Declarația problemei 2:
Dată o funcție care este definită și continuă pe un anumit interval. Este necesar să se găsească cea mai mare (cea mai mică) valoare a funcției pe acest interval.
Baza teoretica.
Teorema (a doua teoremă Weierstrass):
Dacă o funcție este definită și continuă într-un interval închis, atunci ea își atinge valorile maxime și minime în acest interval.
Funcția își poate atinge valorile maxime și minime fie în punctele interne ale intervalului, fie la limitele acestuia. Să ilustrăm toate opțiunile posibile. 
Explicaţie:
1) Funcția își atinge valoarea maximă la limita stângă a intervalului în punctul , iar valoarea sa minimă la marginea dreaptă decalaj la un punct.
2) Funcția își atinge valoarea maximă în punct (acesta este punctul maxim) și valoarea sa minimă la limita dreaptă a intervalului în punct.
3) Funcția își atinge valoarea maximă pe marginea stângă a intervalului în punctul , iar valoarea sa minimă în punctul (acesta este punctul minim).
4) Funcția este constantă pe interval, adică. își atinge valorile minime și maxime în orice punct al intervalului, iar valorile minime și maxime sunt egale între ele.
5) Funcția își atinge valoarea maximă în punctul , iar valoarea sa minimă în punct (în ciuda faptului că funcția are atât un maxim, cât și un minim pe acest interval).
6) Funcția atinge valoarea maximă într-un punct (acesta este punctul maxim), iar valoarea sa minimă într-un punct (acesta este punctul minim).
Cometariu:
„Maximă” și „valoare maximă” sunt lucruri diferite. Aceasta rezultă din definiția maximului și înțelegerea intuitivă a expresiei „valoare maximă”.
Algoritm pentru rezolvarea problemei 2.
4) Alegeți dintre valorile obținute cea mai mare (mai mică) și notați răspunsul.
Exemplul 4:
Determinați cea mai mare și cea mai mică valoare a unei funcții 
pe segment.
Soluţie:
1) Aflați derivata funcției. 
2) Găsiți puncte staționare (și puncte care sunt suspecte de un extremum) rezolvând ecuația . Acordați atenție punctelor în care nu există o derivată finită cu două fețe. 
3) Calculați valorile funcției în punctele staționare și la limitele intervalului.
4) Alegeți dintre valorile obținute cea mai mare (mai mică) și notați răspunsul.
Funcția de pe acest segment atinge valoarea maximă în punctul cu coordonatele .
Funcția de pe acest segment atinge valoarea minimă în punctul cu coordonatele .
Puteți verifica corectitudinea calculelor privind graficul funcției studiate. 
Cometariu: Funcția atinge valoarea maximă în punctul maxim, iar valoarea minimă la limita segmentului.
Caz special.
Să presupunem că doriți să găsiți valoarea maximă și minimă a unei funcții pe un segment. După executarea primului paragraf al algoritmului, i.e. calculul derivatului, devine clar că, de exemplu, ia doar valori negative pe întregul segment luat în considerare. Amintiți-vă că, dacă derivata este negativă, atunci funcția este descrescătoare. Am constatat că funcția este în scădere pe întreg intervalul. Această situație este prezentată în graficul nr. 1 de la începutul articolului.
Funcția scade pe interval, adică. nu are puncte extreme. Se poate observa din imagine că funcția va lua cea mai mică valoare pe marginea dreaptă a segmentului și cea mai mare valoare- la stânga. dacă derivata pe interval este peste tot pozitivă, atunci funcția este în creștere. Cea mai mică valoare este pe marginea din stânga a segmentului, cea mai mare este în dreapta.
intre.
.
|
X | |||
|
y |
Definiție. Drept y=kx +b (k≠ 0) se numește asimptotă oblică graficul funcției y = f(x) unde
Schemă generală pentru studiul funcțiilor și a graficului.
