Sorun bildirimi 2:

Belirli bir aralıkta tanımlı ve sürekli olan bir fonksiyon verildiğinde. Bu aralıkta fonksiyonun en büyük (en küçük) değerini bulmanız gerekiyor.

Teorik temeller.
Teorem (İkinci Weierstrass Teoremi):

Bir fonksiyon kapalı bir aralıkta tanımlı ve sürekli ise bu aralıkta maksimum ve minimum değerlerine ulaşır.

Fonksiyon en büyük ve en küçük değerlerine aralığın iç noktalarında veya sınırlarında ulaşabilir. Tüm olası seçenekleri gösterelim.

Açıklama:
1) Fonksiyon en büyük değerine aralığın sol sınırında noktasında, minimum değerine ise noktasında ulaşır. sağ kenarlık noktada boşluk.
2) Fonksiyon en büyük değerine noktada (bu maksimum noktadır), minimum değerine ise bu noktadaki aralığın sağ sınırında ulaşır.
3) Fonksiyon maksimum değerine aralığın sol sınırında noktasında, minimum değerine ise noktasında ulaşır (bu minimum noktadır).
4) Fonksiyon aralıkta sabittir, yani. aralığın herhangi bir noktasında minimum ve maksimum değerlerine ulaşır ve minimum ve maksimum değerler birbirine eşittir.
5) Fonksiyon maksimum değerine noktasında, minimum değerine ise noktasında ulaşır (fonksiyonun bu aralıkta hem maksimum hem de minimuma sahip olmasına rağmen).
6) Fonksiyon en büyük değerine bir noktada (bu maksimum noktadır), minimum değerine ise bir noktada (minimum noktadır) ulaşır.
Yorum:

“Maksimum” ve “maksimum değer” farklı şeylerdir. Bu, maksimumun tanımından ve "maksimum değer" ifadesinin sezgisel anlaşılmasından kaynaklanmaktadır.

Problem 2'yi çözmek için algoritma.

4) Elde edilen değerlerden en büyüğünü (en küçüğünü) seçin ve cevabı yazın.

Örnek 4:

Bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerini belirleme segmentte.
Çözüm:
1) Fonksiyonun türevini bulun.

2) Denklemi çözerek sabit noktaları (ve ekstremum olduğundan şüphelenilen noktaları) bulun. İki taraflı sonlu türevin olmadığı noktalara dikkat edin.

3) Fonksiyonun değerlerini durağan noktalarda ve aralığın sınırlarında hesaplayın.

4) Elde edilen değerlerden en büyüğünü (en küçüğünü) seçin ve cevabı yazın.

Bu parçadaki fonksiyon en büyük değerine koordinatların olduğu noktada ulaşır.

Bu segmentteki fonksiyon minimum değerine koordinatların olduğu noktada ulaşır.

İncelenen fonksiyonun grafiğine bakarak hesaplamaların doğruluğunu doğrulayabilirsiniz.

Yorum: Fonksiyon en büyük değerine maksimum noktada, minimum değerine ise parçanın sınırında ulaşır.

Özel bir durum.

Bir segmentteki bazı fonksiyonların maksimum ve minimum değerlerini bulmanız gerektiğini varsayalım. Algoritmanın ilk noktasını tamamladıktan sonra, yani. Türevi hesaplarken, örneğin, söz konusu aralığın tamamı boyunca yalnızca negatif değerler aldığı açıkça ortaya çıkıyor. Türev negatifse fonksiyonun azaldığını unutmayın. Fonksiyonun tüm segment boyunca azaldığını bulduk. Bu durum yazının başındaki 1 numaralı grafikte gösterilmektedir.

Fonksiyon segmentte azalır, yani. hiçbir ekstremum noktası yoktur. Resimden fonksiyonun en küçük değerini parçanın sağ sınırında alacağı açıktır ve en yüksek değer- soldaki. segmentteki türev her yerde pozitifse fonksiyon artar. En küçük değer segmentin sol kenarında, en büyüğü ise sağındadır.

Bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değeri

Bir fonksiyonun en büyük değeri, değerlerinin en büyüğü, en küçük değeri ise en küçüğüdür.

Bir fonksiyonun yalnızca bir en büyük ve yalnızca bir en küçük değeri olabilir ya da hiç değeri olmayabilir. Sürekli fonksiyonların en büyük ve en küçük değerlerinin bulunması, bu fonksiyonların aşağıdaki özelliklerine dayanmaktadır:

1) Belirli bir aralıkta (sonlu veya sonsuz) y=f(x) fonksiyonu sürekli ise ve yalnızca bir ekstremuma sahipse ve bu bir maksimum (minimum) ise, fonksiyonun en büyük (en küçük) değeri olacaktır. bu aralıkta.

