Algoritmul standard pentru rezolvarea unor astfel de sarcini presupune, după găsirea zerourilor funcției, determinarea semnelor derivatei pe intervale. Apoi se calculează valorile la punctele maxime (sau minime) găsite și la limita intervalului, în funcție de ce întrebare se află în stare.
Vă sfătuiesc să faceți lucrurile puțin diferit. De ce? A scris despre asta.
Îmi propun să rezolv astfel de sarcini după cum urmează:
1. Găsiți derivata.
2. Aflați zerourile derivatei.
3. Stabiliți care dintre ele aparțin intervalului dat.
4. Calculăm valorile funcției la limitele intervalului și punctelor articolului 3.
5. Tragem o concluzie (răspundem la întrebarea pusă).
În timpul rezolvării exemplelor prezentate, soluția ecuațiilor pătratice nu este luată în considerare în detaliu, ar trebui să puteți face acest lucru. Ar trebui să știe și ei.
Luați în considerare exemple:
77422. Aflați cea mai mare valoare a funcției y=x 3 –3x+4 pe segmentul [–2;0].
Să găsim zerourile derivatei:
Punctul x = –1 aparține intervalului specificat în condiție.
Calculăm valorile funcției la punctele –2, –1 și 0:
Cea mai mare valoare a funcției este 6.
Raspuns: 6
77425. Găsiți cea mai mică valoare a funcției y \u003d x 3 - 3x 2 + 2 pe segment.
Găsiți derivata funcției date:
Să găsim zerourile derivatei:
Punctul x = 2 aparține intervalului specificat în condiție.
Calculăm valorile funcției la punctele 1, 2 și 4:
Cea mai mică valoare a funcției este -2.
Răspuns: -2
77426. Găsiți cea mai mare valoare a funcției y \u003d x 3 - 6x 2 pe segmentul [-3; 3].
Găsiți derivata funcției date:
Să găsim zerourile derivatei:
Punctul x = 0 aparține intervalului specificat în condiție.
Calculăm valorile funcției la punctele –3, 0 și 3:
Cea mai mică valoare a funcției este 0.
Raspuns: 0
77429. Găsiți cea mai mică valoare a funcției y \u003d x 3 - 2x 2 + x + 3 pe segment.
Găsiți derivata funcției date:
3x 2 - 4x + 1 = 0
Obținem rădăcinile: x 1 \u003d 1 x 1 \u003d 1/3.
Doar x = 1 aparține intervalului specificat în condiție.
Găsiți valorile funcției la punctele 1 și 4:
Am constatat că cea mai mică valoare a funcției este 3.
Raspuns: 3
77430. Găsiți cea mai mare valoare a funcției y \u003d x 3 + 2x 2 + x + 3 pe segmentul [- 4; -unu].
Găsiți derivata funcției date:
Aflați zerourile derivatei, rezolvați ecuația pătratică:
3x 2 + 4x + 1 = 0
Să luăm rădăcinile:
Rădăcina х = –1 aparține intervalului specificat în condiție.
Găsiți valorile funcției la punctele –4, –1, –1/3 și 1:
Am descoperit că cea mai mare valoare a funcției este 3.
Raspuns: 3
77433. Găsiți cea mai mică valoare a funcției y \u003d x 3 - x 2 - 40x +3 pe segment.
Găsiți derivata funcției date:
Aflați zerourile derivatei, rezolvați ecuația pătratică:
3x 2 - 2x - 40 = 0
Să luăm rădăcinile:
Rădăcina x = 4 aparține intervalului specificat în condiție.
Găsim valorile funcției la punctele 0 și 4:
Am constatat că cea mai mică valoare a funcției este -109.
Răspuns: -109
Luați în considerare o metodă pentru determinarea celui mai mare și cea mai mică valoare funcții fără derivată. Această abordare poate fi folosită dacă aveți probleme mari cu definirea derivatei. Principiul este simplu - înlocuim toate valorile întregi din interval în funcție (fapt este că în toate astfel de prototipuri răspunsul este un număr întreg).
77437. Găsiți cea mai mică valoare a funcției y \u003d 7 + 12x - x 3 pe segmentul [-2; 2].
Inlocuim punctele de la -2 la 2: Vizualizați soluția
77434. Găsiți cea mai mare valoare a funcției y \u003d x 3 + 2x 2 - 4x + 4 pe segmentul [-2; 0].
Asta e tot. Multă baftă!
Cu stimă, Alexander Krutitskikh.
P.S: Aș fi recunoscător dacă ai spune despre site în rețelele de socializare.
Lasă funcția y=f(X) continuu pe segmentul [ a, b]. După cum se știe, o astfel de funcție pe acest segment atinge valorile maxime și minime. Funcția poate prelua aceste valori fie în punct interior segment [ a, b], sau la limita segmentului.
Pentru a găsi cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții pe segment [ a, b] necesar:
1) găsiți punctele critice ale funcției în intervalul ( a, b);
2) calculați valorile funcției la punctele critice găsite;
3) calculați valorile funcției la capetele segmentului, adică pt X=darși x = b;
4) dintre toate valorile calculate ale funcției, alegeți cea mai mare și cea mai mică.
