Cum să găsiți cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții pe un segment?
Pentru asta urmam binecunoscutul algoritm:
1 . Găsim funcții ODZ.
2 . Găsirea derivatei unei funcții
3 . Echivalează derivata cu zero
4 . Găsim intervalele la care derivata își păstrează semnul, iar din ele determinăm intervalele de creștere și scădere a funcției:
Dacă pe intervalul I derivata funcției 0" title="(!LANG:f^(prim)(x)>0">, то функция !} crește în acest interval.
Dacă pe intervalul I derivata funcției , atunci funcția scade în acest interval.
5 . Găsim punctele maxime și minime ale funcției.
LA funcția punct maxim, derivata își schimbă semnul din „+” în „-”.
LA punctul minim al funcțieiderivata schimbă semnul de la „-” la „+”.
6 . Găsim valoarea funcției la capetele segmentului,
- apoi comparăm valoarea funcției la capetele segmentului și la punctele maxime și alegeți cea mai mare dintre ele dacă trebuie să găsiți cea mai mare valoare a funcției
- sau comparăm valoarea funcției la capetele segmentului și la punctele minime și alege-l pe cel mai mic dintre ele dacă trebuie să-l găsești cea mai mică valoare funcții
Totuși, în funcție de modul în care funcția se comportă pe interval, acest algoritm poate fi redus semnificativ.
Luați în considerare funcția 
. Graficul acestei funcții arată astfel:
Să luăm în considerare câteva exemple de rezolvare a problemelor din Open Task Bank pentru
unu . Sarcina B15 (#26695)
Pe tăietură.
1. Funcția este definită pentru toate valorile reale ale lui x
Evident, această ecuație nu are soluții, iar derivata este pozitivă pentru toate valorile lui x. Prin urmare, funcția crește și ia cea mai mare valoare la capătul drept al intervalului, adică la x=0.
Raspuns: 5.
2 . Sarcina B15 (nr. 26702)
Găsiți cea mai mare valoare a unei funcții 
pe segment.
1.Funcția ODZ title="(!LANG:x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}
Derivata este zero la , cu toate acestea, în aceste puncte nu își schimbă semnul:
Prin urmare, title="(!LANG:3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} crește și ia cea mai mare valoare la capătul drept al intervalului, la .
Pentru a clarifica de ce derivata nu își schimbă semnul, transformăm expresia pentru derivată după cum urmează:
Title="(!LANG:y^(prim)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}
Raspuns: 5.
3 . Sarcina B15 (#26708)
Găsiți cea mai mică valoare a funcției pe intervalul .
1. Funcții ODZ: title="(!LANG:x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}
Să plasăm rădăcinile acestei ecuații pe un cerc trigonometric.
Intervalul conține două numere: și
Să punem semnele. Pentru a face acest lucru, determinăm semnul derivatei în punctul x=0: 
. La trecerea prin puncte și derivata își schimbă semnul.
Să descriem schimbarea semnelor derivatei funcției pe linia de coordonate:
Evident, punctul este un punct minim (unde derivata își schimbă semnul de la „-” la „+”), iar pentru a găsi cea mai mică valoare a funcției pe segment, trebuie să comparați valorile funcției la punct minim și la capătul din stânga segmentului, .
O sarcină în miniatură și destul de simplă de genul care servește drept colac de salvare pentru un student plutitor. În natură, tărâmul somnoros de la jumătatea lunii iulie, așa că este timpul să vă acomodați cu un laptop pe plajă. Dimineața devreme a început să se joace o rază de soare de teorie pentru a se concentra în curând pe practică, care, în ciuda luminozității sale declarate, conține fragmente de sticlă în nisip. În acest sens, recomand să luați în considerare cu conștiință câteva exemple din această pagină. Pentru a rezolva sarcini practice, trebuie să fii capabil găsiți derivateși înțelegeți materialul articolului Intervale de monotonitate și extreme ale unei funcții.
În primul rând, pe scurt despre principalul lucru. Într-o lecție despre continuitatea functiei Am dat definiția continuității la un punct și a continuității pe un interval. Comportamentul exemplar al unei funcții pe un segment este formulat într-un mod similar. O funcție este continuă pe un segment dacă:
1) este continuă pe intervalul ;
2) continuă într-un punct pe dreapta iar la punct stânga.
Al doilea paragraf se ocupă de așa-numitul continuitate unilaterală funcţionează la un punct. Există mai multe abordări ale definiției sale, dar voi rămâne la linia începută mai devreme:
Funcția este continuă într-un punct pe dreapta, dacă este definită într-un punct dat și limita sa din dreapta coincide cu valoarea funcției într-un punct dat: 
. Este continuu la punct stânga, dacă este definită într-un punct dat și limita sa din stânga este egală cu valoarea din acel punct: 
Imaginați-vă că punctele verzi sunt unghiile pe care este atașată banda magică de cauciuc:
Luați mental linia roșie în mâini. Evident, indiferent cât de mult am întinde graficul în sus și în jos (de-a lungul axei), funcția va rămâne în continuare limitat- un gard viu deasupra, un gard viu dedesubt, iar produsul nostru pășește într-un padoc. În acest fel, o funcție continuă pe un segment este mărginită pe acesta. În cursul analizei matematice, acest fapt aparent simplu este afirmat și dovedit riguros Prima teoremă a lui Weierstrass.… Mulți oameni sunt enervați că afirmațiile elementare sunt fundamentate plictisitor în matematică, dar acest lucru are o semnificație importantă. Să presupunem că un anumit locuitor din Evul Mediu Terry a tras graficul în cer dincolo de limitele vizibilității, acesta a fost inserat. Înainte de inventarea telescopului, funcția limitată în spațiu nu era deloc evidentă! Într-adevăr, de unde știi ce ne așteaptă dincolo de orizont? La urma urmei, cândva Pământul era considerat plat, așa că astăzi chiar și teleportarea obișnuită necesită dovezi =)
Conform a doua teoremă Weierstrass, continuu pe segmentfuncția își atinge marginea superioară exactă si a lui marginea inferioară exactă .