2) Eğer f(x) fonksiyonu belirli bir aralıkta sürekli ise, bu durumda zorunlu olarak en büyük ve en büyük değere sahiptir. en küçük değer. Bu değerlere ya segmentin içinde yer alan ekstremum noktalarda ya da bu segmentin sınırlarında ulaşılır.

Bir segmentteki en büyük ve en küçük değerleri bulmak için aşağıdaki şemanın kullanılması önerilir:

1. Türevi bulun.

2. Fonksiyonun =0 veya bulunmayan kritik noktalarını bulun.

3. Fonksiyonun kritik noktalardaki ve segmentin uçlarındaki değerlerini bulun ve bunlardan en büyük f max ve en küçük f max'ı seçin.

Uygulamalı problemleri, özellikle de optimizasyon problemlerini çözerken, X aralığında bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini (global maksimum ve global minimum) bulma problemleri önemlidir. , bağımsız bir değişken seçin ve incelenen değeri bu değişken aracılığıyla ifade edin. Daha sonra elde edilen fonksiyonun istenen en büyük veya en küçük değerini bulun. Bu durumda sonlu veya sonsuz olabilen bağımsız değişkenin değişim aralığı da problemin koşullarından belirlenir.

Örnek.Üstü açık dikdörtgen paralel yüzlü, tabanı kare şeklinde olan tankın içi kalay ile kalaylanmalıdır. Kapasitesi 108 litre ise tankın boyutları ne olmalıdır? kalaylama maliyeti minimum olacak şekilde su?

Çözüm. Belirli bir kapasite için yüzey alanı minimum düzeydeyse, bir tankı kalayla kaplamanın maliyeti minimum düzeyde olacaktır. Tabanın kenarını a dm ile, tankın yüksekliğini b dm ile gösterelim. O zaman yüzeyinin alanı S eşittir

Ortaya çıkan ilişki, rezervuar S'nin yüzey alanı (fonksiyon) ile taban a tarafı (argüman) arasındaki ilişkiyi kurar. Bir ekstremum için S fonksiyonunu inceleyelim. Birinci türevi bulalım, sıfıra eşitleyelim ve elde edilen denklemi çözelim:

Dolayısıyla a = 6. a > 6 için (a) > 0, (a)< 0 при а < 6. Следовательно, при а = 6 функция S имеет минимум. Если а = 6, то b = 3. Таким образом, затраты на лужение резервуара емкостью 108 литров будут наименьшими, если он имеет размеры 6дм х 6дм х 3дм.

Örnek. Bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulma aralıkta.

Çözüm: Verilen fonksiyon sayı doğrusu boyunca süreklidir. Bir fonksiyonun türevi

için ve için türev. Bu noktalardaki fonksiyon değerlerini hesaplayalım:

Verilen aralığın uçlarındaki fonksiyonun değerleri eşittir. Dolayısıyla fonksiyonun en büyük değeri at'a, en küçük değeri ise at'ye eşittir.

Kendi kendine test soruları

1. Formdaki belirsizlikleri ortaya çıkarmak için L'Hopital kuralını formüle edin. Liste çeşitli türler L'Hopital kuralının kullanılabileceği belirsizlikler.

2. Artan ve azalan fonksiyonun işaretlerini formüle edin.

3. Bir fonksiyonun maksimum ve minimumunu tanımlayın.

4. Formüle edin gerekli koşul bir ekstremun varlığı.

5. Argümanın hangi değerlerine (hangi noktalara) kritik denir? Bu noktalar nasıl bulunur?

6. Bir fonksiyonun ekstremumunun varlığının yeterli işaretleri nelerdir? Birinci türevi kullanarak bir fonksiyonu ekstremumda incelemek için bir şemanın ana hatlarını çizin.

7. İkinci türevi kullanarak ekstremumdaki bir fonksiyonu incelemek için bir şemanın ana hatlarını çizin.

8. Bir eğrinin dışbükeyliğini ve içbükeyliğini tanımlayın.

9. Bir fonksiyonun grafiğinin dönüm noktasına ne denir? Bu noktaları bulmak için bir yöntem belirtin.

10. Belirli bir parça üzerinde bir eğrinin dışbükeylik ve içbükeyliğinin gerekli ve yeterli işaretlerini formüle edin.

11. Bir eğrinin asimptotunu tanımlayın. Bir fonksiyonun grafiğinin dikey, yatay ve eğik asimptotları nasıl bulunur?

12. Bir fonksiyonu incelemek ve grafiğini oluşturmak için genel şemayı ana hatlarıyla belirtin.

13. Belirli bir aralıkta bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulmak için bir kural oluşturun.

Fonksiyona izin ver y =F(X) aralıkta süreklidir [ a, b] Bilindiği üzere böyle bir fonksiyon maksimum ve minimum değerlerine bu segmentte ulaşmaktadır. Fonksiyon bu değerleri de alabilir iç nokta bölüm [ a, b] veya segmentin sınırında.

