İki bilinmeyenli doğrusal denklem sistemi, tüm ortak çözümlerinin bulunması gereken iki veya daha fazla doğrusal denklemdir. İki bilinmeyenli iki doğrusal denklem sistemini ele alacağız. İki bilinmeyenli iki doğrusal denklem sisteminin genel görünümü aşağıdaki şekilde gösterilmektedir:
( a1*x + b1*y = c1,
( a2*x + b2*y = c2
Burada x ve y bilinmeyen değişkenlerdir, a1, a2, b1, b2, c1, c2 bazı reel sayılardır. İki bilinmeyenli iki doğrusal denklem sisteminin çözümü bir (x,y) sayı çiftidir; öyle ki, bu sayıları sistemin denklemlerinde yerine koyarsak, sistemin denklemlerinin her biri gerçek bir eşitliğe dönüşür. Bir doğrusal denklem sistemini çözmenin birkaç yolu vardır. Bir doğrusal denklem sistemini çözmenin yollarından birini, yani toplama yöntemini ele alalım.
Toplama yöntemiyle çözme algoritması
İki bilinmeyenli bir doğrusal denklem sistemini toplama yöntemini kullanarak çözmek için bir algoritma.
1. Gerekirse, her iki denklemdeki bilinmeyen değişkenlerden birinin katsayılarını eşitlemek için eşdeğer dönüşümler kullanın.
2. Ortaya çıkan denklemleri toplayarak veya çıkararak, bir bilinmeyenli doğrusal bir denklem elde edin
3. Ortaya çıkan denklemi bir bilinmeyenle çözün ve değişkenlerden birini bulun.
4. Ortaya çıkan ifadeyi sistemin iki denkleminden herhangi birinde yerine koyun ve bu denklemi çözerek ikinci değişkeni elde edin.
5. Çözümü kontrol edin.
Toplama yöntemini kullanan bir çözüm örneği
Daha fazla netlik sağlamak için, aşağıdaki iki bilinmeyenli doğrusal denklem sistemini toplama yöntemini kullanarak çözelim:
(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;
Değişkenlerin hiçbirinin katsayıları aynı olmadığından y değişkeninin katsayılarını eşitliyoruz. Bunu yapmak için ilk denklemi üçle, ikinci denklemi ikiyle çarpın.
(3*x+2*y=10 |*3
(5*x + 3*y = 12 |*2
Aldık aşağıdaki denklem sistemi:
(9*x+6*y = 30;
(10*x+6*y=24;
Şimdi ikinci denklemden birinciyi çıkarıyoruz. Benzer terimleri sunuyoruz ve ortaya çıkan doğrusal denklemi çözüyoruz.
10*x+6*y - (9*x+6*y) = 24-30; x=-6;
Ortaya çıkan değeri orijinal sistemimizdeki ilk denklemde yerine koyarız ve elde edilen denklemi çözeriz.
(3*(-6) + 2*y =10;
(2*y=28; y =14;
Sonuç x=6 ve y=14 sayılarından oluşan bir çifttir. Kontrol ediyoruz. Bir değişiklik yapalım.
(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;
{3*(-6) + 2*(14) = 10;
{5*(-6) + 3*(14) = 12;
{10 = 10;
{12=12;
Gördüğünüz gibi iki doğru eşitliğimiz var, dolayısıyla doğru çözümü bulduk.
Gizliliğinizin korunması bizim için önemlidir. Bu nedenle bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik uygulamalarımızı inceleyin ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.
Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması
Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.
Bizimle iletişime geçtiğinizde istediğiniz zaman kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.
Aşağıda toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.
Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:
- Siteye bir başvuru gönderdiğinizde adınız, telefon numaranız, e-posta adresiniz vb. dahil olmak üzere çeşitli bilgiler toplayabiliriz.
Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:
- Topladığımız kişisel bilgiler, benzersiz teklifler, promosyonlar, diğer etkinlikler ve gelecek etkinlikler konusunda sizinle iletişim kurmamıza olanak tanır.
- Zaman zaman kişisel bilgilerinizi önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kullanabiliriz.
- Kişisel bilgileri, sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili tavsiyeler sunmak amacıyla denetimler, veri analizi ve çeşitli araştırmalar yapmak gibi şirket içi amaçlarla da kullanabiliriz.
- Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir promosyona katılırsanız, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.
Bilgilerin üçüncü şahıslara açıklanması
Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara açıklamıyoruz.
İstisnalar:
- Gerekirse - yasaya, adli prosedüre uygun olarak, yasal işlemlerde ve/veya kamunun talepleri veya Rusya Federasyonu'ndaki devlet kurumlarının talepleri temelinde - kişisel bilgilerinizi ifşa etmek. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu önemi amaçları açısından gerekli veya uygun olduğunu tespit edersek, hakkınızdaki bilgileri de açıklayabiliriz.
- Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda topladığımız kişisel bilgileri ilgili halef üçüncü tarafa aktarabiliriz.
Kişisel bilgilerin korunması
Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişime, ifşa edilmeye, değiştirilmeye ve imhaya karşı korumak için idari, teknik ve fiziksel önlemler alıyoruz.
Şirket düzeyinde gizliliğinize saygı duymak
Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için gizlilik ve güvenlik standartlarını çalışanlarımıza aktarıyor ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.
Bu videoyla denklem sistemlerine adanmış bir dizi derse başlıyorum. Bugün doğrusal denklem sistemlerinin çözümü hakkında konuşacağız ekleme yöntemi- bu en çok görülenlerden biri basit yollar ama aynı zamanda en etkili olanlardan biri.
