Cea mai mare (cea mai mică) valoare a unei funcții este cea mai mare (cea mai mică) valoare acceptată a ordonatei pe intervalul considerat.

Pentru a găsi cel mai mare sau cea mai mică valoare functii necesare:

Verificați ce puncte staționare sunt incluse într-un anumit segment.
Calculați valoarea funcției la capetele segmentului și în punctele staționare de la pasul 3
Selectați cea mai mare sau cea mai mică valoare din rezultatele obținute.

Pentru a găsi punctele maxime sau minime, trebuie să:

Găsiți derivata funcției $f"(x)$
Găsiți puncte staționare rezolvând ecuația $f"(x)=0$
Factorizați derivata unei funcții.
Desenați o dreaptă de coordonate, plasați puncte staționare pe ea și determinați semnele derivatei în intervalele rezultate, folosind notația de la pasul 3.
Găsiți punctele maxime sau minime conform regulii: dacă la un punct derivata își schimbă semnul de la plus la minus, atunci acesta va fi punctul maxim (dacă de la minus la plus, atunci acesta va fi punctul minim). În practică, este convenabil să folosiți imaginea săgeților pe intervale: pe intervalul în care derivata este pozitivă, săgeata este trasă în sus și invers.

Tabel de derivate ale unor funcții elementare:

Funcţie	Derivat
$c$	$0$
$x$	$1$
$x^n, n∈N$	$nx^(n-1), n∈N$
$(1)/(x)$	$-(1)/(x^2)$
$(1)/x(^n), n∈N$	$-(n)/(x^(n+1)), n∈N$
$√^n(x), n∈N$	$(1)/(n√^n(x^(n-1)), n∈N$
$sinx$	$cosx$
$cosx$	$-sinx$
$tgx$	$(1)/(cos^2x)$
$ctgx$	$-(1)/(sin^2x)$
$cos^2x$	$-sin2x$
$sin^2x$	$sin2x$
$e^x$	$e^x$
$a^x$	$a^xlna$
$lnx$	$(1)/(x)$
$log_(a)x$	$(1)/(xlna)$

Reguli de bază de diferențiere

1. Derivata sumei si diferentei este egala cu derivata fiecarui termen

$(f(x) ± g(x))′= f′(x)± g′(x)$

Aflați derivata funcției $f(x) = 3x^5 – cosx + (1)/(x)$

Derivata sumei și diferenței este egală cu derivata fiecărui termen

$f′(x)=(3x^5)′–(cosx)′+((1)/(x))"=15x^4+sinx-(1)/(x^2)$

2. Derivat al produsului.

$(f(x)∙g(x))′=f′(x)∙g(x)+f(x)∙g(x)′$

Aflați derivata $f(x)=4x∙cosx$

$f′(x)=(4x)′∙cosx+4x∙(cosx)′=4∙cosx-4x∙sinx$

3. Derivată a coeficientului

$((f(x))/(g(x)))"=(f^"(x)∙g(x)-f(x)∙g(x)")/(g^2(x) )$

Găsiți derivata $f(x)=(5x^5)/(e^x)$

$f"(x)=((5x^5)"∙e^x-5x^5∙(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4∙e^x- 5x^5∙e^x)/((e^x)^2)$

4. Derivat functie complexa este egal cu produsul dintre derivata funcției externe și derivata funcției interne

$f(g(x))′=f′(g(x))∙g′(x)$

$f′(x)=cos′(5x)∙(5x)′= - sin(5x)∙5= -5sin(5x)$

Aflați punctul minim al funcției $y=2x-ln⁡(x+11)+4$

1. Aflați ODZ a funcției: $x+11>0; x>-11$

2. Aflați derivata funcției $y"=2-(1)/(x+11)=(2x+22-1)/(x+11)=(2x+21)/(x+11)$

3. Găsiți puncte staționare echivalând derivata cu zero

$(2x+21)/(x+11)=0$

O fracție este egală cu zero dacă numărătorul este zero și numitorul nu este zero.

$2x+21=0; x≠-11$

4. Să desenăm o dreaptă de coordonate, să punem puncte staționare pe ea și să determinăm semnele derivatei în intervalele rezultate. Pentru a face acest lucru, înlocuiți orice număr din regiunea cea mai din dreapta în derivată, de exemplu, zero.