Bir fonksiyonun segment üzerindeki en büyük ve en küçük değerlerini bulmak için [ a, b] gerekli:

1) fonksiyonun kritik noktalarını ( a, b);

2) bulunan kritik noktalarda fonksiyonun değerlerini hesaplayın;

3) segmentin uçlarındaki fonksiyonun değerlerini hesaplayın, yani X=A ve x = B;

4) fonksiyonun hesaplanan tüm değerlerinden en büyüğünü ve en küçüğünü seçin.

Örnek. Bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulma

segmentte.

Kritik noktaları bulma:

Bu noktalar segmentin içinde yer alır; sen(1) = ‒ 3; sen(2) = ‒ 4; sen(0) = ‒ 8; sen(3) = 1;

bu noktada X= 3 ve bu noktada X= 0.

Dışbükeylik ve bükülme noktası için bir fonksiyonun incelenmesi.

İşlev sen = F (X) isminde dışbükey arada (A, B) grafiği bu aralığın herhangi bir noktasında çizilen teğetin altında bulunuyorsa ve denir aşağı dışbükey (içbükey), eğer grafiği teğetin üzerinde yer alıyorsa.

Dışbükeyliğin yerini içbükeyliğin aldığı veya bunun tersinin gerçekleştiği noktaya ne ad verilir? dönüm noktası.

Dışbükeylik ve bükülme noktasını incelemek için algoritma:

1. İkinci türden kritik noktaları, yani ikinci türevin sıfıra eşit olduğu veya bulunmadığı noktaları bulun.

2. Sayı doğrusu üzerinde kritik noktaları aralıklara bölerek çizin. Her aralığın ikinci türevinin işaretini bulun; eğer ise fonksiyon yukarıya doğru dışbükeydir, eğer ise fonksiyon aşağıya doğru dışbükeydir.

3. İkinci türden bir kritik noktadan geçerken işaret değişirse ve bu noktada ikinci türev sıfıra eşitse, bu nokta bükülme noktasının apsisidir. Ordinatını bulun.

Bir fonksiyonun grafiğinin asimptotları. Asimptotlar için bir fonksiyonun incelenmesi.

Tanım. Bir fonksiyonun grafiğinin asimptotuna denir dümdüz, grafikteki herhangi bir noktadan bu çizgiye olan mesafenin, grafikteki nokta başlangıç noktasından süresiz olarak hareket ettikçe sıfıra doğru gitmesi özelliğine sahiptir.

Üç tür asimptot vardır: dikey, yatay ve eğimli.

Tanım. Düz çizgiye denir dikey asimptot fonksiyon grafikleri y = f(x) fonksiyonun bu noktadaki tek taraflı limitlerinden en az biri sonsuza eşitse, yani

fonksiyonun süreksizlik noktası nerede yani tanım alanına ait değil.

Örnek.

D ( sen) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

X= 2 – kırılma noktası.

Tanım. Dümdüz y =A isminde yatay asimptot fonksiyon grafikleri y = f(x) eğer

Örnek.

X
sen

Tanım. Dümdüz y =kx +B (k≠ 0) denir eğik asimptot fonksiyon grafikleri y = f(x) nerede

Fonksiyonları incelemek ve grafik oluşturmak için genel şema.

Fonksiyon Araştırma Algoritmasıy = f(x) :

1. Fonksiyonun tanım kümesini bulun D (sen).

2. Grafiğin koordinat eksenleriyle kesişme noktalarını bulun (eğer mümkünse) X= 0 ve sen = 0).

3. Fonksiyonun düzgünlüğünü ve tekliğini inceleyin ( sen (‒ X) = sen (X) ‒ parite; sen(‒ X) = ‒ sen (X) ‒ garip).

4. Fonksiyonun grafiğinin asimptotlarını bulun.

5. Fonksiyonun monotonluk aralıklarını bulun.

6. Fonksiyonun ekstremumlarını bulun.

7. Fonksiyon grafiğinin dışbükeylik (içbükeylik) aralıklarını ve dönüm noktalarını bulun.

8. Yapılan araştırmaya dayanarak fonksiyonun grafiğini oluşturunuz.

Örnek. Fonksiyonu keşfedin ve grafiğini oluşturun.