Numărul este de asemenea numit valoarea maximă a funcției pe segmentși notat cu , iar numărul - valoarea minimă a funcției pe interval cu preaviz.
În cazul nostru: 
Notă
: în teorie, înregistrările sunt comune 
.
În linii mari, cea mai mare valoare este situată în punctul cel mai înalt al graficului, iar cea mai mică - unde este punctul cel mai de jos.
Important! După cum sa subliniat deja în articolul despre extreme ale funcției, cea mai mare valoare a functieiși cea mai mică valoare a funcției – NU E LA FEL, ce functia maximași funcția minimă. Deci, în acest exemplu, numărul este minimul funcției, dar nu valoarea minimă.
Apropo, ce se întâmplă în afara segmentului? Da, chiar și inundația, în contextul problemei luate în considerare, acest lucru nu ne interesează deloc. Sarcina implică doar găsirea a două numere 
si asta e!
În plus, soluția este pur analitică, prin urmare, nu e nevoie să desenezi!
Algoritmul se află la suprafață și se sugerează din figura de mai sus:
1) Găsiți valorile funcției în puncte critice, care aparțin acestui segment.
Mai prindeți o bunătate: nu este nevoie să verificați o condiție suficientă pentru un extremum, deoarece, așa cum tocmai am arătat, prezența unui minim sau maxim nu este încă garantat, care este minimul sau valoare maximă. Funcția demonstrativă atinge maximul și, prin voința sorții, același număr este cea mai mare valoare a funcției pe intervalul . Dar, desigur, o astfel de coincidență nu are loc întotdeauna.
Deci, la primul pas, este mai rapid și mai ușor să calculați valorile funcției în punctele critice aparținând segmentului, fără a vă deranja dacă au extreme sau nu.
2) Calculăm valorile funcției la capetele segmentului.
3) Dintre valorile funcției găsite în paragrafele 1 și 2, selectați cel mai mic și cel mai mare număr, notați răspunsul.
Ne așezăm pe malul mării albastre și lovim călcâiele în apă puțin adâncă:
Exemplul 1
Găsiți cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții pe un segment
Soluţie:
1) Calculați valorile funcției în punctele critice aparținând acestui segment:
Să calculăm valoarea funcției în al doilea punct critic:
2) Calculați valorile funcției la capetele segmentului: 
3) Rezultate „îndrăznețe” au fost obținute cu exponențiali și logaritmi, ceea ce complică semnificativ compararea acestora. Din acest motiv, ne vom înarma cu un calculator sau Excel și vom calcula valorile aproximative, fără a uita că: 
Acum totul este clar.
Răspuns:
Exemplu fracționar-rațional pentru soluție independentă:
Exemplul 6
Găsiți valorile maxime și minime ale unei funcții pe un segment
Din punct de vedere practic, cea mai interesantă este utilizarea derivatei pentru a găsi cea mai mare și cea mai mică valoare a unei funcții. Cu ce este legat? Maximizarea profiturilor, minimizarea costurilor, determinarea încărcăturii optime a echipamentelor... Cu alte cuvinte, în multe domenii ale vieții, trebuie rezolvată problema optimizării unor parametri. Și aceasta este problema găsirii celor mai mari și mai mici valori ale funcției.
Trebuie remarcat că cea mai mare și cea mai mică valoare a unei funcții este de obicei căutată pe un interval X , care este fie întregul domeniu al funcției, fie o parte a domeniului. Intervalul X însuși poate fi un segment de linie, un interval deschis 
, un interval infinit .
În acest articol, vom vorbi despre găsirea celor mai mari și mai mici valori ale unei funcții date explicit a unei variabile y=f(x) .
Navigare în pagină.
Cea mai mare și cea mai mică valoare a unei funcții - definiții, ilustrații.
Să ne oprim pe scurt asupra principalelor definiții.
Cea mai mare valoare a funcției 
, care pentru orice 
inegalitatea este adevărată.
Cea mai mică valoare a funcției y=f(x) pe intervalul X se numește o astfel de valoare 
, care pentru orice inegalitatea este adevărată.
Aceste definiții sunt intuitive: cea mai mare (cea mai mică) valoare a unei funcții este cea mai mare (cea mai mică) valoare acceptată pe intervalul luat în considerare cu abscisa.
Puncte staționare sunt valorile argumentului la care derivata funcției dispare.
De ce avem nevoie de puncte staționare când găsim cele mai mari și cele mai mici valori? Răspunsul la această întrebare este dat de teorema lui Fermat. Din această teoremă rezultă că, dacă o funcție diferențiabilă are un extremum (minimum local sau maxim local) la un moment dat, atunci acest punct este staționar. Astfel, funcția își ia adesea valoarea maximă (cea mai mică) pe intervalul X la unul dintre punctele staționare din acest interval.
De asemenea, o funcție poate lua adesea cele mai mari și cele mai mici valori în punctele în care prima derivată a acestei funcții nu există, iar funcția în sine este definită.
Să răspundem imediat la una dintre cele mai frecvente întrebări pe această temă: „Este întotdeauna posibil să se determine cea mai mare (cea mai mică) valoare a unei funcții”? Nu, nu întotdeauna. Uneori, limitele intervalului X coincid cu limitele domeniului funcției, sau intervalul X este infinit. Iar unele funcții la infinit și la limitele domeniului de definiție pot lua atât valori infinit de mari, cât și infinit de mici. În aceste cazuri, nu se poate spune nimic despre valoarea cea mai mare și cea mai mică a funcției.
Pentru claritate, oferim o ilustrare grafică. Priviți imaginile - și multe vor deveni clare.
Pe segment
În prima figură, funcția ia cele mai mari (max y ) și cele mai mici (min y ) valori în punctele staționare din interiorul segmentului [-6;6] .
Luați în considerare cazul prezentat în a doua figură. Schimbați segmentul în . În acest exemplu, cea mai mică valoare a funcției este obținută într-un punct staționar, iar cea mai mare - într-un punct cu o abscisă corespunzătoare marginea dreaptă interval.