$y"(0)=(2∙0+21)/(0+11)=(21)/(11)>0$

5. La punctul minim, derivata își schimbă semnul din minus în plus, prin urmare, punctul $-10,5$ este punctul minim.

Răspuns: -10,5 USD

Găsiți cea mai mare valoare a funcției $y=6x^5-90x^3-5$ pe segmentul $[-5;1]$

1. Aflați derivata funcției $y′=30x^4-270x^2$

2. Echivalează derivata cu zero și găsește puncte staționare

$30x^4-270x^2=0$

Să luăm factorul total $30x^2$ din paranteze

30$x^2(x^2-9)=0$

$30x^2(x-3)(x+3)=0$

Să echivalăm fiecare factor cu zero

$x^2=0 ; x-3=0; x+3=0$

$x=0;x=3;x=-3$

3. Selectați punctele staționare care aparțin segmentului dat $[-5;1]$

Punctele staționare $x=0$ și $x=-3$ ni se potrivesc

4. Calculați valoarea funcției la capetele segmentului și în punctele staționare de la pasul 3

Studiul unui astfel de obiect de analiză matematică ca funcție este de mare importanță sensși în alte domenii ale științei. De exemplu, în analiza economică există o nevoie constantă de a evalua comportamentul funcții profit, și anume pentru a-i determina cel mai mare sensși să dezvolte o strategie pentru a-l atinge.

Instrucţiuni

Studiul oricărui comportament ar trebui să înceapă întotdeauna cu o căutare a domeniului definiției. De obicei, în funcție de condițiile unei probleme specifice, este necesar să se determine cea mai mare sens funcții fie pe toată această zonă, fie pe un anumit interval al acesteia cu margini deschise sau închise.

Pe baza , cel mai mare este sens funcții y(x0), în care pentru orice punct din domeniul definiției este valabilă inegalitatea y(x0) ≥ y(x) (x ≠ x0). Grafic, acest punct va fi cel mai mare dacă valorile argumentului sunt plasate de-a lungul axei absciselor, iar funcția însăși de-a lungul axei ordonatelor.

Pentru a determina cel mai mare sens funcții, urmați algoritmul în trei pași. Vă rugăm să rețineți că trebuie să puteți lucra cu unilateral și , precum și să calculați derivata. Deci, să fie dată o funcție y(x) și trebuie să găsiți cea mai mare sens pe un anumit interval cu valori la limită A și B.

Aflați dacă acest interval se încadrează în domeniul de aplicare al definiției funcții. Pentru a face acest lucru, trebuie să-l găsiți luând în considerare toate restricțiile posibile: prezența unei fracții, rădăcină pătrată etc. în expresie. Domeniul definiției este setul de valori ale argumentului pentru care funcția are sens. Determinați dacă intervalul dat este o submulțime a acestuia. Dacă da, atunci treceți la pasul următor.

Găsiți derivata funcțiiși rezolvați ecuația rezultată echivalând derivata la zero. În acest fel veți obține valorile așa-numitelor puncte staționare. Evaluați dacă cel puțin unul dintre ele aparține intervalului A, B.

În a treia etapă, luați în considerare aceste puncte și înlocuiți valorile lor în funcție. În funcție de tipul de interval, efectuați următorii pași suplimentari. Dacă există un segment de forma [A, B], punctele de limită sunt incluse în interval, aceasta este indicată prin paranteze. Calculați valori funcții pentru x = A și x = B. Dacă intervalul este deschis (A, B), valorile limită sunt perforate, adică. nu sunt incluse în el. Rezolvați limite unilaterale pentru x→A și x→B. Un interval combinat de forma [A, B) sau (A, B), ale cărui limite îi aparține, celălalt nu Găsiți limita unilaterală, deoarece x tinde spre valoarea perforată și înlocuiți-l pe celălalt funcția. Interval infinit cu două laturi (-∞, +∞) sau intervale infinite unilaterale de forma: , (-∞, B, procedați conform principiilor deja descrise și pentru infinite, căutați limite pentru x→-∞ și, respectiv, x→+∞.

