Cel mai mare și cea mai mică valoare funcții

Cea mai mare valoare a unei funcții este cea mai mare, cea mai mică valoare este cea mai mică dintre toate valorile sale.

O funcție poate avea o singură valoare mai mare și o singură valoare cea mai mică sau poate să nu aibă deloc. Găsirea celor mai mari și mai mici valori ale funcțiilor continue se bazează pe următoarele proprietăți ale acestor funcții:

1) Dacă într-un anumit interval (finit sau infinit) funcția y=f(x) este continuă și are o singură extremă și dacă acesta este un maxim (minim), atunci va fi cea mai mare (cea mai mică) valoare a funcției în acest interval.

2) Dacă funcția f(x) este continuă pe un anumit segment, atunci are în mod necesar cele mai mari și mai mici valori pe acest segment. Aceste valori sunt atinse fie în punctele extreme aflate în interiorul segmentului, fie la limitele acestui segment.

Pentru a găsi cele mai mari și cele mai mici valori pe un segment, se recomandă utilizarea următoarei scheme:

1. Găsiți derivata.

2. Găsiți punctele critice ale funcției la care =0 sau nu există.

3. Găsiți valorile funcției în punctele critice și la capetele segmentului și selectați dintre ele cel mai mare f max și cel mai mic f max.

La rezolvarea problemelor aplicate, în special a celor de optimizare, problemele de a găsi cele mai mari și cele mai mici valori (maximum global și minim global) ale unei funcții pe intervalul X sunt importante. Pentru a rezolva astfel de probleme, ar trebui, în funcție de condiție , selectați o variabilă independentă și exprimați valoarea studiată prin această variabilă. Apoi găsiți valoarea cea mai mare sau cea mai mică dorită a funcției rezultate. În acest caz, intervalul de modificare a variabilei independente, care poate fi finit sau infinit, este determinat și din condițiile problemei.

Exemplu. Rezervorul, care are forma unui paralelipiped dreptunghiular deschis, cu fundul pătrat, trebuie să fie cositorit în interior cu tablă. Care ar trebui să fie dimensiunile rezervorului dacă capacitatea acestuia este de 108 litri? apă, astfel încât costul de cositorit să fie minim?

Soluţie. Costul acoperirii unui rezervor cu cositor va fi minim dacă, pentru o anumită capacitate, suprafața acestuia este minimă. Să notăm cu a dm latura bazei, b dm înălțimea rezervorului. Atunci aria S a suprafeței sale este egală cu

ŞI

Relația rezultată stabilește relația dintre suprafața rezervorului S (funcție) și latura bazei a (argument). Să examinăm funcția S pentru un extremum. Să găsim prima derivată, să o echivalăm cu zero și să rezolvăm ecuația rezultată:

Prin urmare a = 6. (a) > 0 pentru a > 6, (a)< 0 при а < 6. Следовательно, при а = 6 функция S имеет минимум. Если а = 6, то b = 3. Таким образом, затраты на лужение резервуара емкостью 108 литров будут наименьшими, если он имеет размеры 6дм х 6дм х 3дм.

Exemplu. Găsiți cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții pe interval.

Soluţie: Funcția dată este continuă de-a lungul întregii drepte numerice. Derivată a unei funcții

Derivată pentru și pentru . Să calculăm valorile funcției în aceste puncte:

.

Valorile funcției la sfârșitul intervalului dat sunt egale. Prin urmare, cea mai mare valoare funcția este egală cu at , cea mai mică valoare a funcției este egală cu at .

Întrebări de autotest

1. Formulați regula lui L'Hopital pentru dezvăluirea incertitudinilor formei. Listă diverse tipuri incertitudini pentru care poate fi folosită regula lui L'Hopital.

2. Formulați semnele funcției crescătoare și descrescătoare.

3. Definiți maximul și minimul unei funcții.

4. Formulează conditie necesara existența unui extremum.

5. Ce valori ale argumentului (care puncte) se numesc critice? Cum să găsești aceste puncte?

6. Care sunt semne suficiente ale existenței unui extremum al unei funcții? Schițați o schemă pentru studierea unei funcții la un extremum folosind derivata întâi.