1) D (sen) =

X= 4 – kırılma noktası.

2) Ne zaman X = 0,

(0; ‒ 5) – ile kesişme noktası ah.

Şu tarihte: sen = 0,

3) sen(‒ X)= işlev genel görünüm(ne çift ne de tek).

4) Asimptotları inceliyoruz.

a) dikey

yatay

c) eğik asimptotları bulun;

‒eğik asimptot denklemi

5) Bu denklemde fonksiyonun monotonluk aralıklarını bulmak gerekli değildir.

Bu kritik noktalar, fonksiyonun tüm tanım alanını (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) ve (10; +∞) aralığına böler. Elde edilen sonuçları aşağıdaki tablo şeklinde sunmak uygundur.

Böyle bir matematiksel analiz nesnesinin fonksiyon olarak incelenmesi büyük önem taşımaktadır. Anlam ve diğer bilim alanlarında. Örneğin, ekonomik analizde davranışların değerlendirilmesine sürekli bir ihtiyaç vardır. işlevler kârı, yani onun en büyük değerini belirlemek Anlam ve bunu başarmak için bir strateji geliştirin.

Talimatlar

Herhangi bir davranışın incelenmesi her zaman tanım alanının araştırılmasıyla başlamalıdır. Genellikle belirli bir problemin koşullarına göre en büyük sorunun belirlenmesi gerekir. Anlam işlevler ya bu alanın tamamı boyunca ya da belirli bir aralığı boyunca açık veya kapalı sınırlarla.

Buna göre en büyüğü Anlam işlevler y(x0), burada tanım alanındaki herhangi bir nokta için y(x0) ≥ y(x) (x ≠ x0) eşitsizliği geçerlidir. Grafiksel olarak, argüman değerleri apsis ekseni boyunca ve fonksiyonun kendisi de ordinat ekseni boyunca yerleştirilirse bu nokta en yüksek olacaktır.

En büyüğünü belirlemek için Anlam işlevler, üç adımlı algoritmayı izleyin. Türevi hesaplamanın yanı sıra tek taraflı ve ile çalışabilmeniz gerektiğini lütfen unutmayın. O halde, bir y(x) fonksiyonu verilsin ve onun en büyüğünü bulmanız gerekir. Anlam A ve B sınır değerleri ile belirli bir aralıkta.

Bu aralığın tanımın kapsamında olup olmadığını öğrenin işlevler. Bunu yapmak için, olası tüm kısıtlamaları göz önünde bulundurarak onu bulmanız gerekir: ifadede kesir, karekök vb. varlığı. Tanım alanı, fonksiyonun anlamlı olduğu argüman değerleri kümesidir. Verilen aralığın onun bir alt kümesi olup olmadığını belirleyin. Cevabınız evet ise bir sonraki adıma geçin.

Türevi bulun işlevler ve türevi sıfıra eşitleyerek elde edilen denklemi çözün. Bu şekilde sözde durağan noktaların değerlerini alacaksınız. Bunlardan en az birinin A, B aralığına ait olup olmadığını değerlendirin.

Üçüncü aşamada bu noktaları göz önünde bulundurun ve değerlerini fonksiyonda yerine koyun. Aralık türüne bağlı olarak aşağıdaki ek adımları uygulayın. [A, B] biçiminde bir bölüm varsa, sınır noktaları aralığa dahil edilir; bu parantezlerle gösterilir. Değerleri Hesapla işlevler x = A ve x = B için. Aralık açıksa (A, B), sınır değerleri delinir, yani. buna dahil değildir. x→A ve x→B için tek taraflı limitleri çözün. Sınırlarından biri kendisine ait olan, diğeri olmayan, [A, B) veya (A, B) biçiminde birleştirilmiş aralık. x'in delinen değere yönelmesi nedeniyle tek taraflı limiti bulun ve diğerini yerine koyun. fonksiyon. Sonsuz iki taraflı aralık (-∞, +∞) veya tek taraflı sonsuz aralıklar şu şekildedir: , (-∞, B). Gerçek limitler A ve B için, daha önce açıklanan ilkelere göre ilerleyin ve için. sonsuz olanlar için sırasıyla x→-∞ ve x→+∞ limitlerini arayın.