În figura nr. 3, punctele limită ale segmentului [-3; 2] sunt abscisele punctelor corespunzătoare celei mai mari și mai mici valori a funcției.
În domeniul deschis
În a patra figură, funcția ia cele mai mari (max y) și cele mai mici (min y) valori în punctele staționare din intervalul deschis (-6;6).
Pe intervalul , nu se pot trage concluzii despre cea mai mare valoare.
La infinit
În exemplul prezentat în figura a șaptea, funcția ia cea mai mare valoare (max y ) într-un punct staționar cu abscisa x=1 , iar cea mai mică valoare (min y ) este atinsă la limita dreaptă a intervalului. La minus infinit, valorile funcției se apropie asimptotic de y=3.
Pe interval, funcția nu atinge nici cea mai mică, nici cea mai mare valoare. Deoarece x=2 tinde spre dreapta, valorile funcției tind spre minus infinit (linia dreaptă x=2 este o asimptotă verticală), iar pe măsură ce abscisa tinde spre plus infinit, valorile funcției se apropie asimptotic de y=3 . O ilustrare grafică a acestui exemplu este prezentată în Figura 8.
Algoritm pentru găsirea celor mai mari și mai mici valori ale unei funcții continue pe segment.
Scriem un algoritm care ne permite să găsim cea mai mare și cea mai mică valoare a unei funcții pe un segment.
- Găsim domeniul funcției și verificăm dacă conține întregul segment.
- Găsim toate punctele în care derivata întâi nu există și care sunt conținute în segment (de obicei astfel de puncte apar în funcțiile cu un argument sub semnul modulului și în funcții de putere cu un exponent raţional fracţional). Dacă nu există astfel de puncte, atunci treceți la punctul următor.
- Determinăm toate punctele staționare care se încadrează în segment. Pentru a face acest lucru, îl echivalăm cu zero, rezolvăm ecuația rezultată și alegem rădăcinile potrivite. Dacă nu există puncte staționare sau niciunul dintre ele nu intră în segment, atunci treceți la pasul următor.
- Calculăm valorile funcției în punctele staționare selectate (dacă există), în punctele în care derivata întâi nu există (dacă există) și, de asemenea, la x=a și x=b.
- Din valorile obținute ale funcției, selectăm cele mai mari și cele mai mici - acestea vor fi valorile maxime și, respectiv, cele mai mici dorite ale funcției.
Să analizăm algoritmul atunci când rezolvăm un exemplu pentru găsirea valorilor mai mari și cele mai mici ale unei funcții pe un segment.
Exemplu.
Găsiți cea mai mare și cea mai mică valoare a unei funcții
- pe segment;
- pe intervalul [-4;-1] .
Soluţie.
Domeniul funcției este întregul set de numere reale, cu excepția zero, adică . Ambele segmente se încadrează în domeniul definiției.
Găsim derivata funcției în raport cu: 
În mod evident, derivata funcției există în toate punctele segmentelor și [-4;-1] .
Punctele staționare sunt determinate din ecuație. Singura rădăcină reală este x=2. Acest punct staționar se încadrează în primul segment.
Pentru primul caz, calculăm valorile funcției la capetele segmentului și într-un punct staționar, adică pentru x=1, x=2 și x=4: 
Prin urmare, cea mai mare valoare a funcției 
este atins la x=1 , iar cea mai mică valoare 
– la x=2 .
Pentru al doilea caz, calculăm valorile funcției numai la capetele segmentului [-4;-1] (deoarece nu conține un singur punct staționar): 
Fie definită și continuă funcția $z=f(x,y)$ într-un domeniu închis mărginit $D$. Fie ca funcția dată să aibă derivate parțiale finite de ordinul întâi în această regiune (cu excepția posibilă a unui număr finit de puncte). Pentru a găsi cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții a două variabile într-o regiune închisă dată, sunt necesari trei pași ai unui algoritm simplu.
Algoritm pentru găsirea celor mai mari și mai mici valori ale funcției $z=f(x,y)$ în domeniul închis $D$.
- Găsiți punctele critice ale funcției $z=f(x,y)$ care aparțin regiunii $D$. Calculați valorile funcției în punctele critice.
- Investigați comportamentul funcției $z=f(x,y)$ la limita regiunii $D$ prin găsirea punctelor valorilor maxime și minime posibile. Calculați valorile funcției la punctele obținute.
- Din valorile funcției obținute în cele două paragrafe precedente, alegeți cel mai mare și cel mai mic.
Care sunt punctele critice? arată ascunde
Sub puncte critice implică puncte în care ambele derivate parțiale de ordinul întâi sunt egale cu zero (adică $\frac(\partial z)(\partial x)=0$ și $\frac(\partial z)(\partial y)=0 $) sau cel puțin o derivată parțială nu există.
Adesea sunt numite punctele în care derivatele parțiale de ordinul întâi sunt egale cu zero punctele staţionare. Astfel, punctele staționare sunt un subset de puncte critice.
Exemplul #1
Găsiți valorile maxime și minime ale funcției $z=x^2+2xy-y^2-4x$ în regiunea închisă delimitată de liniile $x=3$, $y=0$ și $y=x +1$.
Vom urma cele de mai sus, dar mai întâi ne vom ocupa de desenul unei zone date, pe care o vom nota cu litera $D$. Ni se dau ecuațiile a trei drepte, care limitează această zonă. Dreapta $x=3$ trece prin punctul $(3;0)$ paralel cu axa y (axa Oy). Linia dreaptă $y=0$ este ecuația axei absciselor (axa Ox). Ei bine, pentru a construi o dreaptă $y=x+1$ să găsim două puncte prin care trasăm această dreaptă. Puteți, desigur, să înlocuiți câteva valori arbitrare în loc de $x$. De exemplu, înlocuind $x=10$, obținem: $y=x+1=10+1=11$. Am găsit punctul $(10;11)$ situat pe dreapta $y=x+1$. Totuși, este mai bine să găsiți acele puncte în care dreapta $y=x+1$ se intersectează cu liniile $x=3$ și $y=0$. De ce este mai bine? Pentru că vom așeza câteva păsări dintr-o piatră: vom obține două puncte pentru construirea dreptei $y=x+1$ și, în același timp, vom afla în ce puncte intersectează această dreaptă alte drepte care delimitează linia dată. zonă. Linia $y=x+1$ intersectează dreapta $x=3$ în punctul $(3;4)$, iar linia $y=0$ - în punctul $(-1;0)$. Pentru a nu aglomera cursul soluției cu explicații auxiliare, voi pune problema obținerii acestor două puncte într-o notă.
