речь в статье пойдет об интегралах?! А дело вот в чем. Дело в том, что нахождение производных и нахождение неопределенных интегралов (дифференцирование и интегрирование) – это два взаимно обратных действия , как, например, сложение/вычитание или умножение/деление. Таким образом, без навыка (+ какого-никакого опыта) нахождения производных, к сожалению, дальше не продвинуться.

В этой связи нам потребуются следующие методические материалы: Таблица производных и Таблица интегралов . Справочные пособия можно открыть, закачать или распечатать на странице Математические формулы и таблицы .

В чем сложность изучения неопределенных интегралов? Если в производных имеют место строго 5 правил дифференцирования, таблица производных и довольно четкий алгоритм действий, то в интегралах всё иначе. Существуют десятки способов и приемов интегрирования. И, если способ интегрирования изначально подобран неверно (т.е. Вы не знаете, как решать), то интеграл можно «колоть» буквально сутками, как самый настоящий ребус, пытаясь приметить различные приемы и ухищрения. Некоторым даже нравится. Между прочим, это не шутка, мне довольно часто приходилось слышать от студентов мнение вроде «У меня никогда не было интереса решить предел или производную, но вот интегралы – совсем другое дело, это увлекательно, всегда есть желание «взломать» сложный интеграл». Стоп. Хватит чёрного юмора, переходим к этим самым неопределенным интегралам.

Коль скоро способов решения существует очень много, то с чего же начать изучение неопределенных интегралов чайнику? В интегральном исчислении существуют, на мой взгляд, три столпа или своеобразная «ось», вокруг которой вращается всё остальное. В первую очередь следует хорошо разобраться в простейших интегралах (эта статья). Потом нужно детально проработать урок . ЭТО ВАЖНЕЙШИЙ ПРИЁМ! Может быть, даже самая важная статья из всех моих статей, посвященных интегралам. И, в-третьих, обязательно следует ознакомиться с методом интегрирования по частям , поскольку с помощью него интегрируется обширный класс функций. Если Вы освоите хотя бы эти три урока, то уже «не два». Вам могут «простить» незнание интегралов от тригонометрических функций , интегралов от дробей , интегралов от дробно-рациональных функций , интегралов от иррациональных функций (корней) , но вот если «сесть в лужу» на методе замены или методе интегрирования по частям – то это будет очень и очень скверно.

В Рунете сейчас весьма распространены демотиваторы. В контексте изучения интегралов, наоборот, просто необходим МОТИВАТОР . Как в том анекдоте про Василия Ивановича, который и Петьку мотивировал, и Аньку мотивировал. Уважаемые лентяи, халявщики и другие нормальные студенты, обязательно прочитайте нижеследующее. Знания и навыки по неопределенному интегралу потребуются в дальнейшей учебе, в частности, при изучении определенного интеграла , несобственных интегралов , дифференциальных уравнений на 2 курсе. Необходимость взять интеграл возникает даже в теории вероятностей ! Таким образом, без интегралов путь на летнюю сессию и 2 курс БУДЕТ РЕАЛЬНО ЗАКРЫТ . Я серьезно. Вывод таков. Чем больше интегралов различных типов вы прорешаете, тем легче будет дальнейшая жизнь . Да, это займет довольно много времени, да, порой, не хочется, да, иногда «да фиг с ним, с этим интегралом, авось не попадется». Но, воодушевлять и греть душу должна следующая мысль, ваши усилия окупятся сполна! Вы будете, как орехи щелкать дифференциальные уравнения и легко расправляться с интегралами, которые встретятся в других разделах высшей математики. Качественно разобравшись с неопределенным интегралом, ВЫ ФАКТИЧЕСКИ ОСВАИВАЕТЕ ЕЩЕ НЕСКОЛЬКО РАЗДЕЛОВ ВЫШКИ .

И поэтому я просто не мог не создать интенсивный курс по технике интегрирования, который получился на удивление коротким – желающие могут воспользоваться pdf-книгой и подготовиться ОЧЕНЬ быстро. Но материалы сайта ни в коем случае не хуже!