Algoritm de cercetare a funcțieiy = f(x) :
1. Găsiți domeniul funcției D (y).
2. Găsiți (dacă este posibil) punctele de intersecție ale graficului cu axele de coordonate (cu X= 0 și la y = 0).
3. Investigați funcțiile pare și impare ( y (‒ X) = y (X) ‒ paritate; y(‒ X) = ‒ y (X) ‒ ciudat).
4. Găsiți asimptotele graficului funcției.
5. Găsiți intervale de monotonitate ale funcției.
6. Aflați extremele funcției.
7. Aflați intervalele de convexitate (concavitate) și punctele de inflexiune ale graficului funcției.
8. Pe baza cercetărilor efectuate, construiți un grafic al funcției.
Exemplu. Investigați funcția și trasați graficul acesteia.
1) D (y) =
X= 4 - punctul de rupere.
2) Când X = 0,
(0; – 5) – punctul de intersecție cu oi.
La y = 0,
3)
y(‒
X)=
funcţie vedere generala(nici par, nici impar).
4) Investigam pentru asimptote.
a) verticală
b) orizontală
c) găsi asimptote oblice unde
‒ecuația asimptotă oblică
5) În această ecuație, nu este necesară găsirea intervalelor de monotonitate ale funcției.
6)
Aceste puncte critice împart întregul domeniu al funcției pe intervalul (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) și (10; +∞). Este convenabil să prezentați rezultatele obținute sub forma următorului tabel.
Studiul unui astfel de obiect de analiză matematică ca funcție este de mare importanță. sensși în alte domenii ale științei. De exemplu, în analiza economică se cere constant evaluarea comportamentului funcții profit, și anume de a determina maximul acestuia sensși să dezvolte o strategie pentru a-l atinge.
Instruire
Studiul oricărui comportament ar trebui să înceapă întotdeauna cu o căutare a unui domeniu de definiție. De obicei, în funcție de starea unei anumite probleme, este necesar să se determine cea mai mare sens funcții fie pe ansamblul acestei zone, fie pe intervalul ei specific cu limite deschise sau închise.
Pe baza , cel mai mare este sens funcții y(x0), sub care pentru orice punct al domeniului de definiție este satisfăcută inegalitatea y(x0) ≥ y(x) (х ≠ x0). Grafic, acest punct va fi cel mai mare dacă aranjați valorile argumentului de-a lungul axei absciselor, iar funcția însăși de-a lungul axei ordonatelor.
Pentru a determina cel mai mare sens funcții, urmați algoritmul în trei pași. Rețineți că trebuie să puteți lucra cu unilateral și , precum și să calculați derivata. Deci, să fie dată o funcție y(x) și este necesar să se găsească cea mai mare sens pe un anumit interval cu valori la limită A și B.
Aflați dacă acest interval este în sfera de aplicare funcții. Pentru a face acest lucru, este necesar să-l găsiți, luând în considerare toate restricțiile posibile: prezența unei fracții, a unei rădăcini pătrate etc. în expresie. Domeniul definiției este setul de valori ale argumentului pentru care funcția are sens. Determinați dacă intervalul dat este o submulțime a acestuia. Dacă da, treceți la pasul următor.
Găsiți derivata funcțiiși rezolvați ecuația rezultată echivalând derivata la zero. Astfel, veți obține valorile așa-numitelor puncte staționare. Evaluați dacă cel puțin unul dintre ele aparține intervalului A, B.
Luați în considerare aceste puncte în a treia etapă, înlocuiți valorile lor în funcție. Efectuați următorii pași suplimentari în funcție de tipul de interval. Dacă există un segment de forma [A, B], punctele de limită sunt incluse în interval, acest lucru este indicat prin paranteze. Calculați valori funcții pentru x = A și x = B. Dacă intervalul deschis este (A, B), valorile limită sunt perforate, adică. nu sunt incluse în el. Rezolvați limite unilaterale pentru x→A și x→B. Un interval combinat de forma [A, B) sau (A, B), ale cărui limite îi aparține, cealaltă nu. Găsiți limita unilaterală pe măsură ce x tinde spre valoarea perforată și înlocuiți-l pe celălalt în Interval infinit bifat (-∞, +∞) sau intervale infinite unilaterale de forma: , (-∞, B) Pentru limitele reale A și B se procedează conform principiilor deja descrise, iar pentru infinit , căutați limite pentru x→-∞ și, respectiv, x→+∞.