Cum au fost obținute punctele $(3;4)$ și $(-1;0)$? arată ascunde
Să începem de la punctul de intersecție al dreptelor $y=x+1$ și $x=3$. Coordonatele punctului dorit aparțin atât primei cât și celei de-a doua linii, așa că pentru a găsi coordonate necunoscute, trebuie să rezolvați sistemul de ecuații:
$$ \left \( \begin(aligned) & y=x+1;\\ & x=3. \end(aligned) \right. $$
Rezolvarea unui astfel de sistem este banala: substituind $x=3$ in prima ecuatie vom avea: $y=3+1=4$. Punctul $(3;4)$ este punctul de intersecție dorit al dreptelor $y=x+1$ și $x=3$.
Acum să găsim punctul de intersecție al dreptelor $y=x+1$ și $y=0$. Din nou, compunem și rezolvăm sistemul de ecuații:
$$ \left \( \begin(aligned) & y=x+1;\\ & y=0. \end(aligned) \right. $$
Înlocuind $y=0$ în prima ecuație, obținem: $0=x+1$, $x=-1$. Punctul $(-1;0)$ este punctul de intersecție dorit al dreptelor $y=x+1$ și $y=0$ (axa absciselor).
Totul este gata pentru a construi un desen care va arăta astfel:
Întrebarea notei pare evidentă, pentru că totul se vede din figură. Cu toate acestea, merită să ne amintim că desenul nu poate servi drept dovadă. Figura este doar o ilustrare pentru claritate.
Zona noastră a fost stabilită folosind ecuațiile de linii care o limitează. Este evident că aceste linii definesc un triunghi, nu-i așa? Sau nu chiar evident? Sau poate ni se oferă o zonă diferită, delimitată de aceleași linii:
Desigur, condiția spune că zona este închisă, așa că poza prezentată este greșită. Dar pentru a evita astfel de ambiguități, este mai bine să definiți regiunile prin inegalități. Ne interesează partea de plan situată sub linia $y=x+1$? Ok, deci $y ≤ x+1$. Zona noastră ar trebui să fie situată deasupra liniei $y=0$? Grozav, deci $y ≥ 0$. Apropo, ultimele două inegalități se combină ușor într-una singură: $0 ≤ y ≤ x+1$.
$$ \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ y ≤ x+1;\\ & x ≤ 3. \end(aligned) \right. $$
Aceste inegalități definesc domeniul $D$ și îl definesc în mod unic, fără ambiguități. Dar cu ce ne ajută acest lucru la întrebarea de la începutul notei de subsol? De asemenea, va ajuta :) Trebuie să verificăm dacă punctul $M_1(1;1)$ aparține regiunii $D$. Să substituim $x=1$ și $y=1$ în sistemul de inegalități care definesc această regiune. Dacă ambele inegalități sunt satisfăcute, atunci punctul se află în interiorul regiunii. Dacă cel puțin una dintre inegalități nu este satisfăcută, atunci punctul nu aparține regiunii. Asa de:
$$ \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ 1 ≤ 1+1;\\ & 1 ≤ 3. \end(aligned) \right. \;\; \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ 1 ≤ 2;\\ & 1 ≤ 3. \end(aligned) \right.$$
Ambele inegalități sunt adevărate. Punctul $M_1(1;1)$ aparține regiunii $D$.
Acum este rândul să investighem comportamentul funcției la limita domeniului, adică. mergi la. Să începem cu linia dreaptă $y=0$.
Linia dreaptă $y=0$ (axa absciselor) limitează regiunea $D$ în condiția $-1 ≤ x ≤ 3$. Înlocuiți $y=0$ în funcția dată $z(x,y)=x^2+2xy-y^2-4x$. Funcția de substituție rezultată a unei variabile $x$ va fi notată ca $f_1(x)$:
$$ f_1(x)=z(x,0)=x^2+2x\cdot 0-0^2-4x=x^2-4x. $$
Acum, pentru funcția $f_1(x)$ trebuie să găsim cele mai mari și cele mai mici valori pe intervalul $-1 ≤ x ≤ 3$. Găsiți derivata acestei funcții și egalați-o cu zero:
$$ f_(1)^(")(x)=2x-4;\\ 2x-4=0; \; x=2. $$
Valoarea $x=2$ aparține segmentului $-1 ≤ x ≤ 3$, așa că adăugăm și $M_2(2;0)$ la lista de puncte. În plus, calculăm valorile funcției $z$ la capetele segmentului $-1 ≤ x ≤ 3$, adică. la punctele $M_3(-1;0)$ și $M_4(3;0)$. Apropo, dacă punctul $M_2$ nu ar aparține segmentului în cauză, atunci, desigur, nu ar fi nevoie să se calculeze valoarea funcției $z$ din acesta.
