Demonstrarea și derivarea formulelor pentru derivata logaritmului natural și a logaritmului la baza a. Exemple de calculare a derivatelor lui ln 2x, ln 3x și ln nx. Demonstrarea formulei pentru derivata logaritmului de ordinul al n-lea folosind metoda inducției matematice.

Derivarea formulelor pentru derivatele logaritmului natural și logaritmului la baza a

Derivata logaritmului natural al lui x este egala cu una impartita la x:
(1) (ln x)′ =.

Derivata logaritmului la baza a este egala cu unu impartita la variabila x inmultita cu logaritmul natural al lui a:
(2) (log a x)′ =.

Dovada

Să existe un număr pozitiv care nu este egal cu unul. Luați în considerare o funcție care depinde de o variabilă x, care este un logaritm față de bază:
.
Această funcție este definită la .
(3) .

Să găsim derivata ei în raport cu variabila x.
Prin definiție, derivata este următoarea limită: Să transformăm această expresie pentru a o reduce la proprietăți și reguli matematice cunoscute. Pentru a face acest lucru, trebuie să cunoaștem următoarele fapte:
(4) ;
(5) ;
(6) ;
O) Proprietățile logaritmului. Vom avea nevoie de următoarele formule:
(7) .
B)
Continuitatea logaritmului și proprietatea limitelor pentru o funcție continuă: Iată o funcție care are o limită și această limită este pozitivă.
(8) .

ÎN)
.
Semnificația celei de-a doua limite remarcabile:

.

Să aplicăm aceste fapte la limita noastră. Mai întâi transformăm expresia algebrică
.

Pentru a face acest lucru, aplicăm proprietățile (4) și (5).
.
Să folosim proprietatea (7) și a doua limită remarcabilă (8): Și, în sfârșit, aplicăm proprietatea (6): Logaritm la bază e numit
.
logaritmul natural
.

. Este desemnată astfel:

Apoi ;

Astfel, am obținut formula (2) pentru derivata logaritmului.
.
Derivată a logaritmului natural
(1) .

Încă o dată scriem formula pentru derivata logaritmului la baza a:
.

Această formulă are cea mai simplă formă pentru logaritmul natural, pentru care , .
.

Apoi

Datorită acestei simplități, logaritmul natural este foarte utilizat în analiza matematică și în alte ramuri ale matematicii legate de calculul diferențial. Funcțiile logaritmice cu alte baze pot fi exprimate în termeni de logaritm natural folosind proprietatea (6):
(9) .
Apoi putem deriva formula pentru derivata logaritmului natural, dat fiind că logaritmul este funcția inversă a exponențialului.

Să demonstrăm formula pentru derivata logaritmului natural, aplicând formula pentru derivata funcţiei inverse:
.
În cazul nostru.
.
Funcția inversă față de logaritmul natural este exponențial:
.
Derivatul său este determinat prin formula (9). Variabilele pot fi desemnate prin orice literă. În formula (9), înlocuiți variabila x cu y:
.
De atunci
.
Apoi

Formula este dovedită. Acum demonstram formula pentru derivata logaritmului natural folosind reguli de diferențiere a funcțiilor complexe
.
. Deoarece funcțiile și sunt inverse între ele, atunci
(10) .
Să diferențiem această ecuație față de variabila x:
.
Derivata lui x este egala cu unu:
.
Aplicam regula de diferentiere a functiilor complexe:
.
Aici . Să înlocuim în (10):
.

De aici

Exemplu Găsiți derivate ale ln 2x, ln 3x Şi.

lnnx

Soluţie Funcțiile originale au o formă similară. Prin urmare vom găsi derivata funcției y = log nx . Apoi înlocuim n = 2 și n = 3. Și, astfel, obținem formule pentru derivatele lui ln 2x ln 2x, .

Şi
Funcțiile originale au o formă similară. Prin urmare vom găsi derivata funcției .
Deci, căutăm derivata funcției
1) Să ne imaginăm această funcție ca o funcție complexă constând din două funcții:
2) Funcții în funcție de o variabilă: ;
Funcţii în funcţie de o variabilă: .
.

Atunci funcția originală este compusă din funcțiile și:
.
Să găsim derivata funcției față de variabila x:
.
Să găsim derivata funcției în raport cu variabila:
.
Aplicam formula pentru derivata unei functii complexe.

Aici o punem la punct.
(11) .
Deci am gasit:
.
Vedem că derivata nu depinde de n.
.

Acest rezultat este destul de natural dacă transformăm funcția originală folosind formula pentru logaritmul produsului:

; ; .

- aceasta este o constantă. Derivata sa este zero. Atunci, conform regulii de diferențiere a sumei, avem:

Răspuns Derivată a logaritmului modulului x Să găsim derivatul altuia foarte
(12) .

functie importanta
.
- logaritmul natural al modulului x:
.

Să luăm în considerare cazul.
,
Apoi funcția arată astfel:
Derivatul său este determinat de formula (1):
.
De atunci
.

Acum să luăm în considerare cazul.
.