Sarcina în această etapă

Care este extremul unei funcții și ce este acesta conditie necesara extrem?

Extremul unei funcții este maximul și minimul funcției.

Condiția necesară pentru maximul și minimul (extremul) unei funcții este următoarea: dacă funcția f(x) are un extrem în punctul x = a, atunci în acest punct derivata este fie zero, fie infinită, fie nu are exista.

Această condiție este necesară, dar nu suficientă. Derivata în punctul x = a poate merge la zero, la infinit sau nu poate exista fără ca funcția să aibă un extrem în acest punct.

Care este condiția suficientă pentru extremul unei funcții (maxim sau minim)?

Prima condiție:

Dacă, în apropiere suficientă de punctul x = a, derivata f?(x) este pozitivă la stânga lui a și negativă la dreapta lui a, atunci în punctul x = a funcția f(x) are maxim

Dacă, în apropiere suficientă de punctul x = a, derivata f?(x) este negativă la stânga lui a și pozitivă la dreapta lui a, atunci în punctul x = a funcția f(x) are minim cu condiția ca funcția f(x) aici să fie continuă.

În schimb, puteți folosi a doua condiție suficientă pentru extremul unei funcții:

Fie în punctul x = a prima derivată f?(x) să dispară; dacă derivata a doua f??(a) este negativă, atunci funcția f(x) are un maxim în punctul x = a, dacă este pozitivă, atunci are un minim.

Care este punctul critic al unei funcții și cum se găsește?

Aceasta este valoarea argumentului funcției la care funcția are un extrem (adică maxim sau minim). Pentru a-l găsi ai nevoie găsiți derivata funcția f?(x) și, echivalând-o cu zero, rezolva ecuatia f?(x) = 0. Rădăcinile acestei ecuații, precum și acele puncte în care derivata acestei funcții nu există, sunt puncte critice, adică valori ale argumentului la care poate exista un extrem. Ele pot fi identificate cu ușurință privind grafic derivat: ne interesează acele valori ale argumentului la care graficul funcției intersectează axa absciselor (axa Ox) și cele la care graficul suferă discontinuități.

De exemplu, să găsim extremul unei parabole.

Funcția y(x) = 3x2 + 2x - 50.

Derivată a funcției: y?(x) = 6x + 2

Rezolvați ecuația: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

În acest caz, punctul critic este x0=-1/3. Funcția are această valoare a argumentului extremum. Pentru el găsi, înlocuiți numărul găsit în expresie pentru funcție în loc de „x”:

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.

Cum se determină maximul și minimul unei funcții, de ex. valorile sale cele mai mari și cele mai mici?

Dacă semnul derivatei la trecerea prin punctul critic x0 se schimbă de la „plus” la „minus”, atunci x0 este punct maxim; dacă semnul derivatei se schimbă de la minus la plus, atunci x0 este punct minim; dacă semnul nu se schimbă, atunci în punctul x0 nu există nici maxim, nici minim.

Pentru exemplul considerat:

Luăm o valoare arbitrară a argumentului din stânga punctului critic: x = -1

La x = -1, valoarea derivatei va fi y?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (adică semnul este „minus”).

Acum luăm o valoare arbitrară a argumentului din dreapta punctului critic: x = 1

La x = 1, valoarea derivatei va fi y(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 (adică semnul este „plus”).

După cum puteți vedea, derivata și-a schimbat semnul de la minus la plus la trecerea prin punctul critic. Aceasta înseamnă că la valoarea critică x0 avem un punct minim.

Cea mai mare și cea mai mică valoare a unei funcții pe interval(pe un segment) se găsesc folosind aceeași procedură, ținând cont doar de faptul că, poate, nu toate punctele critice se vor afla în intervalul specificat. Acele puncte critice care se află în afara intervalului trebuie excluse din considerare. Dacă există un singur punct critic în interval, acesta va avea fie un maxim, fie un minim. În acest caz, pentru a determina cele mai mari și cele mai mici valori ale funcției, luăm în considerare și valorile funcției de la sfârșitul intervalului.

De exemplu, să găsim cele mai mari și cele mai mici valori ale funcției

y(x) = 3sin(x) - 0,5x

la intervale:

Deci, derivata funcției este

y?(x) = 3cos(x) - 0,5

Rezolvăm ecuația 3cos(x) - 0,5 = 0

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

x = ±arccos(0,16667) + 2πk.