Ekleme yöntemi üç basit adımdan oluşur:
- Sisteme bakın ve her denklemde aynı (veya zıt) katsayılara sahip bir değişken seçin;
- Denklemlerin cebirsel olarak çıkarılmasını (zıt sayılar için - toplama) gerçekleştirin ve ardından benzer terimleri getirin;
- İkinci adımdan sonra elde edilen yeni denklemi çözün.
Her şey doğru yapılırsa çıktıda tek bir denklem elde edeceğiz tek değişkenli- bunu çözmek zor olmayacak. Daha sonra geriye kalan tek şey, bulunan kökü orijinal sisteme yerleştirmek ve nihai cevabı almaktır.
Ancak pratikte her şey o kadar basit değil. Bunun birkaç nedeni var:
- Toplama yöntemini kullanarak denklemleri çözmek, tüm satırların eşit/karşıt katsayılara sahip değişkenler içermesi gerektiği anlamına gelir. Bu gereksinim karşılanmazsa ne yapmalı?
- Her zaman değil, denklemleri belirtilen şekilde toplayıp/çıkardıktan sonra kolayca çözülebilecek güzel bir yapı elde ederiz. Hesaplamaları bir şekilde basitleştirmek ve hesaplamaları hızlandırmak mümkün mü?
Bu soruların cevabını bulmak ve aynı zamanda birçok öğrencinin başarısız olduğu birkaç ek inceliği anlamak için video dersimi izleyin:
Bu dersle denklem sistemlerine ayrılmış bir dizi derse başlıyoruz. Ve bunların en basitinden, yani iki denklem ve iki değişken içerenlerden başlayacağız. Her biri doğrusal olacaktır.
Sistemler 7. sınıf materyalidir ancak bu ders aynı zamanda bu konudaki bilgilerini tazelemek isteyen lise öğrencileri için de faydalı olacaktır.
Bu tür sistemlerin çözümü için genel olarak iki yöntem vardır:
- Ekleme yöntemi;
- Bir değişkeni diğerine göre ifade etme yöntemi.
Bugün ilk yöntemle ilgileneceğiz - çıkarma ve toplama yöntemini kullanacağız. Ancak bunu yapmak için şu gerçeği anlamanız gerekir: İki veya daha fazla denkleminiz olduğunda bunlardan herhangi ikisini alıp birbirine ekleyebilirsiniz. Üye üye eklenirler, yani. “X”lere “X”ler eklenir ve benzerleri verilir, “Y” ile “Y” yine benzer olur ve eşittir işaretinin sağındakiler de birbirine eklenir ve orada da benzerleri verilir. .
Bu tür entrikaların sonuçları, eğer kökleri varsa, kesinlikle orijinal denklemin kökleri arasında yer alacak yeni bir denklem olacaktır. Bu nedenle bizim görevimiz, çıkarma veya toplama işlemini $x$ veya $y$ kaybolacak şekilde yapmaktır.
Bunu nasıl başaracağız ve bunun için hangi aracı kullanacağız - şimdi bunun hakkında konuşacağız.
Toplama yöntemini kullanarak kolay problemleri çözme
Böylece iki basit ifade örneğini kullanarak toplama yöntemini kullanmayı öğreniyoruz.
Görev No.1
\[\left\( \begin(align)& 5x-4y=22 \\& 7x+4y=2 \\\end(align) \right.\]
$y$'ın ilk denklemde $-4$, ikinci denklemde ise $+4$ katsayısına sahip olduğunu unutmayın. Birbirlerine zıttırlar, bu yüzden onları toplarsak sonuçta ortaya çıkan "oyunların" karşılıklı olarak yok edileceğini varsaymak mantıklıdır. Bunu ekleyin ve şunu elde edin:
En basit yapıyı çözelim:
Harika, "x"i bulduk. Şimdi bununla ne yapmalıyız? Bunu denklemlerden herhangi birinin yerine koyma hakkımız var. İlkinde yerine koyalım:
\[-4y=12\sol| :\sol(-4 \sağ) \sağ.\]
Cevap: $\left(2;-3 \right)$.
Sorun No. 2
\[\left\( \begin(align)& -6x+y=21 \\& 6x-11y=-51 \\\end(align) \right.\]
Buradaki durum tamamen benzer, sadece “X'ler” için. Bunları toplayalım:
En basit doğrusal denklemimiz var, hadi çözelim:
Şimdi $x$'ı bulalım:
Cevap: $\left(-3;3 \right)$.
Önemli noktalar
Toplama yöntemini kullanarak iki basit doğrusal denklem sistemini çözdük. Tekrar önemli noktalar:
- Değişkenlerden birinin zıt katsayıları varsa denklemdeki tüm değişkenlerin toplanması gerekir. Bu durumda bunlardan biri yok edilecektir.
- İkincisini bulmak için bulunan değişkeni sistem denklemlerinden herhangi birinin yerine koyarız.
- Nihai yanıt kaydı farklı şekillerde sunulabilir. Örneğin, bunun gibi - $x=...,y=...$ veya noktaların koordinatları biçiminde - $\left(...;... \right)$. İkinci seçenek tercih edilir. Hatırlanması gereken en önemli şey, ilk koordinatın $x$ ve ikincisinin $y$ olmasıdır.
- Cevabı nokta koordinatları şeklinde yazma kuralı her zaman geçerli değildir. Örneğin, değişkenler $x$ ve $y$ değil, örneğin $a$ ve $b$ olduğunda kullanılamaz.