Apoi funcția arată astfel:
.

Unde .

Dar am găsit și derivata acestei funcții în exemplul de mai sus. Nu depinde de n și este egal cu
.
Combinăm aceste două cazuri într-o singură formulă:
(13) .

În consecință, pentru ca logaritmul să bazeze a, avem:
.
Derivate de ordine superioare ale logaritmului natural
.
Luați în considerare funcția
.

Am găsit derivata sa de ordinul întâi:
(14) .
Să demonstrăm acest lucru prin inducție matematică.

Dovada

Să înlocuim valoarea n = 1 în formula (14):
.
Din moment ce , atunci când n = 1 , formula (14) este valabilă.

Să presupunem că formula (14) este satisfăcută pentru n = k. + 1 .

Să demonstrăm că aceasta implică că formula este valabilă pentru n = k
.
Într-adevăr, pentru n = k avem:

.
Diferențierea față de variabila x:
.
Deci avem: 1 Această formulă coincide cu formula (14) pentru n = k + 1 .

.

Astfel, din ipoteza că formula (14) este valabilă pentru n = k, rezultă că formula (14) este valabilă pentru n = k +

Prin urmare, formula (14), pentru derivata de ordinul n, este valabilă pentru orice n.
.
Derivate de ordine superioare ale logaritmului la baza a
.

Pentru a găsi derivata de ordinul n a unui logaritm la baza a, trebuie să o exprimați în termeni de logaritm natural:

Aplicând formula (14), găsim derivata a n-a:
(1) Demonstrarea și derivarea formulelor pentru derivata exponențialului (e la puterea x) și a funcției exponențiale (a la puterea x). Exemple de calculare a derivatelor lui e^2x, e^3x și e^nx. Formule pentru derivate de ordin superior..

Derivata unui exponent este egală cu exponentul însuși (derivata lui e la puterea x este egală cu e la puterea x):
(2) .

(e x )′ = e x

Derivata unei functii exponentiale cu baza a este egala cu functia insasi inmultita cu logaritmul natural al lui a:
.
Derivarea formulei pentru derivata exponențialului, e la puterea x

O exponențială este o funcție exponențială a cărei bază de putere este egală cu numărul e, care este următoarea limită:

Aici poate fi fie un număr natural, fie un număr real. În continuare, derivăm formula (1) pentru derivata exponențialului.
Derivarea formulei derivate exponenţiale
Luați în considerare exponențialul, e la puterea x:
(3) .

y = e x .
Prin definiție, derivata este următoarea limită: Această funcție este definită pentru toată lumea.
(4) ;
O) Să găsim derivata ei în raport cu variabila x.
(5) ;
Continuitatea logaritmului și proprietatea limitelor pentru o funcție continuă: Proprietățile logaritmului. Vom avea nevoie de următoarele formule:
(6) .
B)
Prin definiție, derivata este următoarea limită: Iată o funcție care are o limită și această limită este pozitivă.
(7) .

Să transformăm această expresie pentru a o reduce la proprietăți și reguli matematice cunoscute. Pentru a face acest lucru avem nevoie de următoarele fapte:
;
.

Proprietatea exponentului:
Proprietatea logaritmului:
.
G)
.

Să aplicăm aceste fapte la limita noastră (3). Folosim proprietatea (4):
.

Să facem o înlocuire.
Apoi ; .
.

Datorită continuităţii exponenţialului,
.
Prin urmare, când , .
.

Ca rezultat obținem:

Să facem o înlocuire.

Acum derivăm formula (2) pentru derivata funcției exponențiale cu o bază de gradul a.
(8)
Noi credem că și .

Apoi funcția exponențială Definit pentru toată lumea. Să transformăm formula (8). Pentru aceasta vom folosi
;
.
proprietățile funcției exponențiale
.

și logaritm.

Deci, am transformat formula (8) în următoarea formă:
(14) .
(1) .

Derivate de ordin superior ale lui e la puterea x
;
.

Acum să găsim derivate de ordin superior. Să ne uităm mai întâi la exponent:
.

Vedem că derivata funcției (14) este egală cu funcția (14) însăși. Diferențiând (1), obținem derivate de ordinul doi și trei:

Aceasta arată că derivata de ordinul n-lea este, de asemenea, egală cu funcția originală:
.
Combinăm aceste două cazuri într-o singură formulă:
(15) .

Derivate de ordin superior ale funcției exponențiale
;
.

Acum considerăm o funcție exponențială cu o bază de grad a:
.

Diferențiând (15), obținem derivate de ordinul doi și trei:
Vedem că fiecare diferențiere duce la înmulțirea funcției originale cu .