Găsim puncte critice pe intervalul [-9; 9]:

x = arccos(0,16667) - 2π*2 = -11,163 (nu sunt incluse în interval)

x = -arccos(0,16667) – 2π*1 = -7,687

x = arccos(0,16667) - 2π*1 = -4,88

x = -arccos(0,16667) + 2π*0 = -1,403

x = arccos(0,16667) + 2π*0 = 1,403

x = -arccos(0,16667) + 2π*1 = 4,88

x = arccos(0,16667) + 2π*1 = 7,687

x = -arccos(0,16667) + 2π*2 = 11,163 (nu sunt incluse în interval)

Găsim valorile funcției la valorile critice ale argumentului:

y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398

y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256

y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256

y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398

y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885

Se poate observa că pe intervalul [-9; 9] funcția are cea mai mare valoare la x = -4,88:

x = -4,88, y = 5,398,

iar cel mai mic - la x = 4,88:

x = 4,88, y = -5,398.

Pe intervalul [-6; -3] avem un singur punct critic: x = -4,88. Valoarea funcției la x = -4,88 este egală cu y = 5,398.

Aflați valoarea funcției la sfârșitul intervalului:

y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838

y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077

Pe intervalul [-6; -3] avem cea mai mare valoare a funcției

y = 5,398 la x = -4,88

cea mai mica valoare -

y = 1,077 la x = -3

Cum să găsiți punctele de inflexiune ale unui grafic al funcției și să determinați laturile convexe și concave?

Pentru a găsi toate punctele de inflexiune ale dreptei y = f(x), trebuie să găsiți derivata a doua, să o echivalați cu zero (rezolvați ecuația) și să testați toate acele valori ale lui x pentru care derivata a doua este zero, infinit sau nu există. Dacă, la trecerea prin una dintre aceste valori, derivata a doua își schimbă semnul, atunci graficul funcției are o inflexiune în acest punct. Dacă nu se schimbă, atunci nu există nicio îndoire.

Rădăcinile ecuației f? (x) = 0, precum și posibilele puncte de discontinuitate ale funcției și derivata a doua, împart domeniul de definire a funcției într-un număr de intervale. Convexitatea pe fiecare dintre intervalele lor este determinată de semnul derivatei a doua. Dacă derivata a doua într-un punct al intervalului studiat este pozitivă, atunci linia y = f(x) este concavă în sus, iar dacă este negativă, atunci în jos.

Cum se află extremele unei funcții a două variabile?

Pentru a găsi extremele funcției f(x,y), diferențiabile în domeniul specificației sale, aveți nevoie de:

1) găsiți punctele critice și pentru aceasta - rezolvați sistemul de ecuații

fх? (x,y) = 0, fу? (x,y) = 0

2) pentru fiecare punct critic P0(a;b) investigați dacă semnul diferenței rămâne neschimbat

pentru toate punctele (x;y) suficient de apropiate de P0. Dacă diferența rămâne pozitivă, atunci în punctul P0 avem un minim, dacă negativ, atunci avem un maxim. Dacă diferența nu își păstrează semnul, atunci nu există un extremum în punctul P0.

Extremele unei funcții sunt determinate în mod similar pentru un număr mai mare de argumente.

Ce băuturi răcoritoare carbogazoase curăță suprafețele?
Există o părere că băutura răcoritoare carbogazoasă Coca-Cola poate dizolva carnea. Dar, din păcate, nu există dovezi directe în acest sens. Dimpotrivă, există fapte afirmative care confirmă că carnea rămasă în băutura Coca-Cola timp de două zile își schimbă proprietățile consumatorului și nu dispare nicăieri.