Deci, să calculăm valorile funcției $z$ în punctele $M_2$, $M_3$, $M_4$. Puteți, desigur, să înlocuiți coordonatele acestor puncte în expresia originală $z=x^2+2xy-y^2-4x$. De exemplu, pentru punctul $M_2$ obținem:
$$z_2=z(M_2)=2^2+2\cdot 2\cdot 0-0^2-4\cdot 2=-4.$$
Cu toate acestea, calculele pot fi puțin simplificate. Pentru a face acest lucru, merită să ne amintim că pe segmentul $M_3M_4$ avem $z(x,y)=f_1(x)$. O voi descrie în detaliu:
\begin(aligned) & z_2=z(M_2)=z(2,0)=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\\ & z_3=z(M_3)=z(- 1,0)=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\\ & z_4=z(M_4)=z(3,0)=f_1(3)= 3^2-4\cdot 3=-3. \end(aliniat)
Desigur, de obicei nu este nevoie de astfel de intrări detaliate, iar în viitor vom începe să scriem toate calculele într-un mod mai scurt:
$$z_2=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\; z_3=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\; z_4=f_1(3)=3^2-4\cdot 3=-3.$$
Acum să ne întoarcem la linia dreaptă $x=3$. Această linie delimitează domeniul $D$ în condiția $0 ≤ y ≤ 4$. Înlocuiți $x=3$ în funcția dată $z$. Ca rezultat al unei astfel de substituții, obținem funcția $f_2(y)$:
$$ f_2(y)=z(3,y)=3^2+2\cdot 3\cdot y-y^2-4\cdot 3=-y^2+6y-3. $$
Pentru funcția $f_2(y)$, trebuie să găsiți cele mai mari și cele mai mici valori pe intervalul $0 ≤ y ≤ 4$. Găsiți derivata acestei funcții și egalați-o cu zero:
$$ f_(2)^(")(y)=-2y+6;\\ -2y+6=0; \; y=3. $$
Valoarea $y=3$ aparține segmentului $0 ≤ y ≤ 4$, așa că adăugăm $M_5(3;3)$ la punctele găsite mai devreme. În plus, este necesar să se calculeze valoarea funcției $z$ în punctele de la capetele segmentului $0 ≤ y ≤ 4$, adică. la punctele $M_4(3;0)$ și $M_6(3;4)$. În punctul $M_4(3;0)$ am calculat deja valoarea lui $z$. Să calculăm valoarea funcției $z$ la punctele $M_5$ și $M_6$. Permiteți-mi să vă reamintesc că pe segmentul $M_4M_6$ avem $z(x,y)=f_2(y)$, prin urmare:
\begin(aligned) & z_5=f_2(3)=-3^2+6\cdot 3-3=6; &z_6=f_2(4)=-4^2+6\cdot 4-3=5. \end(aliniat)
Și, în sfârșit, luați în considerare ultima limită a $D$, adică. linia $y=x+1$. Această linie delimitează regiunea $D$ în condiția $-1 ≤ x ≤ 3$. Înlocuind $y=x+1$ în funcția $z$, vom avea:
$$ f_3(x)=z(x,x+1)=x^2+2x\cdot (x+1)-(x+1)^2-4x=2x^2-4x-1. $$
Din nou avem o funcție a unei variabile $x$. Și din nou, trebuie să găsiți cele mai mari și cele mai mici valori ale acestei funcții pe segmentul $-1 ≤ x ≤ 3$. Găsiți derivata funcției $f_(3)(x)$ și egalați-o cu zero:
$$ f_(3)^(")(x)=4x-4;\\ 4x-4=0; \; x=1. $$
Valoarea $x=1$ aparține intervalului $-1 ≤ x ≤ 3$. Dacă $x=1$, atunci $y=x+1=2$. Să adăugăm $M_7(1;2)$ la lista de puncte și să aflăm care este valoarea funcției $z$ în acest moment. Punctele de la capetele segmentului $-1 ≤ x ≤ 3$, i.e. punctele $M_3(-1;0)$ și $M_6(3;4)$ au fost luate în considerare mai devreme, am găsit deja valoarea funcției în ele.
$$z_7=f_3(1)=2\cdot 1^2-4\cdot 1-1=-3.$$
Al doilea pas al soluției este finalizat. Avem șapte valori:
$$z_1=-2;\;z_2=-4;\;z_3=5;\;z_4=-3;\;z_5=6;\;z_6=5;\;z_7=-3.$$
Să ne întoarcem la. Alegând cele mai mari și mai mici valori dintre acele numere care au fost obținute în al treilea paragraf, vom avea:
$$z_(min)=-4; \; z_(max)=6.$$
Problema este rezolvată, rămâne doar să notăm răspunsul.
Răspuns: $z_(min)=-4; \; z_(max)=6$.
Exemplul #2
Găsiți cele mai mari și cele mai mici valori ale funcției $z=x^2+y^2-12x+16y$ în regiunea $x^2+y^2 ≤ 25$.
Să construim mai întâi un desen. Ecuația $x^2+y^2=25$ (aceasta este linia de limită a zonei date) definește un cerc cu un centru la origine (adică în punctul $(0;0)$) și o rază de 5. Inegalitatea $x^2 +y^2 ≤ 25$ satisface toate punctele din interiorul și de pe cercul menționat.
Vom acţiona. Să găsim derivate parțiale și să aflăm punctele critice.
$$ \frac(\partial z)(\partial x)=2x-12; \frac(\partial z)(\partial y)=2y+16. $$
Nu există puncte în care derivatele parțiale găsite să nu existe. Să aflăm în ce puncte ambele derivate parțiale sunt simultan egale cu zero, adică. găsiți puncte staționare.
$$ \left \( \begin(aligned) & 2x-12=0;\\ & 2y+16=0. \end(aligned) \right. \;\; \left \( \begin(aligned) & x =6;\\ & y=-8.\end(aliniat) \right.$$
Avem un punct staționar $(6;-8)$. Totuși, punctul găsit nu aparține regiunii $D$. Acest lucru este ușor de arătat fără a recurge măcar la desen. Să verificăm dacă inegalitatea $x^2+y^2 ≤ 25$, care definește domeniul nostru $D$, este valabilă. Dacă $x=6$, $y=-8$, atunci $x^2+y^2=36+64=100$, adică. inegalitatea $x^2+y^2 ≤ 25$ nu este satisfăcută. Concluzie: punctul $(6;-8)$ nu aparține regiunii $D$.