Prin urmare, derivata de ordinul n-a are următoarea formă:

Derivate complexe. Derivată logaritmică. Derivată a unei funcții putere-exponențială Continuăm să ne îmbunătățim tehnica de diferențiere. În această lecție, vom consolida materialul pe care l-am abordat, vom analiza derivate mai complexe și, de asemenea, ne vom familiariza cu noi tehnici și trucuri pentru găsirea unei derivate, în special, cu derivata logaritmică. Acelor cititori care au nivel scăzut pregătire, ar trebui să consultați articolul Cum să găsesc derivatul? Exemple de soluții , care vă va permite să vă ridicați abilitățile aproape de la zero. În continuare, trebuie să studiați cu atenție pagina Derivată a unei funcții complexe , înțelegeți și rezolvați Toate

exemplele pe care le-am dat. Această lecție este în mod logic a treia la rând, iar după ce o stăpânești vei diferenția cu încredere funcții destul de complexe. Nu este de dorit să luăm poziția „Unde altundeva? Da, este suficient”, deoarece toate exemplele și soluțiile sunt luate din real pregătire, ar trebui să consultați articolul teste

și sunt adesea întâlnite în practică. :

Când studiați alte subiecte matan în viitor, o înregistrare atât de detaliată nu este de cele mai multe ori necesară, se presupune că studentul știe să găsească astfel de derivate pe pilotul automat. Să ne imaginăm că la ora 3 dimineața a sunat telefonul și o voce plăcută a întrebat: „Care este derivata tangentei a doi X?” Aceasta ar trebui să fie urmată de un răspuns aproape instantaneu și politicos: .

Primul exemplu va fi destinat imediat unei soluții independente.

Exemplul 1

Găsiți oral următoarele derivate, într-o singură acțiune, de exemplu: . Pentru a finaliza sarcina trebuie doar să utilizați tabel de derivate ale funcțiilor elementare(dacă nu ți-ai amintit încă). Dacă aveți dificultăți, vă recomand să recitiți lecția pregătire, ar trebui să consultați articolul.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Răspunsuri la sfârșitul lecției

Derivate complexe

După pregătirea preliminară a artileriei, exemplele cu 3-4-5 cuibări de funcții vor fi mai puțin înfricoșătoare. Următoarele două exemple pot părea complicate pentru unii, dar dacă le înțelegeți (cineva va avea de suferit), atunci aproape orice altceva din calculul diferențial va părea o glumă de copil.

Exemplul 2

Aflați derivata unei funcții

După cum sa menționat deja, atunci când găsiți derivata unei funcții complexe, în primul rând, este necesar CorectÎNȚELEGEȚI investițiile dvs. În cazurile în care există îndoieli, vă reamintesc truc util: luăm sensul experimental al lui „x”, de exemplu, și încercăm (mental sau într-o schiță) să înlocuim acest sens în „expresie îngrozitoare”.

1) Mai întâi trebuie să calculăm expresia, ceea ce înseamnă că suma este cea mai adâncă încorporare.

2) Apoi trebuie să calculați logaritmul:

4) Apoi cubează cosinusul:

5) La al cincilea pas diferența:

6) Și în sfârșit, funcția cea mai exterioară este rădăcina pătrată:

Formula pentru diferențierea unei funcții complexe sunt aplicate în ordine inversă, de la funcția cea mai exterioară la cea mai interioară. Noi decidem:

Se pare că nu există erori...

(1) Luați derivata rădăcinii pătrate.

(2) Luăm derivata diferenței folosind regula

(3) Derivata unui triplu este zero. În al doilea termen luăm derivata gradului (cubul).

(4) Luați derivata cosinusului.

(5) Luați derivata logaritmului.

(6) Și, în sfârșit, luăm derivata celei mai profunde încorporare.

Poate părea prea dificil, dar acesta nu este cel mai brutal exemplu. Luați, de exemplu, colecția lui Kuznetsov și veți aprecia toată frumusețea și simplitatea derivatului analizat. Am observat că le place să dea un lucru similar la un examen pentru a verifica dacă un student înțelege cum să găsească derivata unei funcții complexe sau nu înțelege.

Următorul exemplu este pe care îl puteți rezolva singur.

Exemplul 3

Aflați derivata unei funcții

Sugestie: Mai întâi aplicăm regulile de liniaritate și regula de diferențiere a produsului

Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.

Este timpul să trecem la ceva mai mic și mai frumos.
Nu este neobișnuit ca un exemplu să arate produsul nu doi, dar trei funcții. Cum să găsiți derivata produsului a trei factori?

Exemplul 4

Aflați derivata unei funcții

Mai întâi ne uităm, este posibil să transformăm produsul a trei funcții în produsul a două funcții? De exemplu, dacă am avea două polinoame în produs, atunci am putea deschide parantezele. Dar în exemplul luat în considerare, toate funcțiile sunt diferite: grad, exponent și logaritm.

În astfel de cazuri este necesar secvenţial aplica regula de diferentiere a produselor de două ori

Trucul este că prin „y” notăm produsul a două funcții: , iar cu „ve” notăm logaritmul: . De ce se poate face asta? Este posibil – acesta nu este un produs al doi factori și regula nu funcționează?! Nu este nimic complicat:

Acum rămâne să aplici regula a doua oară la paranteză:

De asemenea, puteți să vă răsuciți și să scoateți ceva din paranteze, dar în acest caz este mai bine să lăsați răspunsul exact în această formă - va fi mai ușor de verificat.