Aspectele apartamentelor standard, descrierile și fotografiile caselor pot fi vizualizate pe site-urile web: - www.kvadroom.ru/planirovki - www.prime-realty.ru/tip/tip.htm - goodgoods.ru/pages/1093353787.html - www.cnko.net/art

Cum să tratezi nevroza
Nevroză (Novolat. nevroză, provine din greaca veche νε?ρον - nerv; sinonime - psihonevroză, tulburare nevrotică) - în clinică: denumire colectivă pentru un grup de tulburări psihogene reversibile funcționale care tind să persistă

Ce este afeliul
Apocentrul este punctul din orbită în care un corp care se rotește pe o orbită eliptică în jurul altui corp atinge distanța maximă față de acesta din urmă. În același punct, conform celei de-a doua legi a lui Kepler, viteza mișcării orbitale devine minimă. Apocentrul este situat într-un punct diametral opus periapsisului. În cazuri speciale, se obișnuiește să se utilizeze termeni speciali:

Ce este Mamon
Mamon (m.r.), mammon (f.r.) - un cuvânt derivat din greacă. mammonas și înseamnă bogăție, comori pământești, binecuvântări. Printre unele popoare păgâne antice, el era zeul bogăției și al câștigului. Menționat în Sfintele Scripturi de evangheliștii Matei și Luca: „Nimeni nu poate sluji la doi stăpâni, căci ori îi va urî pe unul și pe celălalt”.

Când este Paștele Ortodox în 2049?
În 2015, Paștele Ortodox va fi pe 12 aprilie, iar Paștele Catolic va fi pe 5 aprilie. ÎN calendare bisericesti datele Paștelui ortodox sunt date după calendarul iulian (stil vechi), în timp ce Paștele catolic este calculat după calendarul gregorian modern (stil nou), deci compararea datelor necesită un efort mental.

Ce este o rublă
Rubla este numele monedelor moderne ale Rusiei, Belarus (rubla belarusă), Transnistria (rubla transnistreană). Rubla rusă este folosită și în Osetia de Sud și Abhazia. În trecut - unitatea monetară a republicilor și principatelor ruse, Marele Ducat al Moscovei, țarul rus, Marele Ducat al Lituaniei, Imperiul Rus și diverse altele

Cât timp a stat Ariel Sharon în comă?
Ariel Arik Sharon (Sheinerman) - militar israelian, politic și om de stat, prim-ministru al Israelului din 2001 până în 2006. Data nașterii: 26 februarie 1928 Locul nașterii: Așezarea Kfar Malal lângă Kfar Sava, Israel Data morții: 11 ianuarie 2014 Locul morții: Ramat Gan, Gush Dan, Iz

Cine erau oamenii de Neanderthal
Neanderthal, omul de Neanderthal (lat. Homo neanderthalensis sau Homo sapiens neanderthalensis) este o specie fosilă de oameni care au trăit acum 300-24 de mii de ani. Originea numelui Se crede că craniul de Neanderthal a fost găsit pentru prima dată în 1856

Câți ani are Geoffrey Rush
Geoffrey Rush este un actor de film și scenă australian. Câștigător al Oscarului (1997), BAFTA (1996, 1999), Globului de Aur (1997, 2005). Cele mai cunoscute filme cu participarea sa sunt „Shine”.

Cum se determină intervalele de convexitate și concavitate ale unui grafic al funcției
Ce este un extremum al unei funcții și care este condiția necesară pentru un extremum? Extremul unei funcții este maximul și minimul funcției. Condiția necesară pentru maximul și minimul (extremul) unei funcții este următoarea: dacă funcția f(x) are un extrem în punctul x = a, atunci în acest punct derivata este fie zero, fie infinită, fie nu are exista. Această condiție este necesară, dar nu suficientă. Derivată în t

În acest articol voi vorbi despre cum să aplici abilitatea de a găsi în studiul unei funcții: pentru a găsi valoarea ei cea mai mare sau cea mai mică. Și apoi vom rezolva mai multe probleme din Task B15 din Open Bank of tasks pentru.

Ca de obicei, să ne amintim mai întâi teoria.

La începutul oricărui studiu al unei funcții, o găsim

Pentru a găsi cea mai mare sau cea mai mică valoare a unei funcții, trebuie să examinați la ce intervale crește funcția și la care scade.

Pentru a face acest lucru, trebuie să găsim derivata funcției și să examinăm intervalele sale de semn constant, adică intervalele peste care derivata își păstrează semnul.

Intervalele peste care derivata unei funcții este pozitivă sunt intervale de funcție crescătoare.