Bu aşamada görev

Pratikte bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerini hesaplamak için türevi kullanmak oldukça yaygındır. Bu eylemi, maliyetleri nasıl en aza indireceğimizi, karı nasıl artıracağımızı, üretim üzerindeki optimum yükü nasıl hesaplayacağımızı vb. Anladığımızda, yani bir parametrenin optimum değerini belirlememiz gerektiğinde gerçekleştiririz. Bu tür problemleri doğru bir şekilde çözebilmek için bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerinin ne olduğunu iyi anlamanız gerekir.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Tipik olarak bu değerleri belirli bir x aralığı içinde tanımlarız; bu da fonksiyonun tüm alanına veya bir kısmına karşılık gelebilir. Bir segment [a; b ] ve açık aralık (a ; b), (a ; b ], [ a ; b), sonsuz aralık (a ; b), (a ; b ], [ a ; b) veya sonsuz aralık - ∞ ; bir , (- ∞ ; bir ] , [ bir ; + ∞) , (- ∞ ; + ∞) .

Bu materyalde size tek değişkenli y=f(x) y = f (x) ile açıkça tanımlanmış bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini nasıl hesaplayacağınızı anlatacağız.

Temel tanımlar

Her zaman olduğu gibi temel tanımların formülasyonuyla başlayalım.

Tanım 1

Belirli bir x aralığında y = f (x) fonksiyonunun en büyük değeri, m a x y = f (x 0) x ∈ X değeridir; bu, herhangi bir x x ∈ X değeri için, x ≠ x 0, f (x) eşitsizliğini yapar ≤ f(x) geçerli 0) .

Tanım 2

Belirli bir x aralığında y = f (x) fonksiyonunun en küçük değeri, m ben n x ∈ X y = f (x 0) değeridir; bu, herhangi bir x ∈ X değeri için x ≠ x 0, f(X f) eşitsizliğini yapar (x) ≥ f(x0) .

Bu tanımlar oldukça açıktır. Daha da basit olarak şunu söyleyebiliriz: Bir fonksiyonun en büyük değeri, onun abscissa x 0'da bilinen bir aralıktaki en büyük değeridir; en küçüğü ise aynı aralıkta x 0'da kabul edilen en küçük değerdir.

Tanım 3

Durağan noktalar, türevinin 0 olduğu bir fonksiyon argümanının değerleridir.

Durağan noktaların ne olduğunu neden bilmemiz gerekiyor? Bu soruyu cevaplamak için Fermat teoremini hatırlamamız gerekiyor. Bundan, durağan bir noktanın türevlenebilir fonksiyonun ekstremumunun (yani yerel minimum veya maksimum) bulunduğu nokta olduğu sonucu çıkar. Sonuç olarak, fonksiyon belirli bir aralıkta tam olarak durağan noktalardan birinde en küçük veya en büyük değeri alacaktır.

Bir fonksiyon, kendisinin tanımlandığı ve birinci türevinin bulunmadığı noktalarda da en büyük veya en küçük değeri alabilir.

Bu konuyu incelerken ortaya çıkan ilk soru: Her durumda, belirli bir aralıkta bir fonksiyonun en büyük veya en küçük değerini belirleyebilir miyiz? Hayır, belirli bir aralığın sınırları tanım alanının sınırlarıyla çakıştığında veya sonsuz bir aralıkla ilgileniyorsak bunu yapamayız. Belirli bir segmentteki veya sonsuzdaki bir fonksiyonun sonsuz küçük veya sonsuz büyük değerler alması da mümkündür. Bu durumlarda en büyük ve/veya en küçük değeri belirlemek mümkün değildir.

Bu noktalar grafiklerde gösterildikten sonra daha da netleşecektir:

İlk şekil bize [ - 6 ; 6].

İkinci grafikte belirtilen durumu detaylı olarak inceleyelim. Segmentin değerini [ 1 ; 6 ] ve fonksiyonun maksimum değerine apsisin aralığın sağ sınırında olduğu noktada, minimum değerinin ise durağan noktada elde edileceğini buluyoruz.

Üçüncü şekilde noktaların apsisleri doğru parçasının sınır noktalarını temsil etmektedir [-3; 2]. Belirli bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerine karşılık gelirler.

Şimdi dördüncü resme bakalım. Burada fonksiyon m a xy'yi (en büyük değer) ve mi n y'yi (en küçük değer) açık aralıktaki (- 6; 6) sabit noktalarda alır.

[ 1 ; 6), o zaman üzerinde fonksiyonun en küçük değerine durağan bir noktada ulaşılacağını söyleyebiliriz. En büyük değer bizim için bilinmiyor olacak. Eğer x = 6 aralığa aitse, fonksiyon maksimum değerini x'in 6'ya eşit olduğu noktada alabilir. Bu tam olarak grafik 5'te gösterilen durumdur.