Exemplul luat în considerare poate fi rezolvat în al doilea mod:

Ambele soluții sunt absolut echivalente.

Exemplul 5

Aflați derivata unei funcții

Acesta este un exemplu pentru o soluție independentă în probă se rezolvă folosind prima metodă.

Să ne uităm la exemple similare cu fracții.

Exemplul 6

Aflați derivata unei funcții

Există mai multe moduri prin care puteți merge aici:

Sau cam asa:

Dar soluția se va scrie mai compact dacă folosim mai întâi regula de diferențiere a coeficientului , luând pentru întregul numărător:

În principiu, exemplul este rezolvat, iar dacă este lăsat așa, nu va fi o eroare. Dar dacă aveți timp, este întotdeauna indicat să verificați o ciornă pentru a vedea dacă răspunsul poate fi simplificat? Să reducem expresia numărătorului la un numitor comun și să scăpăm de fracția cu trei etaje:

Dezavantajul simplificărilor suplimentare este că există riscul de a greși nu la găsirea derivatei, ci în timpul transformărilor școlare banale. Pe de altă parte, profesorii resping adesea sarcina și cer să „aducă în minte” derivatul.

Un exemplu mai simplu de rezolvat singur:

Exemplul 7

Aflați derivata unei funcții

Continuăm să stăpânim metodele de găsire a derivatei și acum vom lua în considerare un caz tipic în care se propune un logaritm „teribil” pentru diferențiere

Exemplul 8

Aflați derivata unei funcții

Aici puteți merge pe calea lungă, folosind regula pentru diferențierea unei funcții complexe:

Dar chiar primul pas te cufundă imediat în deznădejde - trebuie să iei derivatul neplăcut dintr-o putere fracțională și apoi și dintr-o fracțiune.

De aceea înainte cum să luăm derivata unui logaritm „sofisticat”, aceasta este mai întâi simplificată folosind proprietățile școlii bine-cunoscute:

! Dacă aveți la îndemână un caiet de practică, copiați aceste formule direct acolo. Dacă nu aveți un caiet, copiați-le pe o coală de hârtie, deoarece exemplele rămase ale lecției se vor învârti în jurul acestor formule.

Soluția în sine poate fi scrisă cam așa:

Să transformăm funcția:

Găsirea derivatei:

Preconversia funcției în sine a simplificat foarte mult soluția. Astfel, atunci când se propune un logaritm similar pentru diferențiere, este întotdeauna recomandabil să-l „defalci”.

Și acum câteva exemple simple pe care să le rezolvați singur:

Exemplul 9

Aflați derivata unei funcții

Exemplul 10

Aflați derivata unei funcții

Toate transformările și răspunsurile sunt la sfârșitul lecției.

Derivată logaritmică

Dacă derivatul logaritmilor este o muzică atât de dulce, atunci se pune întrebarea: este posibil în unele cazuri să se organizeze logaritmul în mod artificial? Poate! Și chiar necesar.

Exemplul 11

Aflați derivata unei funcții

Am analizat recent exemple similare. Ce să fac? Puteți aplica succesiv regula de diferențiere a coeficientului, iar apoi regula de diferențiere a produsului. Dezavantajul acestei metode este că ajungeți cu o fracție uriașă de trei etaje, cu care nu doriți să vă ocupați deloc.

Dar în teorie și practică există un lucru atât de minunat ca derivata logaritmică. Logaritmii pot fi organizați artificial prin „atârnând” pe ambele părți:

Acum trebuie să „dezintegrați” cât mai mult posibil logaritmul din partea dreaptă (formule în fața ochilor voștri?). Voi descrie acest proces în detaliu:

Să începem cu diferențierea.
Încheiem ambele părți sub primul:

Derivatul din partea dreaptă este destul de simplu, nu îl voi comenta, pentru că dacă citiți acest text, ar trebui să îl puteți gestiona cu încredere.

Dar partea stângă?

Pe partea stângă avem functie complexa. Prevăd întrebarea: „De ce, există o literă „Y” sub logaritm?”

Faptul este că acest „joc cu o literă” - ESTE ÎNȘI O FUNCȚIE(dacă nu este foarte clar, consultați articolul Derivată a unei funcții specificată implicit). Prin urmare, logaritmul este o funcție externă, iar „y” este o funcție internă. Și folosim regula pentru diferențierea unei funcții complexe :

În partea stângă, ca prin farmec, avem un derivat. Apoi, conform regulii proporției, transferăm „y” de la numitorul părții stângi în partea de sus a părții drepte:

Și acum să ne amintim despre ce fel de funcție „jucător” am vorbit în timpul diferențierii? Să ne uităm la starea:

Raspuns final:

Exemplul 12

Aflați derivata unei funcții

Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Un exemplu de proiect al unui exemplu de acest tip se află la sfârșitul lecției.

Folosind derivata logaritmică, a fost posibil să se rezolve oricare dintre exemplele nr. 4-7, un alt lucru este că funcțiile de acolo sunt mai simple și, poate, utilizarea derivatei logaritmice nu este foarte justificată.