Intervalele peste care derivata unei funcții este negativă sunt intervale de funcție descrescătoare.

1. Să rezolvăm sarcina B15 (nr. 245184)

Pentru a o rezolva, vom urma următorul algoritm:

a) Aflați domeniul de definire al funcției

b) Să găsim derivata funcției.

c) Să-l echivalăm cu zero.

d) Să găsim intervalele de semn constant ale funcției.

e) Aflați punctul în care funcția capătă cea mai mare valoare.

f) Aflați valoarea funcției în acest punct.

Explic soluția detaliată a acestei sarcini în TUTORIALUL VIDEO:

Browserul dvs. probabil nu este acceptat. Pentru a utiliza simulatorul „Unified State Exam Hour”, încercați să descărcați
Firefox

2. Să rezolvăm sarcina B15 (Nr. 282862)

Găsiți cea mai mare valoare a funcției pe segment

Este evident că funcția ia cea mai mare valoare pe segment în punctul maxim, la x=2. Să găsim valoarea funcției în acest moment:

Raspuns: 5

3. Să rezolvăm sarcina B15 (Nr. 245180):

Găsiți cea mai mare valoare a funcției

1. title="ln5>0">, , т.к. title="5>1">, поэтому это число не влияет на знак неравенства.!}

2. Pentru că conform domeniului de definire a funcției originale title="4-2x-x^2>0">, следовательно знаменатель дроби всегда больще нуля и дробь меняет знак только в нуле числителя.!}

3. Numărătorul este egal cu zero la . Să verificăm dacă ODZ aparține funcției. Pentru a face acest lucru, să verificăm dacă condiția title="4-2x-x^2>0"> при .!}

Titlu="4-2(-1)-((-1))^2>0">,

aceasta înseamnă că punctul aparține funcției ODZ

Să examinăm semnul derivatei la dreapta și la stânga punctului:

Vedem că funcția capătă cea mai mare valoare în punctul . Acum să găsim valoarea funcției la:

Observație 1. Rețineți că în această problemă nu am găsit domeniul de definire al funcției: am fixat doar restricțiile și am verificat dacă punctul în care derivata este egală cu zero aparține domeniului de definire al funcției. Acest lucru s-a dovedit a fi suficient pentru această sarcină. Cu toate acestea, acest lucru nu este întotdeauna cazul. Depinde de sarcină.

Observație 2. Când studiați comportamentul unei funcții complexe, puteți utiliza următoarea regulă:

dacă funcția externă a unei funcții complexe este în creștere, atunci funcția își ia cea mai mare valoare în același punct în care funcție internă ia cea mai mare valoare. Aceasta rezultă din definiția unei funcții crescătoare: o funcție crește pe intervalul I dacă o valoare mai mare a argumentului din acest interval îi corespunde unei valori mai mari a funcției.
dacă funcția exterioară a unei funcții complexe este în scădere, atunci funcția ia cea mai mare valoare în același punct în care funcția interioară ia cea mai mică valoare . Aceasta rezultă din definiția unei funcții descrescătoare: o funcție scade pe intervalul I dacă o valoare mai mare a argumentului din acest interval corespunde unei valori mai mici a funcției

În exemplul nostru, funcția externă crește în întregul domeniu de definiție. Sub semnul logaritmului există o expresie - un trinom pătrat, care, cu un coeficient de conducere negativ, ia cea mai mare valoare în punctul . În continuare, înlocuim această valoare x în ecuația funcției și să-și găsească cea mai mare valoare.

Cea mai mare și cea mai mică valoare a unei funcții

Cea mai mare valoare a unei funcții este cea mai mare, cea mai mică valoare este cea mai mică dintre toate valorile sale.

O funcție poate avea o singură valoare mai mare și o singură valoare cea mai mică sau poate să nu aibă deloc. Găsirea celor mai mari și mai mici valori ale funcțiilor continue se bazează pe următoarele proprietăți ale acestor funcții:

1) Dacă într-un anumit interval (finit sau infinit) funcția y=f(x) este continuă și are o singură extremă și dacă acesta este un maxim (minim), atunci va fi cea mai mare (cea mai mică) valoare a funcției în acest interval.