Grafik 6'da bu fonksiyon en küçük değerini (-3; 2 ] aralığının sağ sınırında elde eder ve en büyük değer hakkında kesin çıkarımlara varamayız.

Şekil 7'de fonksiyonun apsisi 1'e eşit olan sabit bir noktada m a xy'ye sahip olacağını görüyoruz. Fonksiyon minimum değerine c aralığının sınırında ulaşacaktır. sağ taraf. Eksi sonsuzda fonksiyon değerleri asimptotik olarak y = 3'e yaklaşacaktır.

x ∈ 2 aralığını alırsak; + ∞ ise verilen fonksiyonun ne en küçük ne de en büyük değeri almayacağını göreceğiz. Eğer x 2'ye yöneliyorsa, o zaman fonksiyonun değerleri eksi sonsuza yönelecektir, çünkü x = 2 düz çizgisi dikey bir asimptottur. Eğer apsis artı sonsuza eğilim gösteriyorsa, o zaman fonksiyon değerleri asimptotik olarak y = 3'e yaklaşacaktır. Bu tam olarak Şekil 8'de gösterilen durumdur.

Bu paragrafta, belirli bir segmentteki bir fonksiyonun en büyük veya en küçük değerini bulmak için yapılması gereken eylemlerin sırasını sunacağız.

Öncelikle fonksiyonun tanım tanım kümesini bulalım. Koşulda belirtilen segmentin koşula dahil olup olmadığını kontrol edelim.
Şimdi bu parçada yer alan ve birinci türevin bulunmadığı noktaları hesaplayalım. Çoğu zaman argümanları modül işareti altında yazılan fonksiyonlarda veya güç fonksiyonlarıüssü kesirli rasyonel bir sayıdır.
Daha sonra verilen segmentte hangi sabit noktaların düşeceğini öğreneceğiz. Bunu yapmak için, fonksiyonun türevini hesaplamanız, ardından onu 0'a eşitlemeniz ve elde edilen denklemi çözmeniz ve ardından uygun kökleri seçmeniz gerekir. Tek bir durağan nokta bulamazsak veya verilen segmente girmiyorsa bir sonraki adıma geçiyoruz.
Verilen durağan noktalarda (varsa) veya birinci türevin bulunmadığı noktalarda (varsa) fonksiyonun hangi değerleri alacağını belirleriz veya x = a ve değerlerini hesaplarız. x = b.
5. Artık en büyüğünü ve en küçüğünü seçmemiz gereken bir dizi fonksiyon değerimiz var. Bunlar bulmamız gereken fonksiyonun en büyük ve en küçük değerleri olacak.

Sorunları çözerken bu algoritmanın nasıl doğru şekilde uygulanacağını görelim.

Örnek 1

Durum: y = x 3 + 4 x 2 fonksiyonu verilmiştir. Segmentlerdeki en büyük ve en küçük değerlerini belirleyin [ 1 ; 4 ] ve [ - 4 ; -1] .

Çözüm:

Belirli bir fonksiyonun tanım tanım kümesini bularak başlayalım. Bu durumda 0 dışındaki tüm reel sayılar kümesi olacaktır. Başka bir deyişle, D(y) : x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ 0 ; + ∞ . Koşulda belirtilen her iki segment de tanım alanının içinde olacaktır.

Şimdi fonksiyonun türevini kesir türevi kuralına göre hesaplıyoruz:

y " = x 3 + 4 x 2 " = x 3 + 4 " x 2 - x 3 + 4 x 2 " x 4 = = 3 x 2 x 2 - (x 3 - 4) 2 x x 4 = x 3 - 8 x 3

Bir fonksiyonun türevinin doğru parçalarının her noktasında bulunacağını öğrendik [ 1 ; 4 ] ve [ - 4 ; -1] .

Şimdi fonksiyonun durağan noktalarını belirlememiz gerekiyor. Bunu x 3 - 8 x 3 = 0 denklemini kullanarak yapalım. Tek bir gerçek kökü vardır, o da 2'dir. Fonksiyonun durağan bir noktası olacak ve ilk segmente düşecektir [1; 4].

Birinci parçanın uçlarındaki ve bu noktada fonksiyonun değerlerini hesaplayalım; x = 1, x = 2 ve x = 4 için:

y (1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y (2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y (4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4

m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3, x = 1'de elde edilecektir ve en küçük m ben n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 – x = 2'de.