Derivată a unei funcții putere-exponențială

Această funcțieÎncă nu ne-am uitat la el. O funcție exponențială putere este o funcție pentru care atât gradul cât și baza depind de „x”. Un exemplu clasic care vă va fi dat în orice manual sau prelegere:

Cum se găsește derivata unei funcții putere-exponențială?

Este necesar să se folosească tehnica tocmai discutată - derivata logaritmică. Agățăm logaritmi pe ambele părți:

De regulă, în partea dreaptă, gradul este scos de sub logaritm:

Ca urmare, în partea dreaptă avem produsul a două funcții, care vor fi diferențiate conform formulei standard .

Găsim derivata pentru a face acest lucru, închidem ambele părți sub linii:

Următorii pași sunt simple:

In sfarsit:

Dacă orice conversie nu este complet clară, vă rugăm să recitiți cu atenție explicațiile din Exemplul #11.

În sarcinile practice, funcția putere-exponențială va fi întotdeauna mai complexă decât exemplul de prelegere discutat.

Exemplul 13

Aflați derivata unei funcții

Folosim derivata logaritmică.

În partea dreaptă avem o constantă și produsul a doi factori - „x” și „logaritmul logaritmului x” (un alt logaritm este imbricat sub logaritm). Când diferențiem, așa cum ne amintim, este mai bine să mutați imediat constanta din semnul derivat, astfel încât să nu împiedice; și, bineînțeles, aplicăm regula familiară :

După cum puteți vedea, algoritmul pentru utilizarea derivatei logaritmice nu conține niciun truc sau truc special, iar găsirea derivatei unei funcții exponențiale de putere nu este de obicei asociată cu „chin”.

Nivel de intrare

Derivata unei functii. Ghid cuprinzător (2019)

Să ne imaginăm un drum drept care trece printr-o zonă deluroasă. Adică urcă și coboară, dar nu se întoarce la dreapta sau la stânga. Dacă axa este îndreptată orizontal de-a lungul drumului și vertical, atunci linia drumului va fi foarte similară cu graficul unei funcții continue:

Axa este un anumit nivel de altitudine zero în viață, folosim nivelul mării.

Pe măsură ce înaintăm pe un astfel de drum, ne deplasăm și în sus sau în jos. Mai putem spune: atunci când argumentul se schimbă (deplasare de-a lungul axei absciselor), se modifică valoarea funcției (deplasare de-a lungul axei ordonatelor). Acum să ne gândim cum să determinăm „abruptul” drumului nostru? Ce fel de valoare ar putea fi aceasta? Este foarte simplu: cât de mult se va schimba înălțimea atunci când înaintezi o anumită distanță. Într-adevăr, pe diferite secțiuni ale drumului, deplasându-ne înainte (de-a lungul axei x) cu un kilometru, vom crește sau coborî cu un număr diferit de metri față de nivelul mării (de-a lungul axei y).

Să notăm progresul (a se citi „delta x”).

Litera greacă (delta) este folosită în mod obișnuit în matematică ca prefix care înseamnă „schimbare”. Adică - aceasta este o schimbare în cantitate, - o schimbare; atunci ce este? Așa e, o schimbare de amploare.

Important: o expresie este un singur întreg, o variabilă. Nu separa niciodată „delta” de „x” sau de orice altă literă!

Adică, de exemplu, .

Deci, am avansat, pe orizontală, cu. Dacă comparăm linia drumului cu graficul funcției, atunci cum notăm creșterea? Cu siguranță, . Adică, pe măsură ce înaintăm, ne ridicăm mai sus.

Valoarea este ușor de calculat: dacă la început eram la înălțime, iar după mutare ne-am trezit la înălțime, atunci. Dacă punctul final este mai jos decât punctul de început, va fi negativ - asta înseamnă că nu urcăm, ci coborăm.

Să revenim la „abrupte”: aceasta este o valoare care arată cât de mult (abrupt) crește înălțimea atunci când avansăm cu o unitate de distanță:

Să presupunem că pe o anumită porțiune de drum, atunci când înaintează cu un kilometru, drumul se ridică cu un kilometru. Atunci panta în acest loc este egală. Și dacă drumul, în timp ce mergea înainte cu m, scădea cu km? Atunci panta este egală.

Acum să ne uităm la vârful unui deal. Dacă luați începutul tronsonului cu jumătate de kilometru înainte de vârf, iar sfârșitul cu jumătate de kilometru după acesta, puteți vedea că înălțimea este aproape aceeași.

ÎN viata reala Măsurarea distanțelor la cel mai apropiat milimetru este mai mult decât suficientă. Dar matematicienii luptă întotdeauna spre perfecțiune. Prin urmare, conceptul a fost inventat infinitezimal, adică valoarea absolută este mai mică decât orice număr pe care îl putem numi. De exemplu, spui: o trilionime! Cu cât mai puțin? Și împărțiți acest număr la - și va fi și mai puțin. Și așa mai departe. Dacă vrem să scriem că o mărime este infinitezimală, scriem astfel: (citim „x tinde spre zero”). Este foarte important de înțeles că acest număr nu este egal cu zero! Dar foarte aproape de ea. Aceasta înseamnă că puteți împărți cu el.