Aşağıdaki problemlerde katsayılar zıt olmadığında çıkarma tekniğini ele alacağız.
Çıkarma yöntemini kullanarak kolay problemleri çözme
Görev No.1
\[\left\( \begin(align)& 10x-3y=5 \\& -6x-3y=-27 \\\end(align) \right.\]
Burada zıt katsayıların olmadığını, ancak aynı katsayıların olduğunu unutmayın. Bu nedenle ikinciyi birinci denklemden çıkarıyoruz:
Şimdi $x$ değerini sistem denklemlerinden herhangi birinin yerine koyarız. İlk önce gidelim:
Cevap: $\left(2;5\right)$.
Sorun No. 2
\[\left\( \begin(align)& 5x+4y=-22 \\& 5x-2y=-4 \\\end(align) \right.\]
Birinci ve ikinci denklemde yine $x$ için aynı $5$ katsayısını görüyoruz. Bu nedenle ikinciyi ilk denklemden çıkarmanız gerektiğini varsaymak mantıklıdır:
Bir değişkeni hesapladık. Şimdi ikinci yapıyı $y$ değerini değiştirerek bulalım:
Cevap: $\left(-3;-2 \right)$.
Çözümün nüansları
Peki ne görüyoruz? Esasen, şema önceki sistemlerin çözümünden farklı değildir. Tek fark, denklemleri toplamamamız, çıkarmamızdır. Cebirsel çıkarma işlemi yapıyoruz.
Yani iki bilinmeyenli iki denklemden oluşan bir sistem gördüğünüzde ilk bakmanız gereken şey katsayılardır. Her yerde aynı ise denklemler çıkarılır, zıt ise toplama yöntemi kullanılır. Bu her zaman bunlardan birinin ortadan kalkması için yapılır ve çıkarmadan sonra kalan son denklemde yalnızca bir değişken kalır.
Tabii ki hepsi bu değil. Şimdi denklemlerin genel olarak tutarsız olduğu sistemleri ele alacağız. Onlar. İçlerinde aynı veya zıt olan hiçbir değişken yoktur. Bu durumda bu tür sistemleri çözmek için şunu kullanırız: ek doz yani her denklemin özel bir katsayı ile çarpılması. Nasıl bulunur ve genel olarak bu tür sistemlerin nasıl çözüleceği, şimdi bunun hakkında konuşacağız.
Bir katsayı ile çarparak problemleri çözme
Örnek #1
\[\left\( \begin(align)& 5x-9y=38 \\& 3x+2y=8 \\\end(align) \right.\]
Ne $x$ ne de $y$ için katsayıların yalnızca karşılıklı olarak zıt olmadığını, aynı zamanda diğer denklemle hiçbir şekilde ilişkili olmadığını görüyoruz. Denklemleri birbirine eklesek veya çıkarsak bile bu katsayılar hiçbir şekilde kaybolmayacaktır. Bu nedenle çarpma işlemine başvurmak gerekir. $y$ değişkeninden kurtulmaya çalışalım. Bunun için işarete dokunmadan birinci denklemi ikinci denklemdeki $y$ katsayısıyla, ikinci denklemi de birinci denklemdeki $y$ katsayısıyla çarpıyoruz. Çarpıyoruz ve yeni bir sistem elde ediyoruz:
\[\left\( \begin(align)& 10x-18y=76 \\& 27x+18y=72 \\\end(align) \right.\]
Şuna bakalım: $y$'da katsayılar zıttır. Böyle bir durumda ekleme yöntemini kullanmak gerekir. Ekleyelim:
Şimdi $y$'ı bulmamız gerekiyor. Bunu yapmak için ilk ifadeye $x$ yazın:
\[-9y=18\sol| :\sol(-9 \sağ) \sağ.\]
Cevap: $\left(4;-2 \right)$.
Örnek No.2
\[\left\( \begin(align)& 11x+4y=-18 \\& 13x-6y=-32 \\\end(align) \right.\]
Yine hiçbir değişkenin katsayıları tutarlı değildir. $y$ katsayılarıyla çarpalım:
\[\left\( \begin(align)& 11x+4y=-18\left| 6 \right. \\& 13x-6y=-32\left| 4 \right. \\\end(align) \right .\]
\[\left\( \begin(align)& 66x+24y=-108 \\& 52x-24y=-128 \\\end(align) \right.\]
Bizim yeni sistemöncekine eşdeğerdir, ancak $y$'ın katsayıları karşılıklı olarak zıttır ve bu nedenle burada toplama yöntemini uygulamak kolaydır:
Şimdi ilk denklemde $x$ yerine $y$ koyalım:
Cevap: $\left(-2;1 \right)$.
Çözümün nüansları
Buradaki temel kural şudur: Her zaman yalnızca pozitif sayılarla çarparız - bu sizi işaret değiştirmeyle ilgili aptalca ve saldırgan hatalardan kurtaracaktır. Genel olarak çözüm şeması oldukça basittir:
- Sisteme bakıyoruz ve her denklemi analiz ediyoruz.
- Ne $y$ ne de $x$ katsayılarının tutarlı olduğunu görürsek, yani ne eşit ne de zıt, o zaman şunu yapıyoruz: kurtulmamız gereken değişkeni seçiyoruz ve sonra bu denklemlerin katsayılarına bakıyoruz. İlk denklemi ikincinin katsayısı ile çarparsak ve ikinciyi buna göre birincinin katsayısı ile çarparsak, sonunda bir öncekine tamamen eşdeğer bir sistem ve $ katsayıları elde ederiz. y$ tutarlı olacaktır. Tüm eylemlerimiz veya dönüşümlerimiz yalnızca bir değişkeni tek bir denklemde elde etmeye yöneliktir.