Exemplu. Găsiți cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții
pe segment.
Găsirea punctelor critice:
Aceste puncte se află în interiorul segmentului; y(1) = ‒ 3; y(2) = ‒ 4; y(0) = ‒ 8; y(3) = 1;
la punct X= 3 și la punct X= 0.
Investigarea unei funcții pentru convexitate și un punct de inflexiune.
Funcţie y = f (X) numit convexă intre (A, b) , dacă graficul său se află sub o tangentă desenată în orice punct al acestui interval și se numește convex în jos (concav) dacă graficul său se află deasupra tangentei.
Se numește punctul de tranziție prin care convexitatea este înlocuită cu concavitate sau invers punct de inflexiune.
Algoritm pentru studiul convexității și punctului de inflexiune:
1. Aflați punctele critice de al doilea fel, adică punctele în care derivata a doua este egală cu zero sau nu există.
2. Pune punctele critice pe dreapta numerică, împărțind-o în intervale. Aflați semnul derivatei a doua pe fiecare interval; dacă , atunci funcția este convexă în sus, dacă, atunci funcția este convexă în jos.
3. Dacă, la trecerea printr-un punct critic de al doilea fel, acesta își schimbă semnul și în acest punct derivata a doua este egală cu zero, atunci acest punct este abscisa punctului de inflexiune. Găsiți-i ordonata.
Asimptotele graficului unei funcții. Investigarea unei funcții în asimptote.
Definiție. Asimptota graficului unei funcții se numește Drept, care are proprietatea că distanța de la orice punct al graficului la această linie tinde spre zero cu o îndepărtare nelimitată a punctului grafic de la origine.
Există trei tipuri de asimptote: vertical, orizontal și înclinat.
Definiție. Apelat direct asimptotă verticală graficul funcției y = f(x), dacă cel puțin una dintre limitele unilaterale ale funcției în acest punct este egală cu infinit, adică
unde este punctul de discontinuitate al funcției, adică nu aparține domeniului definiției.
Exemplu.
D( y) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)
X= 2 - punctul de rupere.
Definiție. Drept y=A numit asimptotă orizontală graficul funcției y = f(x) la , dacă
Exemplu.
|
X | |||
|
y |
Definiție. Drept y=kx +b (k≠ 0) se numește asimptotă oblică graficul funcției y = f(x) unde
Schemă generală pentru studiul funcțiilor și a graficului.
Algoritm de cercetare a funcțieiy = f(x) :
1. Găsiți domeniul funcției D (y).
2. Găsiți (dacă este posibil) punctele de intersecție ale graficului cu axele de coordonate (cu X= 0 și la y = 0).
3. Investigați funcțiile pare și impare ( y (‒ X) = y (X) ‒ paritate; y(‒ X) = ‒ y (X) ‒ ciudat).
4. Găsiți asimptotele graficului funcției.
5. Găsiți intervale de monotonitate ale funcției.
6. Aflați extremele funcției.
7. Aflați intervalele de convexitate (concavitate) și punctele de inflexiune ale graficului funcției.
8. Pe baza cercetărilor efectuate, construiți un grafic al funcției.
Exemplu. Investigați funcția și trasați graficul acesteia.
1) D (y) =
X= 4 - punctul de rupere.
2) Când X = 0,
(0; – 5) – punctul de intersecție cu oi.
La y = 0,
3)
y(‒
X)=
funcţie vedere generala(nici par, nici impar).
4) Investigam pentru asimptote.
a) verticală
b) orizontală
c) găsi asimptote oblice unde
‒ecuația asimptotă oblică
5) În această ecuație, nu este necesară găsirea intervalelor de monotonitate ale funcției.
6)
Aceste puncte critice împart întregul domeniu al funcției pe intervalul (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) și (10; +∞). Este convenabil să prezentați rezultatele obținute sub forma următorului tabel.
Să vedem cum să explorezi o funcție folosind un grafic. Se pare că, privind graficul, puteți afla tot ce ne interesează, și anume:
- domeniul de aplicare al funcției
- intervalul de funcții
- zerouri ale funcției
- perioade de crestere si scadere
- puncte înalte și scăzute
- cea mai mare și cea mai mică valoare a funcției de pe segment.
Să clarificăm terminologia:
Abscisă este coordonata orizontală a punctului.
Ordonată- coordonata verticala.
abscisă- axa orizontală, numită cel mai adesea axă.
axa Y- axa verticală, sau axa.
Argument este o variabilă independentă de care depind valorile funcției. Cel mai adesea indicat.
Cu alte cuvinte, noi înșine alegem , înlocuim în formula funcției și obținem .
Domeniu funcții - setul acelor (și numai acelea) valori ale argumentului pentru care există funcția.
Notat: sau .
În figura noastră, domeniul funcției este un segment. Pe acest segment este trasat graficul funcției. Doar aici există această funcție.
Gama de funcții este setul de valori pe care variabila ia. În figura noastră, acesta este un segment - de la cea mai mică la cea mai mare valoare.