Итак, начинаем с простого. Посмотрим на таблицу интегралов. Как и в производных, мы замечаем несколько правил интегрирования и таблицу интегралов от некоторых элементарных функций. Нетрудно заметить, что любой табличный интеграл (да и вообще любой неопределенный интеграл) имеет вид:

Сразу разбираемся в обозначениях и терминах:

– значок интеграла.

– подынтегральная функция (пишется с буквой «ы»).

– значок дифференциала. При записи интеграла и в ходе решения важно не терять данный значок. Заметный недочет будет.

– подынтегральное выражение или «начинка» интеграла.

– первообразная функция .

– множество первообразных функций. Не нужно сильно загружаться терминами, самое важное, что в любом неопределенном интеграле к ответу приплюсовывается константа .

Решить интеграл – это значит найти определенную функцию , пользуясь некоторыми правилами, приемами и таблицей .

Еще раз посмотрим на запись:

Посмотрим в таблицу интегралов.

Что происходит? Левые части у нас превращаются в другие функции: .

Упростим наше определение.

Решить неопределенный интеграл – это значит ПРЕВРАТИТЬ его в определенную функцию , пользуясь некоторыми правилами, приемами и таблицей .

Возьмем, например, табличный интеграл . Что произошло? превратился в функцию .

Как и в случае с производными, для того, чтобы научиться находить интегралы, не обязательно быть в курсе, что такое интеграл , первообразная функция с теоретической точки зрения. Достаточно просто осуществлять превращения по некоторым формальным правилам. Так, в случае совсем не обязательно понимать, почему интеграл превращается именно в . Пока можно принять эту и другие формулы как данность. Все пользуются электричеством, но мало кто задумывается, как там по проводам бегают электроны.

Так как дифференцирование и интегрирование – противоположные операции, то для любой первообразной, которая найдена правильно , справедливо следующее :

Иными словами, если продифференцировать правильный ответ, то обязательно должна получиться исходная подынтегральная функция .

Вернемся к тому же табличному интегралу .

Убедимся в справедливости данной формулы. Берем производную от правой части:

– исходная подынтегральная функция.

Вот, кстати, стало понятнее, почему к функции всегда приписывается константа . При дифференцировании константа всегда превращается в ноль.

Решить неопределенный интеграл – это значит найти множество всех первообразных, а не какую-то одну функцию. В рассматриваемом табличном примере , , , и т. д. – все эти функции являются решением интеграла . Решений бесконечно много, поэтому записывают коротко:

Таким образом, любой неопределенный интеграл достаточно легко проверить (в отличие от производных, где хорошую стопудовую проверку можно осуществить разве что с помощью математических программ). Это некоторая компенсация за большое количество интегралов разных видов.

Переходим к рассмотрению конкретных примеров. Начнем, как и при изучении производной,
с двух правил интегрирования, которые также называют свойствами линейности неопределенного интеграла:

– постоянный множитель можно (и нужно) вынести за знак интеграла.

– интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме двух интегралов от каждой функции в отдельности. Данное свойство справедливо для любого количества слагаемых.

Как видите, правила, в принципе, такие же, как и для производных.

Пример 1

Решение: Удобнее переписать его на бумагу.

(1) Применяем правило . Не забываем записать значок дифференциала под каждым интегралом. Почему под каждым? – это полноценный множитель , если расписывать решение совсем детально, то первый шаг следует записать так:

(2) Согласно правилу , выносим все константы за знаки интегралов. Обратите внимание, что в последнем слагаемом – это константа, её также выносим.
Кроме того, на данном шаге готовим корни и степени для интегрирования. Точно так же, как и при дифференцировании, корни надо представить в виде . Корни и степени, которые располагаются в знаменателе – перенести вверх.

! Примечание: в отличие от производных, корни в интегралах далеко не всегда следует приводить к виду , а степени переносить вверх. Например, – это готовый табличный интеграл, и всякие китайские хитрости вроде совершенно не нужны. Аналогично: – тоже табличный интеграл, нет никакого смысла представлять дробь в виде . Внимательно изучите таблицу!

(3) Все интегралы у нас табличные. Осуществляем превращение с помощью таблицы, используя формулы: , и .
Особое внимание обращаю на формулу интегрирования степенной функции , она встречается очень часто, ее лучше запомнить. Следует отметить, что табличный интеграл – частный случай этой же формулы: .
Константу достаточно приплюсовать один раз в конце выражения (а не ставить их после каждого интеграла) .
(4) Записываем полученный результат в более компактном виде, все степени вида снова представляем в виде корней, степени с отрицательным показателем – сбрасываем обратно в знаменатель.