- Bir değişken buluyoruz.
- Bulunan değişkeni sistemin iki denkleminden birine yerleştirip ikincisini buluyoruz.
- $x$ ve $y$ değişkenlerimiz varsa cevabı noktaların koordinatları şeklinde yazıyoruz.
Ancak bu kadar basit bir algoritmanın bile kendi incelikleri vardır; örneğin, $x$ veya $y$ katsayıları kesirler ve diğer "çirkin" sayılar olabilir. Şimdi bu durumları ayrı ayrı ele alacağız çünkü bunlarda standart algoritmaya göre biraz farklı davranabilirsiniz.
Kesirlerle ilgili problemleri çözme
Örnek #1
\[\left\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 0,8m+2,5n=-6 \\\end(align) \right.\]
Öncelikle ikinci denklemin kesirler içerdiğine dikkat edin. Ancak 4$'ı 0,8$'a bölebileceğinizi unutmayın. 5$ alacağız. İkinci denklemi $5$ ile çarpalım:
\[\left\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 4m+12,5m=-30 \\\end(align) \right.\]
Denklemleri birbirinden çıkarırız:
$n$'ı bulduk, şimdi $m$'ı sayalım:
Cevap: $n=-4;m=5$
Örnek No.2
\[\left\( \begin(align)& 2,5p+1,5k=-13\left| 4 \right. \\& 2p-5k=2\left| 5 \right. \\\end(align )\ Sağ.\]
Burada da önceki sistemde olduğu gibi kesirli katsayılar var ancak değişkenlerin hiçbiri için katsayılar tam sayı kadar birbirine uymuyor. Bu nedenle standart algoritmayı kullanıyoruz. $p$'dan kurtulun:
\[\left\( \begin(align)& 5p+3k=-26 \\& 5p-12,5k=5 \\\end(align) \right.\]
Çıkarma yöntemini kullanıyoruz:
İkinci yapıya $k$ koyarak $p$'ı bulalım:
Cevap: $p=-4;k=-2$.
Çözümün nüansları
Hepsi optimizasyon bu. İlk denklemde hiçbir şeyle çarpmadık ama ikinci denklemi 5$ ile çarptık. Sonuç olarak, ilk değişken için tutarlı ve hatta özdeş bir denklem elde ettik. İkinci sistemde standart bir algoritma izledik.
Peki denklemlerin çarpılacağı sayıları nasıl bulacaksınız? Sonuçta kesirlerle çarparsak yeni kesirler elde ederiz. Bu nedenle kesirlerin yeni bir tam sayı verecek bir sayı ile çarpılması ve ardından standart algoritmaya göre değişkenlerin katsayılarla çarpılması gerekir.
Sonuç olarak, yanıtın kaydedilme biçimine dikkatinizi çekmek isterim. Daha önce de söylediğim gibi, burada $x$ ve $y$ değil, diğer değerlere sahip olduğumuz için, formun standart olmayan bir gösterimini kullanıyoruz:
Karmaşık denklem sistemlerini çözme
Bugünkü video eğitimine son not olarak, gerçekten karmaşık birkaç sisteme bakalım. Karmaşıklıkları, hem solda hem de sağda değişkenlere sahip olmaları gerçeğinden oluşacaktır. Bu nedenle bunları çözmek için ön işleme uygulamamız gerekecek.
Sistem No.1
\[\left\( \begin(align)& 3\left(2x-y \right)+5=-2\left(x+3y \right)+4 \\& 6\left(y+1 \right )-1=5\left(2x-1 \right)+8 \\\end(align) \right.\]
Her denklem belirli bir karmaşıklık taşır. Bu nedenle her ifadeyi düzenli doğrusal yapıyla ele alalım.
Toplamda orijinal sisteme eşdeğer olan son sistemi elde ediyoruz:
\[\left\( \begin(align)& 8x+3y=-1 \\& -10x+6y=-2 \\\end(align) \right.\]
$y$ katsayılarına bakalım: $3$, $6$'a iki kez sığar, o halde ilk denklemi $2$ ile çarpalım:
\[\left\( \begin(align)& 16x+6y=-2 \\& -10+6y=-2 \\\end(align) \right.\]
$y$'ın katsayıları artık eşit olduğundan ikinciyi birinci denklemden çıkarırız: $$
Şimdi $y$'ı bulalım:
Cevap: $\left(0;-\frac(1)(3) \right)$
Sistem No.2
\[\left\( \begin(align)& 4\left(a-3b \right)-2a=3\left(b+4 \right)-11 \\& -3\left(b-2a \right) )-12=2\left(a-5 \right)+b \\\end(align) \right.\]
İlk ifadeyi dönüştürelim:
Gelelim ikincisine:
\[-3\sol(b-2a \sağ)-12=2\sol(a-5 \sağ)+b\]
\[-3b+6a-12=2a-10+b\]
\[-3b+6a-2a-b=-10+12\]
Toplamda, ilk sistemimiz aşağıdaki formu alacaktır:
\[\left\( \begin(align)& 2a-15b=1 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]
$a$ katsayılarına baktığımızda ilk denklemin $2$ ile çarpılması gerektiğini görüyoruz:
\[\left\( \begin(align)& 4a-30b=2 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]
İkinciyi ilk yapıdan çıkarın:
Şimdi $a$'ı bulalım:
Cevap: $\left(a=\frac(1)(2);b=0 \right)$.