Zerourile funcției- punctele în care valoarea funcției este egală cu zero, adică . În figura noastră, acestea sunt punctele și .
Valorile funcției sunt pozitive Unde . În figura noastră, acestea sunt intervalele și .
Valorile funcției sunt negative Unde . Avem acest interval (sau interval) de la până.
Cele mai importante concepte - funcţia crescătoare şi descrescătoare pe vreun platou. Ca set, puteți lua un segment, un interval, o uniune de intervale sau întreaga linie numerică.
Funcţie crește
Cu alte cuvinte, cu cât mai mult, cu atât mai mult, adică graficul merge la dreapta și în sus.
Funcţie in scadere pe mulţime dacă pentru oricare şi aparţinând mulţimii inegalitatea implică inegalitatea .
Pentru o funcție descrescătoare, o valoare mai mare corespunde unei valori mai mici. Graficul merge la dreapta și în jos.
În figura noastră, funcția crește pe interval și scade pe intervale și .
Să definim ce este punctele maxime și minime ale funcției.
Punct maxim- acesta este un punct intern al domeniului de definiție, astfel încât valoarea funcției din acesta este mai mare decât în toate punctele suficient de apropiate de acesta.
Cu alte cuvinte, punctul maxim este un astfel de punct, valoarea funcției la care Mai mult decât în cele vecine. Acesta este un „deal” local pe diagramă.
În figura noastră - punctul maxim.
Punct scăzut- un punct intern al domeniului de definiție, astfel încât valoarea funcției din acesta să fie mai mică decât în toate punctele suficient de apropiate de acesta.
Adică, punctul minim este astfel încât valoarea funcției din el este mai mică decât în cele învecinate. Pe grafic, aceasta este o „găură” locală.
În figura noastră - punctul minim.
Punctul este granița. Nu este un punct interior al domeniului definiției și, prin urmare, nu se potrivește definiției unui punct maxim. La urma urmei, nu are vecini în stânga. În același mod, nu poate exista niciun punct minim pe graficul nostru.
Punctele maxime și minime sunt numite colectiv punctele extreme ale funcției. În cazul nostru, acesta este și .
Dar dacă trebuie să găsiți, de exemplu, funcția minimă pe tăietură? În acest caz, răspunsul este: deoarece funcția minimă este valoarea sa la punctul minim.
În mod similar, maximul funcției noastre este . Se ajunge la punctul .
Putem spune că extremele funcției sunt egale cu și .
Uneori, în sarcini pe care trebuie să le găsiți cele mai mari și cele mai mici valori ale funcției pe un segment dat. Ele nu coincid neapărat cu extreme.
În cazul nostru cea mai mică valoare a funcției pe interval este egal și coincide cu minimul funcției. Dar valoarea sa cea mai mare pe acest segment este egală cu . Se ajunge la capătul stâng al segmentului.
În orice caz, cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții continue pe un segment sunt atinse fie la punctele extreme, fie la capetele segmentului.
Adesea în fizică și matematică este necesar să se găsească cea mai mică valoare a unei funcții. Cum să faceți acest lucru, vă vom spune acum.
Cum să găsiți cea mai mică valoare a unei funcții: instrucțiune
- Pentru a calcula cea mai mică valoare a unei funcții continue pe un interval dat, trebuie să urmați acest algoritm:
- Aflați derivata unei funcții.
- Găsiți pe un segment dat punctele în care derivata este egală cu zero, precum și toate punctele critice. Apoi aflați valorile funcției în aceste puncte, adică rezolvați ecuația în care x este egal cu zero. Aflați care dintre valori este cea mai mică.
- Aflați ce valoare are funcția la punctele finale. Determinați cea mai mică valoare a funcției în aceste puncte.
- Comparați datele primite cu cea mai mică valoare. Cea mai mică dintre numerele primite va fi cea mai mică valoare a funcției.
Rețineți că în cazul în care o funcție pe un segment nu are cele mai mici puncte, aceasta înseamnă că crește sau descrește pe acest segment. Prin urmare, cea mai mică valoare ar trebui calculată pe segmentele finite ale funcției.
În toate celelalte cazuri, valoarea funcției este calculată conform algoritmului specificat. La fiecare pas al algoritmului, va trebui să rezolvi un simplu ecuație liniară cu o singură rădăcină. Rezolvați ecuația folosind desenul pentru a evita greșelile.
Cum să găsiți cea mai mică valoare a unei funcții pe un segment pe jumătate deschis? Într-o perioadă pe jumătate deschisă sau deschisă a funcției, cea mai mică valoare ar trebui găsită după cum urmează. La punctele finale ale valorii funcției, calculați limita unilaterală a funcției. Cu alte cuvinte, rezolvați o ecuație în care punctele de tendință sunt date de valoarea a+0 și b+0, unde a și b sunt denumirile punctelor critice.
Acum știi cum să găsești cea mai mică valoare a unei funcții. Principalul lucru este să faceți toate calculele corect, precis și fără erori.
Se încarcă...