Проверка. Для того чтобы выполнить проверку нужно продифференцировать полученный ответ:

Получена исходная подынтегральная функция , значит, интеграл найден правильно. От чего плясали, к тому и вернулись. Знаете, очень хорошо, когда история с интегралом заканчивается именно так.

Время от времени встречается немного другой подход к проверке неопределенного интеграла, от ответа берется не производная, а дифференциал :

Кто с первого семестра понял, тот понял, но сейчас нам важны не теоретические тонкости, а важно то, что с этим дифференциалом дальше делать. Его необходимо раскрыть, и с формально-технической точки зрения – это почти то же самое, что найти производную. Дифференциал раскрывается следующим образом: значок убираем, справа над скобкой ставим штрих, в конце выражения приписываем множитель :

Получено исходное подынтегральное выражение , значит, интеграл найден правильно.

Второй способ проверки мне нравится меньше, так как приходится дополнительно рисовать большие скобки и тащить значок дифференциала до конца проверки. Хотя он корректнее или «солиднее» что ли.

На самом деле я вообще мог умолчать о втором способе проверки. Дело не в способе, а в том, что мы научились раскрывать дифференциал. Еще раз.

Дифференциал раскрывается следующим образом :

1) значок убираем;
2) справа над скобкой ставим штрих (обозначение производной);
3) в конце выражения приписываем множитель .

Например:

Запомните это. Рассмотренный приём потребуется нам очень скоро.

Пример 2

Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.

Когда мы находим неопределенный интеграл, то ВСЕГДА стараемся сделать проверку , тем более, для этого есть прекрасная возможность. Далеко не все типы задач в высшей математике является подарком с этой точки зрения. Неважно, что часто в контрольных заданиях проверки не требуется, её никто, и ничто не мешает провести на черновике. Исключение можно сделать лишь тогда, когда не хватает времени (например, на зачете, экзамене). Лично я всегда проверяю интегралы, а отсутствие проверки считаю халтурой и некачественно выполненным заданием.

Пример 3

Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.

Решение: Анализируя интеграл, мы видим, что у нас произведение двух функций, да еще и возведение в степень целого выражения. К сожалению, на поприще интегральной битвы нет хороших и удобных формул для интегрирования произведения и частного , .

А поэтому, когда дано произведение или частное, всегда имеет смысл посмотреть, а нельзя ли преобразовать подынтегральную функцию в сумму?

Рассматриваемый пример – тот случай, когда можно. Сначала я приведу полное решение, комментарии будут ниже.

(1) Используем старую-добрую формулу квадрата суммы , избавляясь от степени.

(2) Вносим в скобку, избавляясь от произведения.

Пример 4

Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.

Это пример для самостоятельно решения. Ответ и полное решение в конце урока.

Пример 5

Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.

В данном примере подынтегральная функция представляет собой дробь. Когда мы видим в подынтегральном выражении дробь, то первой мыслью должен быть вопрос: А нельзя ли как-нибудь от этой дроби избавиться, или хотя бы её упростить?

Замечаем, что в знаменателе находится одинокий корень из «икс». Один в поле – не воин, а значит, можно почленно разделить числитель на знаменатель:

Действия с дробными степенями я не комментирую, так как о них неоднократно шла речь в статьях о производной функции. Если Вас все-таки ставит в тупик такой пример, как , и ни в какую не получается правильный ответ , то рекомендую обратиться к школьным учебникам. В высшей математике дроби и действия с ними встречаются на каждом шагу.

Также обратите внимание, что в решении пропущен один шаг, а именно, применение правил , . Обычно уже при начальном опыте решения интегралов данные свойства считают само собой разумеющимися и не расписывают подробно.

Пример 6

Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.

Это пример для самостоятельно решения. Ответ и полное решение в конце урока.

В общем случае с дробями в интегралах не всё так просто, дополнительный материал по интегрированию дробей некоторых видов можно найти в статье Интегрирование некоторых дробей .