Hepsi bu. Bu video eğitiminin bu zor konuyu, yani basit doğrusal denklem sistemlerini çözmenizi anlamanıza yardımcı olacağını umuyorum. Gelecekte bu konuyla ilgili çok daha fazla ders olacak: Daha fazla değişkenin olacağı ve denklemlerin doğrusal olmayacağı daha karmaşık örneklere bakacağız. Tekrar görüşürüz!
İlk önce denklem sayısının değişken sayısına eşit olduğu durumu ele alalım; m = n. Daha sonra sistemin matrisi karedir ve determinantına sistemin determinantı denir.
Ters matris yöntemi
Dejenere olmayan bir kare matris A ile AX = B denklem sistemini genel olarak ele alalım. Bu durumda, ters bir A -1 matrisi vardır. Her iki tarafı da soldaki A -1 ile çarpalım. A -1 AX = A -1 B elde ederiz. Dolayısıyla EX = A -1 B ve
Son eşitlik, bu tür denklem sistemlerine çözüm bulmaya yönelik bir matris formülüdür. Bu formülün kullanımına ters matris yöntemi denir.
Örneğin aşağıdaki sistemi çözmek için bu yöntemi kullanalım:
;
Sistemi çözmenin sonunda bulunan değerleri sistem denklemlerinde yerine koyarak kontrol edebilirsiniz. Bunu yaparken gerçek eşitliklere dönüşmeleri gerekir.
Ele alınan örnek için şunu kontrol edelim:
Cramer formüllerini kullanarak kare matrisli doğrusal denklem sistemlerini çözme yöntemi
n= 2 olsun:
Birinci denklemin her iki tarafını da a 22 ile, ikinci denklemin her iki tarafını da (-a 12) ile çarpıp elde edilen denklemleri toplarsak x 2 değişkenini sistemden çıkarmış oluruz. Benzer şekilde, x 1 değişkenini ortadan kaldırabilirsiniz (ilk denklemin her iki tarafını da (-a 21) ile ve ikinci denklemin her iki tarafını da 11 ile çarparak). Sonuç olarak, sistemi elde ediyoruz:
Parantez içindeki ifade sistemin determinantıdır
Haydi belirtelim
Daha sonra sistem şu şekli alacaktır:
Ortaya çıkan sistemden, eğer sistemin determinantı 0 ise sistem tutarlı ve kesin olacaktır. Tek çözümü aşağıdaki formüller kullanılarak hesaplanabilir:
= 0, a 1 0 ve/veya 2 0 ise sistem denklemleri 0*x 1 = 2 ve/veya 0*x 1 = 2 formunu alacaktır. Bu durumda sistem tutarsız olacaktır.
= 1 = 2 = 0 olması durumunda, sistem tutarlı ve belirsiz olacaktır (sonsuz sayıda çözüme sahip olacaktır), çünkü şu formu alacaktır:
Cramer teoremi(kanıtı atlayacağız). Bir denklem sisteminin matrisinin determinantı sıfıra eşit değilse, sistemin aşağıdaki formüllerle belirlenen benzersiz bir çözümü vardır:
,
burada j, j'inci sütunun serbest terimlerden oluşan bir sütunla değiştirilmesiyle A matrisinden elde edilen matrisin determinantıdır.
Yukarıdaki formüllere denir Cramer formülleri.
Örnek olarak, daha önce ters matris yöntemi kullanılarak çözülmüş bir sistemi çözmek için bu yöntemi kullanalım:
Ele alınan yöntemlerin dezavantajları:
1) önemli emek yoğunluğu (belirleyicilerin hesaplanması ve ters matrisin bulunması);
2) sınırlı kapsam (kare matrisli sistemler için).
Gerçek ekonomik durumlar genellikle denklem ve değişken sayısının oldukça önemli olduğu ve denklemlerin değişkenlerden daha fazla olduğu sistemler tarafından modellenir. Bu nedenle pratikte aşağıdaki yöntem daha yaygındır.
Gauss yöntemi (değişkenlerin sıralı olarak ortadan kaldırılması yöntemi)
Bu yöntem, n değişkenli m doğrusal denklem sistemini çözmek için kullanılır. genel görünüm. Özü, genişletilmiş matrise eşdeğer dönüşümler sisteminin uygulanmasında yatmaktadır; bunun yardımıyla denklem sistemi, çözümlerinin bulunması kolaylaştığında (eğer varsa) bir forma dönüştürülür.
Bu, sistem matrisinin sol üst kısmının kademeli bir matris olacağı bir görünümdür. Bu, sıralamayı belirlemek için bir adım matrisi elde etmek için kullanılan tekniklerin aynısı kullanılarak elde edilir. Bu durumda, genişletilmiş matrise eşdeğer bir denklem sistemi elde edilmesini sağlayacak temel dönüşümler uygulanır. Bundan sonra genişletilmiş matris şu şekli alacaktır:
Böyle bir matris elde etmeye denir dümdüz ileri Gauss yöntemi.
Değişkenlerin değerlerini ilgili denklem sisteminden bulmaya denir. ters yönde Gauss yöntemi. Bunu düşünelim.
Son (m – r) denklemlerinin şu şekilde olacağına dikkat edin:
Sayılardan en az biri ise 
sıfıra eşit değilse, karşılık gelen eşitlik yanlış olacak ve tüm sistem tutarsız olacaktır.
Bu nedenle herhangi bir eklem sistemi için 
. Bu durumda, değişkenlerin herhangi bir değeri için son (m – r) denklemleri 0 = 0 özdeşlikleri olacaktır ve sistem çözülürken bunlar göz ardı edilebilir (sadece ilgili satırları atın).