Sarcina în această etapă
În practică, este destul de comun să se folosească derivata pentru a calcula cea mai mare și cea mai mică valoare a unei funcții. Efectuăm această acțiune atunci când ne dăm seama cum să minimizăm costurile, să creștem profiturile, să calculăm sarcina optimă a producției etc., adică în acele cazuri când este necesar să se determine valoarea optimă a unui parametru. Pentru a rezolva corect astfel de probleme, trebuie să înțelegeți bine care este valoarea cea mai mare și cea mai mică a unei funcții.
Yandex.RTB R-A-339285-1
De obicei definim aceste valori în cadrul unui interval x, care, la rândul său, poate corespunde întregului domeniu al funcției sau unei părți a acesteia. Poate fi fie un segment [ a ; b ] , și interval deschis (a ; b), (a ; b ] , [ a ; b), interval infinit (a ; b) , (a ; b ] , [ a ; b ] , [ a ; b), interval infinit (a ; b), (a ; b ] , [ a ; b) sau interval infinit - ∞ ; a , (- ∞ ; a ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; + ∞) .
În acest articol, vom descrie modul în care se calculează cea mai mare și cea mai mică valoare a unei funcții date explicit cu o variabilă y=f(x) y = f (x).
Definiții de bază
Începem, ca întotdeauna, cu formularea principalelor definiții.
Definiția 1
Cea mai mare valoare a funcției y = f (x) pe un interval x este valoarea maxy = f (x 0) x ∈ X , care, pentru orice valoare xx ∈ X , x ≠ x 0, face ca inegalitatea f (x) ) ≤ f (x 0) .
Definiția 2
Cea mai mică valoare a funcției y = f (x) pe un interval x este valoarea minx ∈ X y = f (x 0) , care, pentru orice valoare x ∈ X , x ≠ x 0, face ca inegalitatea f(X f (x) ≥ f(x0) .
Aceste definiții sunt destul de evidente. Și mai ușor, puteți spune acest lucru: cea mai mare valoare a unei funcții este cea mai mare mare importanță pe un interval cunoscut la abscisă x 0 , iar cea mai mică este cea mai mică valoare acceptată pe același interval la x 0 .
Definiția 3
Punctele staționare sunt astfel de valori ale argumentului funcției la care derivata sa devine 0.
De ce trebuie să știm ce sunt punctele staționare? Pentru a răspunde la această întrebare, trebuie să ne amintim teorema lui Fermat. Din aceasta rezultă că un punct staționar este un punct în care se află extremul unei funcții diferențiabile (adică, minimul sau maximul ei local). În consecință, funcția va lua cea mai mică sau cea mai mare valoare pe un anumit interval exact în unul dintre punctele staționare.
O altă funcție poate lua cea mai mare sau cea mai mică valoare în acele puncte în care funcția în sine este definită, iar derivata sa prima nu există.
Prima întrebare care apare atunci când studiem acest subiect este: în toate cazurile, putem determina valoarea maximă sau minimă a unei funcții pe un interval dat? Nu, nu putem face asta atunci când limitele intervalului dat vor coincide cu limitele domeniului de definiție sau dacă avem de-a face cu un interval infinit. De asemenea, se întâmplă ca o funcție într-un interval dat sau la infinit să ia valori infinit de mici sau infinit de mari. În aceste cazuri, nu este posibil să se determine valoarea cea mai mare și/sau cea mai mică.
Aceste momente vor deveni mai de înțeles după imaginea din grafice:
Prima figură ne arată o funcție care ia cele mai mari și mai mici valori (m a x y și m i n y) în punctele staționare situate pe intervalul [ - 6 ; 6].
Să examinăm în detaliu cazul indicat în al doilea grafic. Să schimbăm valoarea segmentului în [ 1 ; 6] și obținem că cea mai mare valoare a funcției va fi atinsă în punctul cu abscisa în limita dreaptă a intervalului, iar cea mai mică - în punctul staționar.
În figura a treia, abscisele punctelor reprezintă punctele de limită ale segmentului [ - 3 ; 2]. Ele corespund celei mai mari și mai mici valori a funcției date.
Acum să ne uităm la a patra imagine. În ea, funcția ia m a x y (cea mai mare valoare) și m i n y (cea mai mică valoare) în punctele staționare din intervalul deschis (- 6 ; 6) .