! Но, прежде чем перейти к вышеуказанной статье, необходимо ознакомиться с уроком Метод замены в неопределенном интеграле . Дело в том, что подведение функции под дифференциал или метод замены переменной является ключевым моментом в изучении темы, поскольку встречается не только «в чистых заданиях на метод замены», но и во многих других разновидностях интегралов.

Очень хотелось включить еще несколько примеров в данный урок, но вот сижу сейчас, печатаю этот текст в Вёрде и замечаю, что статья уже выросла до приличных размеров.
А поэтому вводный курс интегралов для чайников подошел к концу.

Желаю успехов!

Решения и ответы:

Пример 2: Решение :

Пример 4: Решение :

В данном примере мы использовали формулу сокращенного умножения

Пример 6: Решение :

Я выполнил проверку, а Вы? ;)

Калькулятор решает интегралы c описанием действий ПОДРОБНО на русском языке и бесплатно!

Решение неопределённых интегралов

Это онлайн сервис в один шаг :

Решение определённых интегралов

Это онлайн сервис в один шаг :

• Ввести подинтегральное выражение (подинтегральную функцию)
• Ввести нижний предел для интеграла
• Ввести верхний предел для интеграла

Решение двойных интегралов

• Ввести подинтегральное выражение (подинтегральную функцию)

Решение несобственных интегралов

• Ввести подинтегральное выражение (подинтегральную функцию)
• Введите верхнюю область интегрирования (или + бесконечность)
• Ввести нижнюю область интегрирования (или - бесконечность)

Решение тройных интегралов

• Ввести подинтегральное выражение (подинтегральную функцию)
• Ввести нижний и верхний пределы для первой области интегрирования
• Ввести нижний и верхний предел для второй области интегрирования
• Ввести нижний и верхний предел для третьей области интегрирования

Данный сервис позволяет проверить свои вычисления на правильность

Возможности

• Поддержка всех возможных математических функций: синус, косинус, экспонента, тангенс, котангенс, корень квадратный и кубический, степени, показательные и другие.
• Есть примеры для ввода, как для неопределённых интегралов, так и для несобственных и определённых.
• Исправляет ошибки в ведённых вами выражениях и предлагает свои варианты для ввода.
• Численное решение для определённых и несобственных интегралов (в том числе для двойных и тройных интегралов).
• Поддержка комплексных чисел, а также различных параметров (вы можете указывать в подинтегральном выражении не только переменную интегрирования, но и другие переменные-параметры)

Под непосредственным интегрированием понимают такой способ интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам.

Пример 1. Найти.

 Разделив числитель на знаменатель, получим:

=
.

Отметим, что нет надобности после каждого слагаемого ставить произвольную постоянную, потому что их сумма есть также произвольная постоянная, которую мы пишем в конце.

Пример 2. Найти
.

 Преобразуем подынтегральную функцию следующим образом:

.

Применив табличный интеграл 1, получим:

.

Пример 3.

Пример 4.

Пример 5.

=
.

В некоторых случаях нахождение интегралов упрощается применением искусственных приемов.

Пример 6. Найти
.

 Умножив подынтегральное выражение на
находим

=
.

Пример 7 .

Пример 8 .

2. Интегрирование методом замены переменной

Вычислить заданный интеграл непосредственным интегрированием удается далеко не всегда, а иногда это связано с большими трудностями. В этих случаях применяют другие приемы. Одним из наиболее эффективных является метод замены переменной. Сущность его заключается в том, что путем введения новой переменной интегрирования удается свести заданный интеграл к новому, который сравнительно легко берется непосредственно. Существуют два варианта этого метода.

а) Метод подведения функции под знак дифференциала

По определению дифференциала функции
.

Переход в этом равенстве слева направо называют "подведением множителя
под знак дифференциала".

Теорема об инвариантности формул интегрирования

Всякая формула интегрирования сохраняет свой вид при подстановке вместо независимой переменной любой дифференцируемой функции от нее, т.е., если

, то и
,

где
- любая дифференцируемая функция отx . Ее значения должны принадлежать интервалу, в котором функцияопределена и непрерывна.

Доказательство:

Из того, что
, следует
. Возьмем теперь функцию
. Для ее дифференциала в силу свойства инвариантности формы первого дифференциала функции  имеем

Пусть требуется вычислить интеграл
. Предположим, что существуют дифференцируемая функция
и функция
такие, что подынтегральное выражение
может быть записано в виде

т.е. вычисление интеграла
сводится к вычислению интеграла
и последующей подстановке
.