İkinci bölüm tek bir durağan nokta içermediğinden, yalnızca verilen bölümün uçlarındaki fonksiyon değerlerini hesaplamamız gerekir:

y (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3

Bunun anlamı m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m ben n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Cevap: Segment için [ 1 ; 4 ] - m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , m ben n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , [ - 4 ; - 1 ] - m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m ben n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Resme bakınız:

Bu yöntemi incelemeden önce, tek taraflı limiti ve sonsuzdaki limiti nasıl doğru bir şekilde hesaplayacağınızı gözden geçirmenizi ve bunları bulmanın temel yöntemlerini öğrenmenizi tavsiye ederiz. Açık veya sonsuz bir aralıkta bir fonksiyonun en büyük ve/veya en küçük değerini bulmak için aşağıdaki adımları sırayla uygulayın.

Öncelikle verilen aralığın verilen fonksiyonun tanım kümesinin bir alt kümesi olup olmayacağını kontrol etmeniz gerekir.
İstenilen aralıkta yer alan ve birinci türevin bulunmadığı tüm noktaları belirleyelim. Genellikle argümanın modül işareti içine alındığı fonksiyonlarda ve kesirli rasyonel üssü olan kuvvet fonksiyonlarında ortaya çıkarlar. Bu noktalar eksikse bir sonraki adıma geçebilirsiniz.
Şimdi hangi durağan noktaların verilen aralığa düşeceğini belirleyelim. Öncelikle türevi 0'a eşitliyoruz, denklemi çözüyoruz ve uygun kökleri seçiyoruz. Tek bir durağan noktamız yoksa veya verilen aralığa girmiyorlarsa hemen gideriz. diğer eylemler. Aralık türüne göre belirlenirler.

Aralık [ a ; b) ise fonksiyonun x = a noktasındaki değerini ve tek taraflı limiti lim x → b - 0 f(x)'i hesaplamamız gerekir.
Aralık (a; b ] biçimindeyse, o zaman fonksiyonun değerini x = b noktasında ve tek taraflı limit lim x → a + 0 f(x)'de hesaplamamız gerekir.
Aralık (a; b) biçimindeyse, tek taraflı limitleri lim x → b - 0 f (x), lim x → a + 0 f (x) hesaplamamız gerekir.
Aralık [ a ; + ∞), o zaman x = a noktasındaki değeri ve artı sonsuz lim x → + ∞ f(x) noktasındaki limiti hesaplamamız gerekir.
Aralık (- ∞ ; b ] gibi görünüyorsa, x = b noktasındaki değeri ve eksi sonsuzdaki limiti lim x → - ∞ f(x) hesaplarız.
Eğer - ∞ ise; b ise tek taraflı limiti lim x → b - 0 f(x) ve eksi sonsuzdaki limiti lim x → - ∞ f(x) dikkate alırız
Eğer - ∞ ise; + ∞ , sonra eksi ve artı sonsuzun limitlerini dikkate alırız lim x → + ∞ f (x) , lim x → - ∞ f (x).

Sonunda elde edilen fonksiyon değerlerine ve limitlere dayanarak bir sonuç çıkarmanız gerekiyor. Burada birçok seçenek mevcut. Dolayısıyla, tek taraflı limit eksi sonsuza veya artı sonsuza eşitse, fonksiyonun en küçük ve en büyük değerleri hakkında hiçbir şey söylenemeyeceği hemen anlaşılır. Aşağıda tipik bir örneğe bakacağız. Detaylı Açıklamalar neyin ne olduğunu anlamanıza yardımcı olacaktır. Gerekirse malzemenin ilk kısmındaki Şekil 4 - 8'e dönebilirsiniz.

Örnek 2

Koşul: verilen fonksiyon y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 . - ∞ ; aralıklarındaki en büyük ve en küçük değerini hesaplayın; - 4, - ∞; - 3 , (- 3 ; 1 ] , (- 3 ; 2) , [ 1 ; 2) , 2 ; + ∞ , [ 4 ; + ∞) .

Çözüm

Öncelikle fonksiyonun tanım tanım kümesini buluyoruz. Kesirin paydası, 0'a dönmemesi gereken ikinci dereceden bir üç terimli sayı içerir:

x 2 + x - 6 = 0 D = 1 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 ⇒ D (y) : x ∈ (- ∞ ; - 3) ∪ (- 3 ; 2) ∪ (2 ; + ∞)

Koşulda belirtilen tüm aralıkların ait olduğu fonksiyonun tanım tanım kümesini elde ettik.

Şimdi fonksiyonun türevini alalım ve şunu elde edelim:

y" = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 1 x 2 + x - 6 " = = 3 · e 1 x 2 + x - 6 · 1 " · x 2 + x - 6 - 1 · x 2 + x - 6 " (x 2 + x - 6) 2 = - 3 · (2 x + 1) · e 1 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6 2

Sonuç olarak, bir fonksiyonun türevleri tüm tanım alanı boyunca mevcuttur.