Dacă luăm intervalul [ 1 ; 6) , atunci putem spune că cea mai mică valoare a funcției de pe ea va fi atinsă într-un punct staționar. Nu vom ști valoarea maximă. Funcția ar putea lua cea mai mare valoare la x egală cu 6 dacă x = 6 aparține intervalului. Acest caz este prezentat în Figura 5.
Pe graficul 6, această funcție capătă cea mai mică valoare în marginea dreaptă a intervalului (- 3 ; 2 ] , și nu putem trage concluzii definitive despre cea mai mare valoare.
În figura 7, vedem că funcția va avea m a x y în punctul staționar, având o abscisă egală cu 1 . Funcția își atinge valoarea minimă la limita intervalului cu partea dreapta. La minus infinit, valorile funcției se vor apropia asimptotic de y = 3 .
Dacă luăm un interval x ∈ 2 ; + ∞ , atunci vom vedea că funcția dată nu va lua asupra ei nici cea mai mică, nici cea mai mare valoare. Dacă x tinde spre 2, atunci valorile funcției vor tinde spre minus infinit, deoarece linia dreaptă x = 2 este o asimptotă verticală. Dacă abscisa tinde spre plus infinit, atunci valorile funcției se vor apropia asimptotic de y = 3. Acesta este cazul prezentat în figura 8.
În acest paragraf, vom oferi o secvență de acțiuni care trebuie efectuate pentru a găsi cea mai mare sau cea mai mică valoare a unei funcții pe un anumit interval.
- Mai întâi, să găsim domeniul funcției. Să verificăm dacă segmentul specificat în condiție este inclus în el.
- Acum să calculăm punctele conținute în acest segment la care derivata întâi nu există. Cel mai adesea ele pot fi găsite în funcții al căror argument este scris sub semnul modulului sau în funcții de putere, al cărui exponent este un număr fracțional rațional.
- În continuare, aflăm care puncte staționare se încadrează într-un segment dat. Pentru a face acest lucru, trebuie să calculați derivata funcției, apoi să o echivalați cu 0 și să rezolvați ecuația rezultată, apoi să alegeți rădăcinile adecvate. Dacă nu obținem un singur punct staționar sau nu se încadrează într-un anumit segment, atunci trecem la pasul următor.
- Să determinăm ce valori va lua funcția în punctele staționare date (dacă există) sau în acele puncte în care derivata întâi nu există (dacă există), sau calculăm valorile pentru x = a și x = b .
- 5. Avem o serie de valori ale funcției, dintre care acum trebuie să alegem cea mai mare și cea mai mică. Acestea vor fi cele mai mari și cele mai mici valori ale funcției pe care trebuie să o găsim.
Să vedem cum să aplicăm corect acest algoritm atunci când rezolvăm probleme.
Exemplul 1
Condiție: este dată funcția y = x 3 + 4 x 2. Determinați valoarea sa cea mai mare și cea mai mică pe segmentele [ 1 ; 4 ] şi [ - 4 ; - unu ] .
Soluţie:
Să începem prin a găsi domeniul acestei funcții. În acest caz, va fi mulțimea tuturor numerelor reale, cu excepția lui 0. Cu alte cuvinte, D (y) : x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ 0 ; +∞ . Ambele segmente specificate în condiție se vor afla în interiorul zonei de definire.
Acum calculăm derivata funcției conform regulii de diferențiere a unei fracții:
y "= x 3 + 4 x 2" = x 3 + 4 " x 2 - x 3 + 4 x 2" x 4 = = 3 x 2 x 2 - (x 3 - 4) 2 xx 4 = x 3 - 8 x 3
Am învățat că derivata funcției va exista în toate punctele segmentelor [ 1 ; 4 ] şi [ - 4 ; - unu ] .
Acum trebuie să determinăm punctele staționare ale funcției. Să facem asta cu ecuația x 3 - 8 x 3 = 0. Are o singură rădăcină reală, care este 2. Va fi un punct staționar al funcției și va cădea în primul segment [ 1 ; 4 ] .
Să calculăm valorile funcției la capetele primului segment și la punctul dat, adică. pentru x = 1, x = 2 și x = 4:
y(1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y(2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y(4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4
Am obţinut că cea mai mare valoare a funcţiei m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 se va realiza la x = 1 , iar cel mai mic m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 – la x = 2 .