Пример 1. .

Пример 2. .

Пример 3 . .

Пример 4 . .

Пример 5 .
.

Пример 6 . .

Пример 7 . .

Пример 8. .

Пример 9. .

Пример 10 . .

Пример 11.

Пример 12 . НайтиI=
(0).

 Представим подынтегральную функцию в виде:

Следовательно,

Таким образом,
.

Пример 12а. НайтиI =
,
.

 Так как
,

следовательно I = . 

Пример 13. Найти
(0).

 Для того, чтобы свести этот интеграл к табличному, разделим числитель и знаменатель подынтегрального выражения на :

.

Мы подвели постоянный множитель под знак дифференциала. Рассматриваякак новую переменную, получим:

.

Вычислим также интеграл, который имеет важное значение при интегрировании иррациональных функций.

Пример 14. НайтиI=
(х а ,а 0).

 Имеем
.

Итак,

(х а ,а 0).

Представленные примеры иллюстрируют важность умения приводить данное

дифференциальное выражение
к виду
, гдеесть некоторая функция отx иg – функция более простая для интегрирования, чемf .

В этих примерах были проведены преобразования дифференциала, такие как

гдеb – постоянная величина

,

,

,

часто используемые при нахождении интегралов.

В таблице основных интегралов предполагалось, что x есть независимая переменная. Однако, эта таблица, как следует из изложенного выше, полностью сохраняет свое значение, если подx понимать любую непрерывно дифференцируемую функцию от независимой переменной. Обобщим ряд формул таблицы основных интегралов.

3а.
.

4.
.

5.
=
.

6.
=
.

7.
=
.

8.
(х а ,а 0).

9.
(а 0).

Операция подведения функции
под знак дифференциала эквивалентна замене переменнойх на новую переменную
. Нижеследующие примеры иллюстрируют это положение.

Пример 15. НайтиI=
.

 Произведем замену переменной по формуле
, тогда
, т.е.
иI=
.

Заменив u его выражением
, окончательно получим

I=
.

Выполненное преобразование эквивалентно подведению под знак дифференциала функции
.

Пример 16. Найти
.

 Положим
, тогда
, откуда
. Следовательно,

Пример 17. Найти
.

 Пусть
, тогда
, или
. Следовательно,

В заключение отметим, что разные способы интегрирования одной и той же функции иногда приводят к функциям, различным по своему виду. Это кажущееся противоречие можно устранить, если показать, что разность между полученными функциями есть постоянная величина (см. теорему, доказанную на лекции 1).

Примеры:

Результаты отличаются на постоянную величину, и, значит, оба ответа верны.

б) I=
.

Легко убедиться, что любые из ответов отличаются друг от друга только на постоянную величину.

б) Метод подстановки (метод введения новой переменной)

Пусть интеграл
(
- непрерывна) не может быть непосредственно преобразован к виду табличного. Сделаем подстановку
, где
- функция, имеющая непрерывную производную. Тогда
,
и

. (3)

Формула (3) называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.

Как правильно выбрать подстановку? Это достигается практикой в интегрировании. Но можно установить ряд общих правил и некоторых приемов для частных случаев интегрирования.

Правило интегрирования способом подстановки состоит в следующем.

Определяют, к какому табличному интегралу приводится данный интеграл (предварительно преобразовав подынтегральное выражение, если нужно).

Определяют, какую часть подынтегральной функции заменить новой переменной, и записывают эту замену.

Находят дифференциалы обеих частей записи и выражают дифференциал старой переменной (или выражение, содержащее этот дифференциал) через дифференциал новой переменной.

Производят замену под интегралом.

Находят полученный интеграл.

Производят обратную замену, т.е. переходят к старой переменной.

Проиллюстрируем правило примерами.

Пример 18. Найти
.

Пример 19. Найти
.

=
.

Этот интеграл найдем подведением
под знак дифференциала.

=.

Пример 20. Найти
(
).

, т.е.
, или
. Отсюда
, т.е.
.

Таким образом, имеем
. Заменяяего выражением черезx , окончательно находим интеграл, играющий важную роль в интегрировании иррациональных функций:
(
).