Conceptul opus infinitezimal este infinit de mare (). Probabil l-ați întâlnit deja când lucrați la inegalități: acest număr este modulo mai mare decât orice număr la care vă puteți gândi. Dacă găsiți cel mai mare număr posibil, înmulțiți-l cu doi și veți obține un număr și mai mare. Iar infinitul este chiar mai mare decât ceea ce se întâmplă. De fapt, infinit de mare și infinit de mic sunt invers unul față de celălalt, adică la și invers: la.

Acum să ne întoarcem la drumul nostru. Panta calculată în mod ideal este panta calculată pentru un segment infinitezimal al traseului, adică:

Observ că, cu o deplasare infinitezimală, modificarea înălțimii va fi și ea infinitezimală. Dar permiteți-mi să vă reamintesc că infinitezimal nu înseamnă egal cu zero. Dacă împărțiți numere infinitezimale între ele, puteți obține un număr complet obișnuit, de exemplu, . Adică, o valoare mică poate fi de exact ori mai mare decât alta.

Pentru ce sunt toate acestea? Drumul, abruptul... Nu mergem la un raliu de mașini, dar predăm matematică. Și în matematică totul este exact la fel, doar numit diferit.

Conceptul de derivat

Derivata unei funcții este raportul dintre incrementul funcției și incrementul argumentului pentru o creștere infinitezimală a argumentului.

Treptatîn matematică ei numesc schimbare. Se numește măsura în care argumentul () se schimbă pe măsură ce se mișcă de-a lungul axei increment de argumentși este desemnat cât de mult s-a schimbat funcția (înălțimea) când se deplasează înainte de-a lungul axei cu o distanță creșterea funcției si este desemnat.

Deci, derivata unei funcții este raportul față de când. Notăm derivata cu aceeași literă ca și funcția, doar cu un prim în dreapta sus: sau pur și simplu. Deci, să scriem formula derivată folosind aceste notații:

Ca și în analogia cu drumul, aici când funcția crește, derivata este pozitivă, iar când scade, este negativă.

Derivata poate fi egala cu zero? Cu siguranţă. De exemplu, dacă conducem pe un drum orizontal plat, abruptul este zero. Și este adevărat, înălțimea nu se schimbă deloc. Așa este și cu derivata: derivata unei funcții constante (constante) este egală cu zero:

deoarece incrementul unei astfel de funcții este egal cu zero pentru oricare.

Să ne amintim exemplul de pe deal. S-a dovedit că este posibil să se aranjeze capetele segmentului pe părți opuse ale vârfului astfel încât înălțimea la capete să fie aceeași, adică segmentul este paralel cu axa:

Dar segmentele mari sunt un semn de măsurare inexactă. Ne vom ridica segmentul paralel cu el însuși, apoi lungimea acestuia va scădea.

În cele din urmă, când suntem infinit aproape de vârf, lungimea segmentului va deveni infinitezimală. Dar, în același timp, a rămas paralel cu axa, adică diferența de înălțime la capete este egală cu zero (nu tinde, dar este egală). Deci derivata

Acest lucru poate fi înțeles astfel: când stăm în vârf, o mică deplasare la stânga sau la dreapta ne schimbă neglijabil înălțimea.

Există și o explicație pur algebrică: la stânga vârfului funcția crește, iar la dreapta scade. După cum am aflat mai devreme, atunci când o funcție crește, derivata este pozitivă, iar când scade, este negativă. Dar se schimbă lin, fără sărituri (întrucât drumul nu își schimbă brusc panta nicăieri). Prin urmare, trebuie să existe între valori negative și pozitive. Acesta va fi acolo unde funcția nici nu crește, nici nu scade - în punctul de vârf.

Același lucru este valabil și pentru jgheab (zona în care funcția din stânga scade și din dreapta crește):

Mai multe despre creșteri.

Deci schimbăm argumentul în mărime. Ne schimbăm de la ce valoare? Ce a devenit (argumentul) acum? Putem alege orice punct, iar acum vom dansa din el.

Luați în considerare un punct cu o coordonată. Valoarea funcției din ea este egală. Apoi facem aceeași creștere: creștem coordonatele cu. Care este argumentul acum? Foarte usor: . Care este valoarea funcției acum? Unde merge argumentul, la fel merge și funcția: . Cum rămâne cu creșterea funcției? Nimic nou: aceasta este încă suma cu care funcția s-a schimbat:

Exersați găsirea incrementelor:

1. Găsiți incrementul funcției într-un punct în care incrementul argumentului este egal cu.
2. Același lucru este valabil și pentru funcția la un punct.