7. Schițați o schemă pentru studierea unei funcții la un extremum folosind derivata a doua.

8. Definiți convexitatea și concavitatea unei curbe.

9. Ce se numește punctul de inflexiune al graficului unei funcții? Indicați o metodă pentru găsirea acestor puncte.

10. Formulați semnele necesare și suficiente de convexitate și concavitate ale unei curbe pe un segment dat.

11. Definiți asimptota unei curbe. Cum să găsiți asimptotele verticale, orizontale și oblice ale graficului unei funcții?

12. Conturează schema generală de studiu a unei funcții și de construire a graficului acesteia.

13. Formulați o regulă pentru găsirea celor mai mari și mai mici valori ale unei funcții pe un interval dat.

Procesul de căutare a celor mai mici și mai mari valori ale unei funcții pe un segment amintește de un zbor fascinant în jurul unui obiect (graficul unei funcții) într-un elicopter, trăgând în anumite puncte dintr-un tun cu rază lungă de acțiune și selectând foarte puncte speciale din aceste puncte pentru lovituri de control. Punctele sunt selectate într-un anumit mod și în funcție de anumite reguli. După ce reguli? Vom vorbi mai departe despre asta.

Dacă funcţia y = f(x) este continuă pe intervalul [ o, b] , apoi ajunge pe acest segment cel mai puţin Şi cele mai mari valori . Acest lucru se poate întâmpla fie în puncte extremum, sau la capetele segmentului. Prin urmare, pentru a găsi cel mai puţin Şi cele mai mari valori ale funcției , continuu pe intervalul [ o, b] , trebuie să-i calculați valorile în totalitate puncte criticeși la capetele segmentului, apoi alegeți cel mai mic și cel mai mare dintre ele.

De exemplu, doriți să determinați cea mai mare valoare a funcției f(x) pe segmentul [ o, b] . Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți toate punctele sale critice pe [ o, b] .

Punct critic numit punctul în care functie definita, și ea derivat fie egal cu zero, fie nu există. Apoi ar trebui să calculați valorile funcției în punctele critice. Și, în sfârșit, ar trebui să comparăm valorile funcției în punctele critice și la capetele segmentului ( f(o) Și f(b)). Cel mai mare dintre aceste numere va fi cea mai mare valoare a funcției de pe segment [o, b] .

Probleme de găsire cele mai mici valori ale funcției .

Căutăm împreună cele mai mici și cele mai mari valori ale funcției

Exemplul 1. Găsiți cele mai mici și cele mai mari valori ale unei funcții pe segment [-1, 2] .

Soluţie. Găsiți derivata acestei funcții. Să echivalăm derivata cu zero () și să obținem două puncte critice: și . Pentru a găsi cele mai mici și mai mari valori ale unei funcții pe un anumit segment, este suficient să-i calculați valorile la capetele segmentului și la punctul, deoarece punctul nu aparține segmentului [-1, 2]. Aceste valori ale funcției sunt: ​​, , . De aici rezultă că cea mai mică valoare a funcției(indicat cu roșu pe graficul de mai jos), egal cu -7, este realizat la capătul din dreapta al segmentului - în punctul , și cel mai mare(de asemenea roșu pe grafic), este egal cu 9, - în punctul critic.

Dacă o funcție este continuă într-un anumit interval și acest interval nu este un segment (dar este, de exemplu, un interval; diferența dintre un interval și un segment: punctele limită ale intervalului nu sunt incluse în interval, ci punctele de limită ale segmentului sunt incluse în segment), apoi printre valorile funcției este posibil să nu fie cel mai mic și cel mai mare. Deci, de exemplu, funcția prezentată în figura de mai jos este continuă pe ]-∞, +∞[ și nu are cea mai mare valoare.

Totuși, pentru orice interval (închis, deschis sau infinit), următoarea proprietate a funcțiilor continue este adevărată.

Exemplul 4. Găsiți cele mai mici și cele mai mari valori ale unei funcții pe segment [-1, 3] .

Soluţie. Găsim derivata acestei funcții ca derivată a coeficientului:

.

Echivalăm derivata cu zero, ceea ce ne oferă un punct critic: . Aparține segmentului [-1, 3]. Pentru a găsi cele mai mici și mai mari valori ale unei funcții pe un anumit segment, găsim valorile acesteia la capetele segmentului și în punctul critic găsit:

Să comparăm aceste valori. Concluzie: egal cu -5/13, la punctul și cea mai mare valoare egal cu 1 la punctul .