Astfel, nu există puncte critice în interiorul $D$. Să trecem mai departe, la. Trebuie să investigăm comportamentul funcției la limita zonei date, i.e. pe cercul $x^2+y^2=25$. Puteți, desigur, să exprimați $y$ în termeni de $x$ și apoi să înlocuiți expresia rezultată în funcția noastră $z$. Din ecuația cercului obținem: $y=\sqrt(25-x^2)$ sau $y=-\sqrt(25-x^2)$. Înlocuind, de exemplu, $y=\sqrt(25-x^2)$ în funcția dată, vom avea:
$$ z=x^2+y^2-12x+16y=x^2+25-x^2-12x+16\sqrt(25-x^2)=25-12x+16\sqrt(25-x ^2); \;\; -5≤ x ≤ 5. $$
Soluția ulterioară va fi complet identică cu studiul comportamentului funcției la limita regiunii din exemplul precedent nr. 1. Totuși, mi se pare mai rezonabil în această situație să se aplice metoda Lagrange. Ne interesează doar prima parte a acestei metode. După aplicarea primei părți a metodei Lagrange, vom obține puncte la care și vom examina funcția $z$ pentru valorile minime și maxime.
Compunem funcția Lagrange:
$$ F=z(x,y)+\lambda\cdot(x^2+y^2-25)=x^2+y^2-12x+16y+\lambda\cdot (x^2+y^2 -25). $$
Găsim derivatele parțiale ale funcției Lagrange și compunem sistemul de ecuații corespunzător:
$$ F_(x)^(")=2x-12+2\lambda x; \;\; F_(y)^(")=2y+16+2\lambda y.\\ \left \( \begin (aliniat) & 2x-12+2\lambda x=0;\\ & 2y+16+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-25=0.\end(aliniat) \ dreapta. \;\; \left \( \begin(aligned) & x+\lambda x=6;\\ & y+\lambda y=-8;\\ & x^2+y^2=25. \end( aliniat)\dreapta.$$
Pentru a rezolva acest sistem, să indicăm imediat că $\lambda\neq -1$. De ce $\lambda\neq -1$? Să încercăm să înlocuim $\lambda=-1$ în prima ecuație:
$$ x+(-1)\cdot x=6; \; x-x=6; \; 0=6. $$
Contradicția rezultată $0=6$ spune că valoarea $\lambda=-1$ este invalidă. Ieșire: $\lambda\neq -1$. Să exprimăm $x$ și $y$ în termeni de $\lambda$:
\begin(aligned) & x+\lambda x=6;\; x(1+\lambda)=6;\; x=\frac(6)(1+\lambda). \\ & y+\lambda y=-8;\; y(1+\lambda)=-8;\; y=\frac(-8)(1+\lambda). \end(aliniat)
Cred că aici devine evident de ce am stipulat în mod specific condiția $\lambda\neq -1$. Acest lucru a fost făcut pentru a încadra expresia $1+\lambda$ în numitori fără interferențe. Adică, pentru a fi sigur că numitorul este $1+\lambda\neq 0$.
Să substituim expresiile obținute pentru $x$ și $y$ în a treia ecuație a sistemului, adică. în $x^2+y^2=25$:
$$ \left(\frac(6)(1+\lambda) \right)^2+\left(\frac(-8)(1+\lambda) \right)^2=25;\\ \frac( 36)((1+\lambda)^2)+\frac(64)((1+\lambda)^2)=25;\\ \frac(100)((1+\lambda)^2)=25 ; \; (1+\lambda)^2=4. $$
Din egalitatea rezultată rezultă că $1+\lambda=2$ sau $1+\lambda=-2$. Prin urmare, avem două valori ale parametrului $\lambda$ și anume: $\lambda_1=1$, $\lambda_2=-3$. În consecință, obținem două perechi de valori $x$ și $y$:
\begin(aligned) & x_1=\frac(6)(1+\lambda_1)=\frac(6)(2)=3; \; y_1=\frac(-8)(1+\lambda_1)=\frac(-8)(2)=-4. \\ & x_2=\frac(6)(1+\lambda_2)=\frac(6)(-2)=-3; \; y_2=\frac(-8)(1+\lambda_2)=\frac(-8)(-2)=4. \end(aliniat)
Deci, avem două puncte ale unui posibil extremum condiționat, adică. $M_1(3;-4)$ și $M_2(-3;4)$. Găsiți valorile funcției $z$ la punctele $M_1$ și $M_2$:
\begin(aligned) & z_1=z(M_1)=3^2+(-4)^2-12\cdot 3+16\cdot (-4)=-75; \\ & z_2=z(M_2)=(-3)^2+4^2-12\cdot(-3)+16\cdot 4=125. \end(aliniat)
Ar trebui să alegem cele mai mari și cele mai mici valori dintre cele pe care le-am obținut în primul și al doilea pas. Dar în acest caz, alegerea este mică :) Avem:
$$z_(min)=-75; \; z_(max)=125. $$
Răspuns: $z_(min)=-75; \; z_(max)=125$.
Și pentru a o rezolva, aveți nevoie de cunoștințe minime despre subiect. Urmatorul an universitar, toată lumea vrea să plece în vacanță, iar pentru a apropia acest moment, mă apuc imediat de treabă:
Să începem cu zona. Zona la care se face referire în condiție este limitat închis set de puncte din plan. De exemplu, un set de puncte mărginite de un triunghi, inclusiv TOTUL triunghi (dacă de la frontiere„Scoate” cel puțin un punct, apoi zona nu va mai fi închisă). În practică, există și zone de forme dreptunghiulare, rotunde și ceva mai complexe. Trebuie remarcat faptul că în teoria analizei matematice sunt date definiții stricte limitări, izolare, limite etc., dar cred că toată lumea este conștientă de aceste concepte la nivel intuitiv și nu este nevoie de mai mult acum.
Zona plată este desemnată în mod standard cu litera , și, de regulă, este dată analitic - prin mai multe ecuații (nu neapărat liniar); mai rar inegalități. O schimbare verbală tipică: „zonă închisă limitată de linii”.