Студенты прозвали этот интеграл «длинным логарифмом».

Иногда вместо подстановки
лучше выполнять замену переменной вида
.

Пример 21. Найти
.

Пример 22. Найти
.

 Воспользуемся подстановкой
. Тогда
,
,
.

Следовательно, .

В ряде случаев нахождение интеграла основывается на использовании методов непосредственного интегрирования и подведения функций под знак дифференциала одновременно (см. пример 12).

Проиллюстрируем этот комбинированный подход к вычислению интеграла, играющего важную роль при интегрировании тригонометрических функций.

Пример 23. Найти
.

=
.

Итак,
.

Другой подход к вычислению этого интеграла:

.

Пример 24. Найти
.

Заметим, что удачный выбор подстановки обычно представляет трудности. Для их преодоления необходимо овладеть техникой дифференцирования и хорошо знать табличные интегралы.

Для вычисления данного интеграла мы должны, если это возможно, пользуясь теми или другими способами, привести его к табличному интегралу и таким образом найти искомый результат. В нашем курсе мы рассмотрим лишь некоторые, наиболее часто встречающиеся приемы интегрирования и укажем их применение к простейшим примерам.

Наиболее важными методами интегрирования являются:
1) метод непосредственного интегрирования (метод разложения),
2) метод подстановки (метод введения новой переменной),
3) метод интегрирования по частям.

I. Метод непосредственного интегрирования

Задача нахождения неопределенных интегралов от многих функций решается методом сведения их к одному из табличных интегралов.

∫(1-√x) 2 dx=∫(1-2√x+x)dx=∫dx-∫2√xdx+∫xdx=∫dx-2∫x dx+∫xdx=

Пример 3. ∫sin 2 xdx

Так как sin 2 x=(1-cos2x), то
∫sin 2 xdx=(1-cos2x)dx=∫dx-∫cos2xd(2x)=x-sin2x+C

Пример 4. ∫sinxcos3xdx

Так как sinxcos3x=(sin4x-sin2x), то имеем
∫sinxcos3xdx=∫(sin4x-sin2x)dx=∫sin4xd(4x)-∫sin2xd(2x)=-cos4x+cos2x+C

Пример 5. Найти неопределенный интеграл: ∫cos(7x-3)dx

∫cos(7x-3)=∫cos(7x-3)d(7x-3)=sin(7x-3)+C

Пример 6.

II. Метод подстановки (интегрирование заменой переменной)

Если функция x=φ(t) имеет непрерывную производную, то в данном неопределенном интеграле ∫f(x)dx всегда можно перейти к новой переменной t по формуле

∫f(x)dx=∫f(φ(t))φ"(t)dt

Затем найти интеграл из правой части и вернуться к исходной переменной. При этом, интеграл стоящий в правой части данного равенства может оказаться проще интеграла, стоящего в левой части этого равенства, или даже табличным. Такой способ нахождения интеграла называется методом замены переменной.

Пример 7. ∫x√x-5dx

Чтобы избавиться от корня, полагаем √x-5=t. Отсюда x=t 2 +5 и, следовательно, dx=2tdt. Производя подстановку, последовательно имеем:

∫x√x-5dx=∫(t 2 +5) 2tdt=∫(2t 4 +10t 2)dt=2∫t 4 dt+10∫t 2 dt=

Пример 8.

Так как , то имеем

Пример 9.

Пример 10. ∫e -x 3 x 2 dx

Воспользуемся подстановкой -x 3 =t. Тогда имеем -3x 2 dx=dt и ∫e -x 3 x 2 dx=∫e t (-1/3)dt=-1/3e t +C=-1/3e -x 3 +C

Пример 11.

Применим подстановку 1+sinx=t , тогда cosxdx=dt и

III. Метод интегрирования по частям

Метод интегрирование по частям основан на следующей формуле:

∫udv=uv-∫vdu

где u(x),v(x) –непрерывно дифференцируемые функции. Формула называется формулой интегрирования по частям. Данная формула показывает, что интеграл ∫udv приводит к интегралу ∫vdu, который может оказаться более простым, чем исходный, или даже табличным.

Пример 12. Найти неопределенный интеграл ∫xe -2x dx