Al doilea segment nu include niciun punct staționar, așa că trebuie să calculăm valorile funcției numai la sfârșitul segmentului dat:
y (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3
Prin urmare, m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .
Răspuns: Pentru segmentul [ 1 ; 4 ] - m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , pentru segmentul [ - 4 ; - 1 ] - m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .
Vezi poza:
Înainte de a învăța această metodă, vă sfătuim să revizuiți cum să calculați corect limita unilaterală și limita la infinit, precum și să învățați metodele de bază pentru a le găsi. Pentru a găsi cea mai mare și/sau cea mai mică valoare a unei funcții pe un interval deschis sau infinit, efectuăm următorii pași în secvență.
- Mai întâi trebuie să verificați dacă intervalul dat va fi un subset al domeniului funcției date.
- Să determinăm toate punctele care sunt cuprinse în intervalul necesar și la care derivata întâi nu există. De obicei, ele apar în funcțiile în care argumentul este inclus în semnul modulo și în funcțiile de putere cu un exponent rațional fracțional. Dacă aceste puncte lipsesc, atunci puteți trece la pasul următor.
- Acum determinăm care puncte staționare se încadrează într-un interval dat. Mai întâi, echivalăm derivata cu 0, rezolvăm ecuația și găsim rădăcini potrivite. Dacă nu avem un singur punct staționar sau nu se încadrează într-un interval dat, atunci trecem imediat la acțiune ulterioară. Ele sunt determinate de tipul de interval.
- Dacă intervalul arată ca [ a ; b) , atunci trebuie să calculăm valoarea funcției în punctul x = a și limita unilaterală lim x → b - 0 f (x) .
- Dacă intervalul are forma (a ; b ] , atunci trebuie să calculăm valoarea funcției în punctul x = b și limita unilaterală lim x → a + 0 f (x) .
- Dacă intervalul are forma (a ; b) , atunci trebuie să calculăm limitele unilaterale lim x → b - 0 f (x) , lim x → a + 0 f (x) .
- Dacă intervalul arată ca [ a ; + ∞) , atunci este necesar să se calculeze valoarea în punctul x = a și limita la plus infinit lim x → + ∞ f (x) .
- Dacă intervalul arată ca (- ∞ ; b ] , se calculează valoarea în punctul x = b și limita la minus infinit lim x → - ∞ f (x) .
- Dacă - ∞ ; b , atunci considerăm limita unilaterală lim x → b - 0 f (x) și limita la minus infinit lim x → - ∞ f (x)
- Dacă - ∞ ; + ∞ , atunci considerăm limitele la minus și plus infinit lim x → + ∞ f (x) , lim x → - ∞ f (x) .
- La sfârșit, trebuie să trageți o concluzie pe baza valorilor obținute ale funcției și limitelor. Există multe opțiuni aici. Deci, dacă limita unilaterală este egală cu minus infinit sau plus infinit, atunci este imediat clar că nu se poate spune nimic despre cea mai mică și mai mare valoare a funcției. Mai jos vom lua în considerare un exemplu tipic. Descrieri detaliate te ajută să înțelegi ce este. Dacă este necesar, puteți reveni la figurile 4 - 8 din prima parte a materialului.
Condiție: dată o funcție y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 . Calculați valoarea sa cea mai mare și cea mai mică în intervalele - ∞ ; - 4 , - ∞ ; - 3 , (- 3 ; 1 ] , (- 3 ; 2 ) , [ 1 ; 2 ) , 2 ; + ∞ , [ 4 ; +∞).
Soluţie
În primul rând, găsim domeniul funcției. Numitorul fracției este un trinom pătrat, care nu trebuie să meargă la 0:
x 2 + x - 6 = 0 D = 1 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 ⇒ D (y) : x ∈ (- ∞ ; - 3) ∪ (- 3 ; 2) ∪ (2 ; + ∞)
Am obținut domeniul funcției, căruia îi aparțin toate intervalele specificate în condiție.