O parte integrantă a sarcinii luate în considerare este construcția zonei pe desen. Cum să o facă? Este necesar să desenați toate liniile enumerate (în acest caz 3 Drept) și analizați ce s-a întâmplat. Zona dorită este de obicei ușor hașurată, iar marginea sa este evidențiată cu o linie îndrăzneață: 
Aceeași zonă poate fi setată inegalități liniare: , care din anumite motive sunt scrise mai des ca o listă de enumerare, și nu sistem.
Deoarece granița aparține regiunii, atunci toate inegalitățile, desigur, nestrict.
Și acum miezul problemei. Imaginează-ți că axa merge direct la tine de la originea coordonatelor. Luați în considerare o funcție care continuu în fiecare punct de zonă. Graficul acestei funcții este suprafaţă, iar mica fericire este că, pentru a rezolva problema de astăzi, nu trebuie să știm deloc cum arată această suprafață. Poate fi situat deasupra, dedesubt, traversează avionul - toate acestea nu sunt importante. Și următorul lucru este important: conform teoreme Weierstrass, continuuîn limitat închis zonă, funcția atinge maximul (din „cel mai înalt”) si cel putin (din „cel mai jos”) valori de găsit. Aceste valori sunt atinse sauîn punctele staţionare, aparținând regiuniiD , sauîn punctele care se află la limita acestei regiuni. Din care urmează un algoritm de soluție simplu și transparent:
Exemplul 1
Într-o zonă închisă limitată
Soluţie: În primul rând, trebuie să descrii zona pe desen. Din păcate, din punct de vedere tehnic îmi este dificil să fac un model interactiv al problemei și, prin urmare, voi oferi imediat ilustrația finală, care arată toate punctele „suspecte” găsite în timpul studiului. De obicei, sunt puse jos una după alta pe măsură ce se găsesc: 
Pe baza preambulului, decizia poate fi împărțită convenabil în două puncte:
I) Să găsim puncte staţionare. Aceasta este o acțiune standard pe care am efectuat-o în mod repetat în lecție. despre extrema mai multor variabile:
Punct staționar găsit aparține zone: (marcați-l pe desen), ceea ce înseamnă că ar trebui să calculăm valoarea funcției la un punct dat:
- ca in articol Cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții pe un segment, rezultate importante O voi pune cu caractere aldine. Într-un caiet, este convenabil să le încercuiești cu un creion.
Atenție la a doua noastră fericire - nu are rost să verificăm condiție suficientă pentru un extremum. De ce? Chiar dacă în punctul în care funcția ajunge, de exemplu, minim local, atunci aceasta NU ÎNSEMNĂ că valoarea rezultată va fi minimîn întreaga regiune (vezi începutul lecției despre extreme necondiționate) .
Ce se întâmplă dacă punctul staționar NU aparține zonei? Aproape nimic! Trebuie remarcat faptul că și treceți la paragraful următor.
II) Investigam granița regiunii.
Deoarece granița constă din laturile unui triunghi, este convenabil să împărțiți studiul în 3 paragrafe. Dar este mai bine să nu o faci oricum. Din punctul meu de vedere, la început este mai avantajos să luăm în considerare segmentele paralele cu axele de coordonate și, în primul rând, pe cele situate pe axele în sine. Pentru a surprinde întreaga secvență și logica acțiunilor, încercați să studiați finalul „într-o singură respirație”:
1) Să ne ocupăm de partea inferioară a triunghiului. Pentru a face acest lucru, înlocuim direct în funcție:
Ca alternativă, puteți proceda astfel: 
Geometric, aceasta înseamnă că planul de coordonate (care este dat și de ecuație)„decupat” din suprafete parabola „spațială”, al cărei vârf cade imediat sub suspiciune. Să aflăm unde este ea:
- valoarea rezultată „lovită” în zonă și poate fi că la punctul respectiv (marca pe desen) funcția atinge cea mai mare sau cea mai mică valoare din întreaga zonă. Oricum, hai să facem calculele:
Alți „candidați” sunt, desigur, capetele segmentului. Calculați valorile funcției în puncte 
(marca pe desen):
Aici, apropo, puteți efectua o mini-verificare orală a versiunii „dezbrăcate”: 
2) Pentru cercetare partea dreaptaînlocuim triunghiul în funcție și „punem lucrurile în ordine acolo”:
Aici efectuăm imediat o verificare brută, „sunând” capătul deja procesat al segmentului:
, perfect.
Situația geometrică este legată de punctul anterior:
- valoarea rezultată a „intrat și în sfera intereselor noastre”, ceea ce înseamnă că trebuie să calculăm cu ce este egală funcția în punctul care a apărut:
Să examinăm al doilea capăt al segmentului:
Folosind funcția 
, sa verificam: 
3) Probabil că toată lumea știe cum să exploreze partea rămasă. Înlocuim în funcție și efectuăm simplificări:
Se termină linia 
au fost deja investigate, dar pe proiect mai verificăm dacă am găsit corect funcția 
:
– a coincis cu rezultatul de la primul paragraf;
– a coincis cu rezultatul al doilea paragraf.
Rămâne să aflăm dacă există ceva interesant în interiorul segmentului:
- există! Înlocuind o linie dreaptă în ecuație, obținem ordonata acestui „interesant”:
Marcam un punct pe desen și găsim valoarea corespunzătoare a funcției:
Să controlăm calculele în funcție de versiunea „buget”. 
:
, Ordin.
Și pasul final: Uită-te cu ATENȚIE prin toate numerele „grase”, recomand chiar și începătorilor să facă o singură listă: 
din care alegem cele mai mari si cele mai mici valori. Răspuns scrie în stilul problemei găsirii cele mai mari și cele mai mici valori ale funcției de pe segment:
Pentru orice eventualitate, voi comenta din nou semnificația geometrică a rezultatului:
– aici este cel mai înalt punct al suprafeței din regiune ;
- aici este punctul cel mai de jos al suprafeței din zonă.