Bundan sonra sistem şöyle görünecek:
İlk önce r=n durumunu ele alalım. Daha sonra sistem şu şekli alacaktır:
Sistemin son denkleminden x r benzersiz bir şekilde bulunabilir.
X r'yi bildiğimiz için, bundan açıkça x r -1'i ifade edebiliriz. Daha sonra önceki denklemden x r ve x r -1'i bilerek x r -2 vb.'yi ifade edebiliriz. x 1'e kadar.
Yani bu durumda sistem ortak ve tanımlı olacaktır.
Şimdi r'nin olduğu durumu düşünün.
Bu denklemden temel değişken x r'yi temel olmayanlar cinsinden ifade edebiliriz:
Sondan bir önceki denklem şöyle görünecektir:
Ortaya çıkan ifadeyi x r yerine koyarak, temel değişken x r -1'i temel olmayanlar cinsinden ifade etmek mümkün olacaktır. Vesaire. değişkenx 1'e. Sisteme bir çözüm elde etmek için temel olmayan değişkenleri keyfi değerlere eşitleyebilir ve ardından elde edilen formülleri kullanarak temel değişkenleri hesaplayabilirsiniz. Dolayısıyla bu durumda sistem tutarlı ve belirsiz olacaktır (sonsuz sayıda çözüme sahip olacaktır).
Örneğin denklem sistemini çözelim:
Temel değişkenler kümesini çağıracağız temel sistemler. Bunlar için katsayı sütunları kümesini de çağıracağız. temel(temel sütunlar) veya temel yan dal sistem matrisleri. Temel olmayan tüm değişkenlerin sıfıra eşit olduğu sistemin çözümüne ne ad verilir? temel çözüm.
Önceki örnekte temel çözüm (4/5; -17/5; 0; 0) olacaktır (x 3 ve x 4 (c 1 ve c 2) değişkenleri sıfıra ayarlanmıştır ve temel değişkenler x 1'dir) ve x 2 bunlar üzerinden hesaplanır) . Temel olmayan bir çözüme örnek vermek gerekirse, x 3 ve x 4'ü (c 1 ve c 2) aynı anda sıfır olmayan rastgele sayılara eşitlememiz ve geri kalan değişkenleri bunlar üzerinden hesaplamamız gerekir. Örneğin, c 1 = 1 ve c 2 = 0 ile temel olmayan bir çözüm - (4/5; -12/5; 1; 0) elde ederiz. Değiştirme yoluyla her iki çözümün de doğru olduğunu doğrulamak kolaydır.
Belirsiz bir sistemde sonsuz sayıda temel olmayan çözümlerin olabileceği açıktır. Kaç tane temel çözüm olabilir? Dönüştürülen matrisin her satırı bir temel değişkene karşılık gelmelidir. Problemde n değişken ve r temel çizgi var. Bu nedenle, temel değişkenlerin tüm olası kümelerinin sayısı, n'nin kombinasyon sayısını 2'den fazla olamaz. Daha az olabilir 
Çünkü sistemi, bu özel değişkenler kümesinin temel oluşturacağı bir biçime dönüştürmek her zaman mümkün değildir.
Bu ne tür bir şey? Bu değişkenlere ait katsayı sütunlarından oluşan matrisin basamaklı olacağı ve aynı zamanda r satırdan oluşacağı türdür. Onlar. bu değişkenler için katsayı matrisinin sırası r'ye eşit olmalıdır. Sütun sayısı eşit olduğundan daha büyük olamaz. Eğer r'den küçük çıkarsa bu, sütunların değişkenlere doğrusal bağımlılığını gösterir. Bu tür sütunlar temel oluşturamaz.
Yukarıda tartışılan örnekte başka hangi temel çözümlerin bulunabileceğini düşünelim. Bunu yapmak için, her biri iki temel olmak üzere dört değişkenin tüm olası kombinasyonlarını göz önünde bulundurun. Böyle kombinasyonlar olacak 
ve bunlardan biri (x 1 ve x 2) zaten dikkate alınmıştır.
x 1 ve x 3 değişkenlerini alalım. Bunlar için katsayılar matrisinin rütbesini bulalım:
İkiye eşit olduğundan temel olabilirler. Temel olmayan x 2 ve x 4 değişkenlerini sıfıra eşitleyelim: x 2 = x 4 = 0. O zaman x 1 = 4/5 – (1/5)*x 4 formülünden x 1 = 4 sonucu çıkar. /5 ve x 2 = -17/5 + x 3 - - (7/5)*x 4 = -17/5 + x 3 formülünden şu sonuç çıkar: x 3 = x 2 +17/5 = 17/ 5. Böylece temel çözümü elde ederiz (4/5; 0; 17/5; 0).
Benzer şekilde, x 1 ve x 4 – (9/7; 0; 0; -17/7); x 2 ve x 4 – (0; -9; 0; 4); x 3 ve x 4 – (0; 0; 9; 4).
Bu örnekteki x2 ve x3 değişkenleri temel değişkenler olarak alınamaz, çünkü karşılık gelen matrisin sırası bire eşittir, yani. ikiden az:
.
Belirli değişkenlerden temel oluşturmanın mümkün olup olmadığını belirlemeye yönelik başka bir yaklaşım da mümkündür. Örneği çözerken sistem matrisinin aşamalı forma dönüştürülmesi sonucunda şu şekli almıştır:
Değişken çiftlerini seçerek bu matrisin karşılık gelen küçüklerini hesaplamak mümkün oldu. X 2 ve x 3 dışındaki tüm çiftlerin sıfıra eşit olmadığını doğrulamak kolaydır; sütunlar doğrusal olarak bağımsızdır. Ve yalnızca x 2 ve x 3 değişkenlerine sahip sütunlar için 
, bu onların doğrusal bağımlılığını gösterir.