Acum să diferențiem funcția și să obținem:
y "= 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4" = 3 e 1 x 2 + x - 6 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 1 x 2 + x - 6 " == 3 e 1 x 2 + x - 6 1 "x 2 + x - 6 - 1 x 2 + x - 6" (x 2 + x - 6) 2 = - 3 (2 x + 1) e 1 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6 2
În consecință, derivatele unei funcții există pe întregul domeniu al definiției acesteia.
Să trecem la găsirea punctelor staționare. Derivata functiei devine 0 la x = - 1 2 . Acesta este un punct staționar care se află în intervalele (- 3 ; 1 ] și (- 3 ; 2) .
Să calculăm valoarea funcției la x = - 4 pentru intervalul (- ∞ ; - 4 ] , precum și limita la minus infinit:
y (- 4) \u003d 3 e 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 \u003d 3 e 1 6 - 4 ≈ - 0. 456 lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 = 3 e 0 - 4 = - 1
Deoarece 3 e 1 6 - 4 > - 1 , atunci maxyx ∈ (- ∞ ; - 4 ] = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4 . Acest lucru nu ne permite să determinăm în mod unic cea mai mică valoare a funcției. Putem doar concluziona că există o limită sub - 1, deoarece funcția se apropie asimptotic de această valoare la minus infinit.
O caracteristică a celui de-al doilea interval este că nu are un singur punct staționar și nici o singură limită strictă. Prin urmare, nu putem calcula nici cea mai mare, nici cea mai mică valoare a funcției. Prin definirea limitei la minus infinit și deoarece argumentul tinde spre - 3 în partea stângă, obținem doar intervalul de valori:
lim x → - 3 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 - 0 3 e 1 (x + 3) (x - 3) - 4 = 3 e 1 (- 3 - 0 + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1
Aceasta înseamnă că valorile funcției vor fi localizate în intervalul - 1; +∞
Pentru a afla valoarea maximă a funcției în al treilea interval, determinăm valoarea acesteia în punctul staționar x = - 1 2 dacă x = 1 . De asemenea, trebuie să cunoaștem limita unilaterală pentru cazul în care argumentul tinde spre - 3 în partea dreaptă:
y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 y (1) = 3 e 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1 . 644 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (- 0) - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4
S-a dovedit că funcția va lua cea mai mare valoare în punctul staționar maxyx ∈ (3 ; 1 ] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4. În ceea ce privește cea mai mică valoare, nu o putem determina. Tot ce avem știi, este prezența unei limite inferioare la -4.
Pentru intervalul (- 3 ; 2), să luăm rezultatele calculului anterior și să calculăm încă o dată cu ce este egală limita unilaterală atunci când tindem spre 2 din partea stângă:
y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e - 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 lim x → 2 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 - 0 - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4
Prin urmare, m a x y x ∈ (- 3 ; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4 , iar cea mai mică valoare nu poate fi determinată, iar valorile funcției sunt mărginite de jos de numărul - 4 .
Pe baza a ceea ce am făcut în cele două calcule anterioare, putem afirma că pe intervalul [ 1 ; 2) funcția va lua cea mai mare valoare la x = 1 și este imposibil să găsiți cea mai mică.
Pe intervalul (2 ; + ∞), funcția nu va atinge nici cea mai mare, nici cea mai mică valoare, adică. va lua valori din intervalul - 1; +∞ .
lim x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 + 0 + 3 ) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → + ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1
După ce am calculat cu ce va fi valoarea funcției la x = 4 , aflăm că m a x y x ∈ [ 4 ; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4 , iar funcția dată la plus infinit se va apropia asimptotic de dreapta y = - 1 .
Să comparăm ceea ce am obținut în fiecare calcul cu graficul funcției date. În figură, asimptotele sunt prezentate prin linii punctate.
Atât am vrut să vorbim despre găsirea celei mai mari și mai mici valori a unei funcții. Acele secvențe de acțiuni pe care le-am dat vă vor ajuta să faceți calculele necesare cât mai rapid și simplu posibil. Dar amintiți-vă că este adesea util să aflați mai întâi la ce intervale va scădea funcția și la ce intervale va crește, după care se pot trage concluzii suplimentare. Deci, puteți determina mai precis valoarea cea mai mare și cea mai mică a funcției și să justificați rezultatele.
Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter
Se încarcă...