Continuăm să căutăm împreună cele mai mici și mai mari valori ale funcției

Sunt profesori care, pe tema găsirii celor mai mici și mai mari valori ale unei funcții, nu dau elevilor exemple de rezolvat mai complexe decât cele discutate, adică acelea în care funcția este un polinom sau un fracție, al cărei numărător și numitor sunt polinoame. Dar nu ne vom limita la astfel de exemple, deoarece printre profesori sunt cei cărora le place să-i oblige pe elevi să gândească în întregime (tabelul derivatelor). Prin urmare, se vor folosi funcția logaritmică și trigonometrică.

Exemplul 6. Găsiți cele mai mici și cele mai mari valori ale unei funcții pe segment .

Soluţie. Găsim derivata acestei funcții ca derivat al produsului :

Echivalăm derivata cu zero, ceea ce dă un punct critic: . Aparține segmentului. Pentru a găsi cele mai mici și mai mari valori ale unei funcții pe un anumit segment, găsim valorile acesteia la capetele segmentului și în punctul critic găsit:

Rezultatul tuturor acțiunilor: funcția își atinge valoarea minimă, egal cu 0, în punctul și în punctul și cea mai mare valoare, egal e², la punctul.

Exemplul 7. Găsiți cele mai mici și cele mai mari valori ale unei funcții pe segment .

Soluţie. Găsiți derivata acestei funcții:

Echivalăm derivata cu zero:

Singurul punct critic aparține segmentului. Pentru a găsi cele mai mici și mai mari valori ale unei funcții pe un anumit segment, găsim valorile acesteia la capetele segmentului și în punctul critic găsit:

Concluzie: funcția își atinge valoarea minimă, egal cu , la punctul și cea mai mare valoare, egal , la punctul .

În problemele extreme aplicate, găsirea celor mai mici (maxime) valori ale unei funcții, de regulă, se reduce la găsirea minimului (maximului). Dar nu minimele sau maximele în sine prezintă un interes practic mai mare, ci acele valori ale argumentului la care sunt atinse. La rezolvarea problemelor aplicate, apare o dificultate suplimentară - alcătuirea funcțiilor care descriu fenomenul sau procesul luat în considerare.

Exemplul 8. Un rezervor cu o capacitate de 4, avand forma unui paralelipiped cu baza patrata si deschis in varf, trebuie sa fie cositorit. Ce dimensiune ar trebui să aibă rezervorul, astfel încât să se folosească cea mai mică cantitate de material pentru a-l acoperi?

Soluţie. Lasă x- partea de bază, h- inaltimea rezervorului, S- suprafața sa fără acoperire, V- volumul acestuia. Suprafața rezervorului este exprimată prin formula, adică este o funcție a două variabile. A exprima Sîn funcție de o variabilă, folosim faptul că , de unde . Înlocuind expresia găsită hîn formula pentru S:

Să examinăm această funcție până la extrem. Este definită și diferențiabilă peste tot în ]0, +∞[ , și

.

Echivalăm derivata cu zero () și găsim punctul critic. În plus, atunci când derivata nu există, dar această valoare nu este inclusă în domeniul definiției și, prin urmare, nu poate fi un punct extremum. Deci, acesta este singurul punct critic. Să verificăm prezența unui extremum folosind al doilea semn suficient. Să găsim derivata a doua. Când derivata a doua este mai mare decât zero (). Aceasta înseamnă că atunci când funcția atinge un minim . De la aceasta minim este singurul extrem al acestei funcții, este cea mai mică valoare a acesteia. Deci, partea bazei rezervorului ar trebui să fie de 2 m, iar înălțimea acestuia ar trebui să fie de .

Exemplul 9. Din punct de vedere O situat pe linia de cale ferata, pana la punct CU, situat la o distanţă de acesta l, marfa trebuie transportata. Costul transportului unei unități de greutate pe unitate de distanță pe calea ferată este egal cu , iar pe autostradă este egal cu . Până în ce punct M linii feroviar ar trebui construită o autostradă pentru a transporta mărfuri din O V CU a fost cea mai economică (secțiunea AB se presupune că calea ferată este dreaptă)?

Algoritmul standard pentru rezolvarea unor astfel de probleme presupune, după găsirea zerourilor funcției, determinarea semnelor derivatei pe intervale. Apoi, calculul valorilor la punctele maxime (sau minime) găsite și la limita intervalului, în funcție de ce întrebare este în stare.