Solutii:

În puncte diferite cu același argument increment, incrementul funcției va fi diferit. Aceasta înseamnă că derivata în fiecare punct este diferită (am discutat despre asta chiar de la început - abruptul drumului este diferit în puncte diferite). Prin urmare, atunci când scriem o derivată, trebuie să indicăm în ce moment:

Funcția de putere.

O funcție de putere este o funcție în care argumentul este într-o anumită măsură (logic, nu?).

Mai mult – în orice măsură: .

Cel mai simplu caz este când exponentul este:

Să-i găsim derivata la un punct. Să ne amintim definiția unei derivate:

Deci argumentul se schimbă de la la. Care este incrementul funcției?

Incrementul este acesta. Dar o funcție în orice punct este egală cu argumentul său. De aceea:

Derivata este egala cu:

Derivata lui este egala cu:

b) Acum considerăm funcția pătratică (): .

Acum să ne amintim asta. Aceasta înseamnă că valoarea incrementului poate fi neglijată, deoarece este infinitezimală și, prin urmare, nesemnificativă pe fondul celuilalt termen:

Deci, am venit cu o altă regulă:

c) Continuăm seria logică: .

Această expresie poate fi simplificată în diferite moduri: deschideți prima paranteză folosind formula de înmulțire abreviată a cubului sumei sau factorizați întreaga expresie folosind formula diferenței cuburilor. Încercați să o faceți singur folosind oricare dintre metodele sugerate.

Deci, am primit următoarele:

Și din nou să ne amintim asta. Aceasta înseamnă că putem neglija toți termenii care conțin:

Primim: .

d) Reguli similare pot fi obținute pentru puteri mari:

e) Rezultă că această regulă poate fi generalizată pentru o funcție de putere cu un exponent arbitrar, nici măcar un număr întreg:

(2)

Regula poate fi formulată în cuvintele: „gradul este prezentat ca coeficient și apoi redus cu ”.

Vom demonstra această regulă mai târziu (aproape la sfârșit). Acum să ne uităm la câteva exemple. Aflați derivata funcțiilor:

1. (în două moduri: prin formulă și folosind definiția derivatei - prin calcularea incrementului funcției);

1. . Credeți sau nu, aceasta este o funcție de putere. Dacă aveți întrebări precum „Cum este asta? Unde este gradul?”, amintiți-vă subiectul „”!
   Da, da, rădăcina este și ea un grad, doar fracțional: .
   Aceasta înseamnă că rădăcina noastră pătrată este doar o putere cu un exponent:
   .
   Căutăm derivata folosind formula recent învățată:

   Dacă în acest moment devine din nou neclar, repetați subiectul „”!!! (aproximativ un grad cu un exponent negativ)

2. . Acum exponentul:

   Și acum prin definiție (ai uitat încă?):
   ;
   .
   Acum, ca de obicei, neglijăm termenul care conține:
   .

3. . Combinație de cazuri anterioare: .

Funcții trigonometrice.

Aici vom folosi un fapt din matematica superioară:

Cu expresie.

Dovada o vei învăța în primul an de institut (și pentru a ajunge acolo, trebuie să treci bine Examenul Unificat de Stat). Acum o voi arăta doar grafic:

Vedem că atunci când funcția nu există - punctul de pe grafic este tăiat. Dar cu cât este mai aproape de valoare, cu atât funcția este mai aproape de aceasta.

În plus, puteți verifica această regulă folosind un calculator. Da, da, nu fi timid, ia un calculator, nu suntem încă la examenul de stat unificat.

Deci, să încercăm: ;

Nu uitați să comutați calculatorul în modul Radians!

etc. Vedem că cu cât mai puțin, cu atât valoare mai apropiată relatie cu

a) Luați în considerare funcția. Ca de obicei, să-i găsim incrementul:

Să transformăm diferența de sinusuri într-un produs. Pentru a face acest lucru, folosim formula (rețineți subiectul „”): .

Acum derivata:

Să facem un înlocuitor: . Atunci pentru infinitezimal este și infinitezimal: . Expresia pentru ia forma:

Și acum ne amintim asta cu expresia. Și, de asemenea, ce se întâmplă dacă o cantitate infinitezimală poate fi neglijată în sumă (adică la).

Deci primim următoarea regulă:derivata sinusului este egală cu cosinusul:

Acestea sunt derivate de bază („tabulare”). Iată-le într-o singură listă:

Mai târziu le vom adăuga câteva, dar acestea sunt cele mai importante, deoarece sunt folosite cel mai des.

Practica:

1. Aflați derivata funcției într-un punct;
2. Aflați derivata funcției.

Solutii:

1. Mai întâi, să găsim derivata în vedere generală, apoi înlocuiți-i valoarea:
   ;
   .
2. Aici avem ceva similar cu o funcție de putere. Să încercăm să o aducem la
   vedere normală:
   .
   Grozav, acum poți folosi formula:
   .
   .
3. . Eeeeeee.....Ce este asta????

Bine, ai dreptate, încă nu știm cum să găsim astfel de derivate. Aici avem o combinație de mai multe tipuri de funcții. Pentru a lucra cu ei, trebuie să înveți mai multe reguli:

Exponent și logaritm natural.