Durağan noktaları bulmaya geçelim. Fonksiyonun türevi x = - 1 2'de 0 olur. Bu (- 3 ; 1 ] ve (- 3 ; 2) aralıklarında yer alan durağan bir noktadır.

Fonksiyonun (- ∞ ; - 4 ] aralığı için x = - 4'teki değerini ve eksi sonsuzdaki limitini hesaplayalım:

y (- 4) = 3 e 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 = 3 e 1 6 - 4 ≈ - 0 . 456 lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 = 3 e 0 - 4 = - 1

3 e 1 6 - 4 > - 1 olduğundan, m a x y x ∈ (- ∞ ; - 4 ] = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4 olduğu anlamına gelir. Bu, denklemin en küçük değerini benzersiz bir şekilde belirlememize izin vermez. Fonksiyonun eksi sonsuzda asimptotik olarak yaklaştığı nokta bu değer olduğundan, yalnızca -1'in altında bir kısıtlama olduğu sonucuna varabiliriz.

İkinci aralığın özelliği, içinde tek bir durağan noktanın veya tek bir kesin sınırın bulunmamasıdır. Sonuç olarak fonksiyonun ne en büyük değerini ne de en küçük değerini hesaplayamayız. Limiti eksi sonsuzda tanımladıktan sonra ve argüman sol tarafta -3'e doğru gittiğinden, yalnızca bir değer aralığı elde ederiz:

lim x → - 3 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 - 0 3 e 1 (x + 3) (x - 3) - 4 = 3 e 1 (- 3 - 0 + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

Bu, fonksiyon değerlerinin - 1 aralığına yerleştirileceği anlamına gelir; +∞

Fonksiyonun üçüncü aralıktaki en büyük değerini bulmak için, eğer x = 1 ise, x = - 1 2 sabit noktasındaki değerini belirleriz. Ayrıca argümanın sağ tarafta -3'e doğru yöneldiği durum için tek taraflı limiti de bilmemiz gerekecek:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 y(1) = 3 e 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1 . 644 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (- 0) - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

Fonksiyonun en büyük değeri m a x y x ∈ (3; 1 ] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4 noktasında alacağı ortaya çıktı. En küçük değeri ise belirleyemeyiz. Bildiğimiz her şey -4'e kadar bir alt sınırın varlığıdır.

(- 3 ; 2) aralığı için, önceki hesaplamanın sonuçlarını alın ve sol tarafta 2'ye yönelirken tek taraflı limitin neye eşit olduğunu bir kez daha hesaplayın:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e - 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 lim x → 2 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 - 0 - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 · 0 - 4 = - 4

Bu, m a x y x ∈ (- 3 ; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4 olduğu ve en küçük değerin belirlenemediği ve fonksiyonun değerlerinin aşağıdan - 4 sayısı ile sınırlandırıldığı anlamına gelir. .

Önceki iki hesaplamada elde ettiğimiz sonuçlara dayanarak şunu söyleyebiliriz: [ 1 ; 2) Fonksiyon x = 1 noktasında en büyük değeri alacaktır ancak en küçüğünü bulmak imkansızdır.

(2 ; + ∞) aralığında fonksiyon ne en büyük ne de en küçük değere ulaşmayacaktır; - 1 aralığından değerler alacaktır; + ∞ .

lim x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 + 0 + 3 ) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → + ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

Fonksiyonun değerinin x = 4'te neye eşit olacağını hesapladıktan sonra m a x y x ∈ [ 4 ; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4 ve artı sonsuzda verilen fonksiyon y = - 1 düz çizgisine asimptotik olarak yaklaşacaktır.

Her hesaplamada elde ettiğimiz sonuçları verilen fonksiyonun grafiğiyle karşılaştıralım. Şekilde asimptotlar noktalı çizgilerle gösterilmiştir.

Bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulma konusunda size anlatmak istediklerimiz bu kadardı. Verdiğimiz eylem dizileri, gerekli hesaplamaları olabildiğince hızlı ve basit bir şekilde yapmanıza yardımcı olacaktır. Ancak, öncelikle fonksiyonun hangi aralıklarla azalacağını ve hangi aralıklarla artacağını bulmanın genellikle yararlı olduğunu, ardından daha fazla sonuç çıkarabileceğinizi unutmayın. Bu şekilde fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini daha doğru bir şekilde belirleyebilir ve elde edilen sonuçları doğrulayabilirsiniz.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.