Başka bir örneğe bakalım. Denklem sistemini çözelim
Dolayısıyla, son matrisin üçüncü satırına karşılık gelen denklem çelişkilidir - 0 = -1 eşitliğinin yanlış olmasına neden olmuştur, bu nedenle bu sistem tutarsızdır.
Jordan-Gauss yöntemi 3 Gauss yönteminin geliştirilmiş halidir. Bunun özü, sistemin genişletilmiş matrisinin, değişkenlerin katsayılarının satır veya sütun 4'ün permütasyonuna kadar bir özdeşlik matrisi oluşturduğu bir forma dönüştürülmesidir (burada r, sistem matrisinin sırasıdır).
Sistemi şu yöntemle çözelim:
Sistemin genişletilmiş matrisini ele alalım:
Bu matriste bir birim eleman seçiyoruz. Örneğin üçüncü kısıttaki x 2 katsayısı 5'tir. Bu sütunda kalan satırların sıfır içerdiğinden emin olalım. Sütunu tekli yapalım. Dönüşüm sürecinde buna şunu diyeceğiz: kolonhoşgörülü(öncü, anahtar). Üçüncü sınırlama (üçüncü astar) biz de arayacağız hoşgörülü. Kendim elemançözümleyen satır ve sütunun kesişme noktasında duran (işte bu bir) aynı zamanda denir hoşgörülü.
İlk satır artık katsayıyı (-1) içeriyor. Onun yerine sıfır almak için, üçüncü satırı (-1) ile çarpın ve sonucu ilk satırdan çıkarın (yani, yalnızca ilk satırı üçüncüyle ekleyin).
İkinci satırda 2 katsayısı bulunur. Onun yerine sıfır almak için üçüncü satırı 2 ile çarpın ve sonucu ilk satırdan çıkarın.
Dönüşümün sonucu şöyle görünecek:
Bu matristen, ilk iki kısıtlamadan birinin silinebileceği açıkça görülmektedir (karşılık gelen satırlar orantılıdır, yani bu denklemler birbirini takip eder). Örneğin ikincinin üzerini çizelim:
Yani yeni sistemin iki denklemi var. Bir birim sütunu (ikinci) elde edilir ve buradaki birim ikinci satırda görünür. Yeni sistemin ikinci denkleminin x 2 temel değişkenine karşılık geleceğini hatırlayalım.
İlk satır için bir temel değişken seçelim. Bu, x 3 dışında herhangi bir değişken olabilir (çünkü x 3 için ilk kısıtın katsayısı sıfırdır, yani x 2 ve x 3 değişkenleri kümesi burada temel olamaz). Birinci veya dördüncü değişkeni alabilirsiniz.
x 1'i seçelim. O zaman çözme elemanı 5 olacak ve ilk satırın ilk sütununda bir tane elde etmek için çözme denkleminin her iki tarafının da beşe bölünmesi gerekecek.
Kalan satırların (yani ikinci satırın) ilk sütununda sıfır olduğundan emin olalım. Artık ikinci satır sıfır değil 3 içerdiğinden, dönüştürülmüş ilk satırın elemanlarını ikinci satırdan 3 ile çarpmamız gerekiyor:
Ortaya çıkan matristen, temel olmayan değişkenleri sıfıra ve temel olanları karşılık gelen denklemlerdeki serbest terimlere eşitleyerek doğrudan bir temel çözüm çıkarılabilir: (0,8; -3,4; 0; 0). Ayrıca temel değişkenleri temel olmayan değişkenler aracılığıyla ifade eden genel formüller de türetebilirsiniz: x 1 = 0,8 – 1,2 x 4; x 2 = -3,4 + x 3 + 1,6x 4. Bu formüller sistemin sonsuz çözüm kümesinin tamamını tanımlar (x 3 ve x 4'ü rastgele sayılara eşitleyerek x 1 ve x 2'yi hesaplayabilirsiniz).
Jordan-Gauss yönteminin her aşamasındaki dönüşümlerin özünün aşağıdaki gibi olduğuna dikkat edin:
1) çözünürlük çizgisi, onun yerine bir birim elde etmek için çözünürlük elemanına bölündü,
2) dönüştürülmüş çözümleyici öğe diğer tüm satırlardan çıkarılıp çözümleme sütunundaki belirli satırda bulunan öğeyle çarpılarak bu öğenin yerine sıfır elde edildi.
Sistemin dönüştürülmüş genişletilmiş matrisini tekrar ele alalım:
Bu kayıttan A sisteminin matrisinin rütbesinin r'ye eşit olduğu açıktır.
Akıl yürütmemiz sırasında, sistemin ancak ve ancak şu şekilde işbirlikçi olacağını tespit ettik: 
. Bu, sistemin genişletilmiş matrisinin şöyle görüneceği anlamına gelir:
Sıfır satırları atarak sistemin genişletilmiş matrisinin rütbesinin de r'ye eşit olduğunu elde ederiz.
Kronecker-Capelli teoremi. Bir doğrusal denklem sistemi ancak ve ancak sistemin matrisinin sıralaması bu sistemin genişletilmiş matrisinin sıralamasına eşitse tutarlıdır.