2) Dacă funcția f(x) este continuă pe un anumit segment, atunci are în mod necesar cele mai mari și mai mici valori pe acest segment. Aceste valori sunt atinse fie în punctele extreme aflate în interiorul segmentului, fie la limitele acestui segment.

Pentru a găsi cele mai mari și cele mai mici valori pe un segment, se recomandă utilizarea următoarei scheme:

1. Găsiți derivata.

2. Găsiți punctele critice ale funcției la care =0 sau nu există.

3. Găsiți valorile funcției în punctele critice și la capetele segmentului și selectați dintre ele cel mai mare f max și cel mai mic f max.

La rezolvarea problemelor aplicate, în special a celor de optimizare, problemele de a găsi cele mai mari și cele mai mici valori (maximum global și minim global) ale unei funcții pe intervalul X sunt importante. Pentru a rezolva astfel de probleme, ar trebui, în funcție de condiție , selectați o variabilă independentă și exprimați valoarea studiată prin această variabilă. Apoi găsiți valoarea cea mai mare sau cea mai mică dorită a funcției rezultate. În acest caz, intervalul de modificare a variabilei independente, care poate fi finit sau infinit, este determinat și din condițiile problemei.

Exemplu. Rezervorul, care are forma unui paralelipiped dreptunghiular deschis, cu fundul pătrat, trebuie să fie cositorit în interior cu tablă. Care ar trebui să fie dimensiunile rezervorului dacă capacitatea acestuia este de 108 litri? apă, astfel încât costul de cositorit să fie minim?

Soluţie. Costul acoperirii unui rezervor cu cositor va fi minim dacă, pentru o anumită capacitate, suprafața acestuia este minimă. Să notăm cu a dm latura bazei, b dm înălțimea rezervorului. Atunci aria S a suprafeței sale este egală cu

ŞI

Relația rezultată stabilește relația dintre suprafața rezervorului S (funcție) și latura bazei a (argument). Să examinăm funcția S pentru un extremum. Să găsim prima derivată, să o echivalăm cu zero și să rezolvăm ecuația rezultată:

Prin urmare a = 6. (a) > 0 pentru a > 6, (a)< 0 при а < 6. Следовательно, при а = 6 функция S имеет минимум. Если а = 6, то b = 3. Таким образом, затраты на лужение резервуара емкостью 108 литров будут наименьшими, если он имеет размеры 6дм х 6дм х 3дм.

Exemplu. Găsiți cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții pe interval.

Soluţie: Funcția dată este continuă de-a lungul întregii drepte numerice. Derivată a unei funcții

Derivată pentru și pentru . Să calculăm valorile funcției în aceste puncte:

Valorile funcției la sfârșitul intervalului dat sunt egale. Prin urmare, cea mai mare valoare a funcției este egală cu la , cea mai mică valoare a funcției este egală cu la .

Întrebări de autotest

1. Formulați regula lui L'Hopital pentru dezvăluirea incertitudinilor formei. Listă diverse tipuri incertitudini pentru care poate fi folosită regula lui L'Hopital.

2. Formulați semnele funcției crescătoare și descrescătoare.

3. Definiți maximul și minimul unei funcții.

4. Formulați o condiție necesară pentru existența unui extremum.

5. Ce valori ale argumentului (care puncte) se numesc critice? Cum să găsești aceste puncte?

6. Care sunt semne suficiente ale existenței unui extremum al unei funcții? Schițați o schemă pentru studierea unei funcții la un extremum folosind derivata întâi.

7. Schițați o schemă pentru studierea unei funcții la un extremum folosind derivata a doua.

8. Definiți convexitatea și concavitatea unei curbe.

9. Ce se numește punctul de inflexiune al graficului unei funcții? Indicați o metodă pentru găsirea acestor puncte.

10. Formulați semnele necesare și suficiente de convexitate și concavitate ale unei curbe pe un segment dat.

11. Definiți asimptota unei curbe. Cum să găsiți asimptotele verticale, orizontale și oblice ale graficului unei funcții?

12. Conturează schema generală de studiu a unei funcții și de construire a graficului acesteia.

13. Formulați o regulă pentru găsirea celor mai mari și mai mici valori ale unei funcții pe un interval dat.