Vă sfătuiesc să faceți lucrurile puțin diferit. De ce? Am scris despre asta.

Îmi propun să rezolv astfel de probleme după cum urmează:

1. Găsiți derivata.
2. Aflați zerourile derivatei.
3. Stabiliți care dintre ele aparțin acestui interval.
4. Calculăm valorile funcției la limitele intervalului și punctelor pasului 3.
5. Tragem o concluzie (raspunde la intrebarea pusa).

În timp ce rezolvați exemplele prezentate, rezolvarea ecuațiilor pătratice nu este discutată în detaliu, ar trebui să puteți face acest lucru. Ar trebui să știe și ei.

Să ne uităm la exemple:

77422. Aflați cea mai mare valoare a funcției y=x 3 –3x+4 pe segmentul [–2;0].

Să găsim zerourile derivatei:

Punctul x = –1 aparține intervalului specificat în condiție.

Calculăm valorile funcției în punctele –2, –1 și 0:

Cea mai mare valoare a funcției este 6.

Raspuns: 6

77425. Aflați cea mai mică valoare a funcției y = x 3 – 3x 2 + 2 pe segment.

Să găsim derivata funcției date:

Să găsim zerourile derivatei:

Punctul x = 2 aparține intervalului specificat în condiție.

Calculăm valorile funcției la punctele 1, 2 și 4:

Cea mai mică valoare a funcției este –2.

Răspuns: -2

77426. Aflați cea mai mare valoare a funcției y = x 3 – 6x 2 pe segmentul [–3;3].

Să găsim derivata funcției date:

Să găsim zerourile derivatei:

Intervalul specificat în condiție conține punctul x = 0.

Calculăm valorile funcției la punctele –3, 0 și 3:

Cea mai mică valoare a funcției este 0.

Raspuns: 0

77429. Aflați cea mai mică valoare a funcției y = x 3 – 2x 2 + x +3 pe segment.

Să găsim derivata funcției date:

3x 2 – 4x + 1 = 0

Obținem rădăcinile: x 1 = 1 x 1 = 1/3.

Intervalul specificat în condiție conține doar x = 1.

Să găsim valorile funcției la punctele 1 și 4:

Am constatat că cea mai mică valoare a funcției este 3.

Raspuns: 3

77430. Aflați cea mai mare valoare a funcției y = x 3 + 2x 2 + x + 3 pe segmentul [– 4; –1].

Să găsim derivata funcției date:

Să găsim zerourile derivatei și să rezolvăm ecuația pătratică:

3x 2 + 4x + 1 = 0

Să luăm rădăcinile:

Intervalul specificat în condiție conține rădăcina x = –1.

Găsim valorile funcției la punctele –4, –1, –1/3 și 1:

Am descoperit că cea mai mare valoare a funcției este 3.

Raspuns: 3

77433. Aflați cea mai mică valoare a funcției y = x 3 – x 2 – 40x +3 pe segment.

Să găsim derivata funcției date:

Să găsim zerourile derivatei și să rezolvăm ecuația pătratică:

3x 2 – 2x – 40 = 0

Să luăm rădăcinile:

Intervalul specificat în condiție conține rădăcina x = 4.

Găsiți valorile funcției la punctele 0 și 4:

Am constatat că cea mai mică valoare a funcției este –109.

Răspuns: –109

Să luăm în considerare o modalitate de a determina cele mai mari și cele mai mici valori ale funcțiilor fără o derivată. Această abordare poate fi utilizată dacă aveți probleme mari cu determinarea derivatei. Principiul este simplu - înlocuim toate valorile întregi din interval în funcție (fapt este că în toate astfel de prototipuri răspunsul este un număr întreg).

77437. Aflați cea mai mică valoare a funcției y=7+12x–x 3 pe segmentul [–2;2].

Înlocuiți puncte de la –2 la 2: Vizualizați soluția

77434. Aflați cea mai mare valoare a funcției y=x 3 + 2x 2 – 4x + 4 pe segmentul [–2;0].

Asta e tot. Mult succes pentru tine!

Cu stimă, Alexander Krutitskikh.

P.S: V-as fi recunoscator daca mi-ati spune despre site pe retelele de socializare.