Bir matrisin rütbesinin, doğrusal olarak bağımsız satırlarının maksimum sayısına eşit olduğunu hatırlayın. Bundan, genişletilmiş matrisin sırası denklem sayısından azsa, sistemin denklemleri doğrusal olarak bağımlıdır ve bunlardan bir veya daha fazlası sistemden çıkarılabilir (çünkü doğrusaldırlar) diğerlerinin kombinasyonu). Bir denklem sistemi ancak genişletilmiş matrisin rütbesi denklem sayısına eşitse doğrusal olarak bağımsız olacaktır.
Ayrıca, eşzamanlı doğrusal denklem sistemleri için, matrisin derecesi değişken sayısına eşitse sistemin benzersiz bir çözümü olduğu ve değişken sayısından azsa o zaman olduğu iddia edilebilir. Sistem belirsizdir ve sonsuz sayıda çözümü vardır.
1Örneğin, matriste beş satır olsun (orijinal satır sırası 12345'tir). İkinci satırı ve beşinci satırı değiştirmemiz gerekiyor. İkinci satırın beşincinin yerini alması ve aşağı doğru "hareket etmesi" için, bitişik satırları art arda üç kez değiştiririz: ikinci ve üçüncü (13245), ikinci ve dördüncü (13425) ve ikinci ve beşinci (13452) ). Daha sonra, orijinal matriste beşinci satırın ikincinin yerini alması için, beşinci satırı yalnızca iki ardışık değişiklikle yukarı doğru "kaydırmak" gerekir: beşinci ve dördüncü satırlar (13542) ve beşinci ve üçüncü. (15342).
2n'den r'ye kadar kombinasyon sayısı 
bir n-element kümesinin tüm farklı r-element altkümelerinin sayısını çağırırlar (farklı eleman bileşimlerine sahip olanlar farklı kümeler olarak kabul edilir; seçim sırası önemli değildir). Aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır: 
. 
0!=1.)
“!” İşaretinin anlamını hatırlayalım. (faktöriyel):
3 Bu yöntem daha önce tartışılan Gauss yönteminden daha yaygın olduğundan ve esasen Gauss yönteminin ileri ve geri adımlarının bir birleşimi olduğundan, bazen adının ilk kısmı çıkarılarak Gauss yöntemi olarak da anılır. 
.
4Örneğin,
5Sistem matrisinde hiç birim olmasaydı, örneğin ilk denklemin her iki tarafını da ikiye bölmek mümkün olurdu ve o zaman ilk katsayı birlik olurdu; veya benzeri Sistemi çöz iki bilinmeyenle - bu, verilen denklemlerin her birini karşılayan tüm değişken değer çiftlerini bulmak anlamına gelir. Bu tür çiftlerin her birine denir.
sistem çözümü
Örnek:
\(x=3\);\(y=-1\) değer çifti ilk sistemin çözümüdür, çünkü bu üçleri ve eksileri sisteme yerleştirirken \(x\) ve \ yerine (y\), her iki denklem de doğru eşitliklere dönüşecektir \(\begin(cases)3-2\cdot (-1)=5 \\3 \cdot 3+2 \cdot (-1)=7 \end( vakalar)\)
Ancak \(x=1\); \(y=-2\) - birinci sistemin çözümü değildir, çünkü ikame sonrasında ikinci denklem “yakınsamaz” \(\begin(cases)1-2\cdot(-2)=5 \\3 \cdot1+2 \cdot(-2)≠7 \end(case)\)
Bu tür çiftlerin genellikle daha kısa yazıldığını unutmayın: "\(x=3\); \(y=-1\)" yerine şu şekilde yazarlar: \((3;-1)\).
Doğrusal denklem sistemi nasıl çözülür?
- Doğrusal denklem sistemlerini çözmenin üç ana yolu vardır:
-
\(\begin(case)13x+9y=17\\12x-2y=26\end(case)\)
İkinci denklemde her terim çifttir, dolayısıyla denklemi \(2\)'ye bölerek basitleştiririz.
\(\begin(case)13x+9y=17\\6x-y=13\end(case)\)
Bu sistem aşağıdaki yollardan herhangi biriyle çözülebilir, ancak bana öyle geliyor ki ikame yöntemi burada en uygun olanı. İkinci denklemden y'yi ifade edelim.
\(\begin(case)13x+9y=17\\y=6x-13\end(case)\)
İlk denklemde \(y\) yerine \(6x-13\) koyalım.
\(\begin(case)13x+9(6x-13)=17\\y=6x-13\end(case)\)
İlk denklem sıradan bir denklem haline geldi. Hadi çözelim.
Öncelikle parantezleri açalım.
\(\begin(case)13x+54x-117=17\\y=6x-13\end(case)\)
\(117\)'yi sağa taşıyıp benzer terimleri sunalım.
\(\begin(case)67x=134\\y=6x-13\end(case)\)
İlk denklemin her iki tarafını da \(67\)'ye bölelim.
\(\begin(case)x=2\\y=6x-13\end(case)\)
Yaşasın, \(x\)'i bulduk! Değerini ikinci denklemde yerine koyalım ve \(y\)'yi bulalım.
\(\begin(cases)x=2\\y=12-13\end(cases)\)\(\Leftrightarrow\)\(\begin(cases)x=2\\y=-1\end(cases )\)
Cevabını yazalım.
Değiştirme yöntemi.
Elde edilen ifadeyi bu değişken yerine sistemin başka bir denkleminde değiştirin.
\(\Leftrightarrow\) \(\begin(case)x=5+2y\\3(5+2y)+2y=7\end(case)\)\(\Leftrightarrow\)
Yükleniyor...