În problema analizată, am găsit 7 puncte „suspecte”, dar numărul acestora variază de la sarcină la sarcină. Pentru o regiune triunghiulară, „multimul de explorare” minim este format din trei puncte. Acest lucru se întâmplă atunci când funcția, de exemplu, se setează avion- este destul de clar că nu există puncte staționare, iar funcția poate atinge valorile maxime / minime doar la vârfurile triunghiului. Dar nu există astfel de exemple o dată, de două ori - de obicei trebuie să te confrunți cu un fel de suprafata de ordinul 2.
Dacă rezolvi puțin astfel de sarcini, atunci triunghiurile îți pot face capul să se învârtească și, prin urmare, am pregătit exemple neobișnuite pentru ca tu să-l faci pătrat :))
Exemplul 2
Găsiți cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții 
într-o zonă închisă delimitată de linii
Exemplul 3
Găsiți cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții într-o zonă închisă mărginită.
Acordați o atenție deosebită ordinii raționale și tehnicii de explorare a limitei zonei, precum și lanțului de verificări intermediare, care vor evita aproape complet erorile de calcul. În general, puteți rezolva așa cum doriți, dar în unele probleme, de exemplu, în același Exemplu 2, există toate șansele să vă complicați semnificativ viața. Un exemplu aproximativ de finalizare a sarcinilor la sfârșitul lecției.
Sistematizăm algoritmul de soluție, altfel, cu diligența mea de păianjen, s-a pierdut cumva într-un fir lung de comentarii ale primului exemplu:
- La primul pas, construim o zonă, este de dorit să o umbrim și să evidențiem chenarul cu o linie groasă. În timpul rezolvării, vor apărea puncte care trebuie puse pe desen.
– Găsiți puncte staționare și calculați valorile funcției numai în acelea, care apartin zonei . Valorile obținute sunt evidențiate în text (de exemplu, încercuite cu un creion). Dacă punctul staționar NU aparține zonei, atunci notăm acest fapt cu o pictogramă sau verbal. Dacă nu există deloc puncte staționare, atunci tragem o concluzie scrisă că acestea sunt absente. În orice caz, acest articol nu poate fi omis!
– Explorarea zonei de frontieră. În primul rând, este avantajos să se ocupe de linii drepte care sunt paralele cu axele de coordonate (Dacă există). Sunt evidențiate și valorile funcției calculate în punctele „suspecte”. S-au spus multe despre tehnica soluției de mai sus și mai jos se va spune altceva - citiți, recitiți, aprofundați!
- Din numerele selectate, selectați cele mai mari și cele mai mici valori și dați un răspuns. Uneori se întâmplă ca funcția să atingă astfel de valori în mai multe puncte deodată - în acest caz, toate aceste puncte ar trebui să fie reflectate în răspuns. Să, de exemplu, 
și s-a dovedit că aceasta este cea mai mică valoare. Apoi scriem asta
Exemplele finale sunt dedicate altora idei utile utile in practica:
Exemplul 4
Găsiți cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții într-o zonă închisă 
.
Am păstrat formularea autorului, în care aria este dată ca o dublă inegalitate. Această condiție poate fi scrisă într-un sistem echivalent sau într-o formă mai tradițională pentru această problemă: 
Vă reamintesc că cu neliniară am întâlnit inegalități pe , iar dacă nu înțelegeți semnificația geometrică a intrării, atunci vă rugăm să nu amânați și să clarificați situația chiar acum ;-)
Soluţie, ca întotdeauna, începe cu construcția zonei, care este un fel de „talpă”: 
Hmm, uneori trebuie să roade nu numai granitul științei....
I) Găsiți puncte staționare: 
Sistemul de vis al idiotului :)
Punctul staționar aparține regiunii, și anume, se află la limita sa.
Și așa, nu este nimic... lecția distractivă a mers - asta înseamnă să bei ceaiul potrivit =)
II) Investigam granița regiunii. Fără alte prelungiri, să începem cu axa x:
1) Dacă , atunci
Aflați unde este vârful parabolei:
- Apreciați astfel de momente - „loviți” până la obiect, din care totul este deja clar. Dar nu uitați să verificați: 
Să calculăm valorile funcției la capetele segmentului: 
2) Ne vom ocupa de partea inferioară a „tălpii” „într-o singură ședință” - fără complexe, o înlocuim în funcție, în plus, ne va interesa doar segmentul:
Control:
Acum, acest lucru aduce deja o oarecare revigorare călătoriei monotone pe o pistă moletă. Să găsim punctele critice:
Noi decidem ecuație pătratică iti amintesti de asta? ... Totuși, amintiți-vă, desigur, altfel nu ați fi citit aceste rânduri =) Dacă în cele două exemple anterioare calculele în fracții zecimale erau convenabile (ceea ce, apropo, este rar), atunci aici așteptăm ca de obicei fracții comune. Găsim rădăcinile „x” și, folosind ecuația, determinăm coordonatele „joc” corespunzătoare punctelor „candidate”: 
Să calculăm valorile funcției în punctele găsite: 
Verificați singur funcția.
Acum studiem cu atenție trofeele câștigate și notăm Răspuns:
Iată „candidații”, deci „candidații”!
Pentru o soluție de sine stătătoare:
Exemplul 5
Găsiți cel mai mic și cea mai mare valoare funcții 
într-o zonă închisă 
O intrare cu acolade arată astfel: „un set de puncte astfel încât”.
Uneori, în astfel de exemple ei folosesc Metoda multiplicatorului Lagrange, dar nevoia reală de a-l folosi este puțin probabil să apară. Deci, de exemplu, dacă este dată o funcție cu aceeași zonă "de", atunci după substituție în ea - cu o derivată fără dificultăți; în plus, totul este întocmit într-o „o singură linie” (cu semne) fără a fi nevoie să se ia în considerare separat semicercurile superioare și inferioare. Dar, desigur, există cazuri mai complicate, în care fără funcția Lagrange (unde, de exemplu, este aceeași ecuație de cerc) e greu să te descurci – cât de greu este să te descurci fără o odihnă bună!
Toate cele bune pentru a trece de sesiune și ne vedem în curând în sezonul viitor!
Solutii si raspunsuri:
Exemplul 2: Soluţie: desenați zona pe desen:
Se încarcă...