Există o funcție în matematică a cărei derivată pentru orice valoare este egală cu valoarea funcției însăși în același timp. Se numește „exponent” și este o funcție exponențială

Baza acestei funcții este o constantă - este infinită zecimal, adică un număr irațional (cum ar fi). Se numește „numărul Euler”, motiv pentru care este notat cu o literă.

Deci, regula:

Foarte ușor de reținut.

Ei bine, să nu mergem departe, să luăm imediat în considerare funcția inversă. Care funcție este inversul funcției exponențiale? Logaritm:

În cazul nostru, baza este numărul:

Un astfel de logaritm (adică un logaritm cu bază) se numește „natural” și folosim o notație specială pentru el: scriem în schimb.

Cu ce ​​este egal? Desigur.

Derivata logaritmului natural este, de asemenea, foarte simplă:

Exemple:

1. Aflați derivata funcției.
2. Care este derivata functiei?

Raspunsuri: Logaritmul exponențial și natural sunt funcții unice simple dintr-o perspectivă derivată. Funcțiile exponențiale și logaritmice cu orice altă bază vor avea o derivată diferită, pe care o vom analiza mai târziu, după ce vom parcurge regulile de diferențiere.

Reguli de diferențiere

Reguli de ce? Din nou un nou termen, din nou?!...

Diferenţiere este procesul de găsire a derivatei.

Asta e tot. Ce altceva poți numi acest proces într-un singur cuvânt? Nu este derivată... Diferenţialul matematicienilor este acelaşi increment al unei funcţii la. Acest termen provine din latinescul diferentia - diferenta. Aici.

Când derivăm toate aceste reguli, vom folosi două funcții, de exemplu, și. De asemenea, vom avea nevoie de formule pentru incrementele lor:

Sunt 5 reguli în total.

Constanta este scoasă din semnul derivatului.

Dacă - un număr constant (constant), atunci.

Evident, această regulă funcționează și pentru diferența: .

Să demonstrăm. Să fie, sau mai simplu.

Exemple.

Aflați derivatele funcțiilor:

1. la un punct;
2. la un punct;
3. la un punct;
4. la punct.

Solutii:

1. (derivata este aceeași în toate punctele, deoarece aceasta funcţie liniară, îți amintești?);

Derivat al produsului

Totul este similar aici: să introducem o nouă funcție și să găsim incrementul acesteia:

Derivat:

Exemple:

1. Aflați derivatele funcțiilor și;
2. Aflați derivata funcției într-un punct.

Solutii:

Derivata unei functii exponentiale

Acum cunoștințele tale sunt suficiente pentru a învăța cum să găsești derivata oricărei funcții exponențiale și nu doar exponenți (ai uitat încă ce este asta?).

Deci, unde este un număr.

Știm deja derivata funcției, așa că să încercăm să aducem funcția noastră la o nouă bază:

Pentru aceasta vom folosi regula simpla: . Apoi:

Ei bine, a funcționat. Acum încercați să găsiți derivata și nu uitați că această funcție este complexă.

A funcționat?

Iată, verifică-te:

Formula s-a dovedit a fi foarte asemănătoare cu derivata unui exponent: așa cum a fost, rămâne aceeași, a apărut doar un factor, care este doar un număr, dar nu o variabilă.

Exemple:
Aflați derivatele funcțiilor:

Raspunsuri:

Acesta este doar un număr care nu poate fi calculat fără un calculator, adică nu poate fi scris într-o formă mai simplă. Prin urmare, îl lăsăm în această formă în răspuns.

Derivată a unei funcții logaritmice

Este similar și aici: știți deja derivata logaritmului natural:

Prin urmare, pentru a găsi un logaritm arbitrar cu o bază diferită, de exemplu:

Trebuie să reducem acest logaritm la bază. Cum schimbi baza unui logaritm? Sper să vă amintiți această formulă:

Abia acum vom scrie în schimb:

Numitorul este pur și simplu o constantă (un număr constant, fără o variabilă). Derivata se obține foarte simplu:

Derivate ale funcțiilor exponențiale și logaritmice nu se găsesc aproape niciodată în examenul de stat unificat, dar nu va fi de prisos să le cunoaștem.

Derivată a unei funcții complexe.

Ce este o „funcție complexă”? Nu, acesta nu este un logaritm și nu o arctangentă. Aceste funcții pot fi greu de înțeles (deși dacă ți se pare dificil logaritmul, citește subiectul „Logaritmi” și vei fi bine), dar din punct de vedere matematic, cuvântul „complex” nu înseamnă „dificil”.

Imaginați-vă o bandă rulantă mică: două persoane stau și fac niște acțiuni cu unele obiecte. De exemplu, primul învelește un baton de ciocolată într-un ambalaj, iar al doilea îl leagă cu o panglică. Rezultatul este un obiect compozit: un baton de ciocolată înfășurat și legat cu o panglică. Pentru a mânca batonul de ciocolată, trebuie să faceți pașii inversați în ordine inversă.

Să creăm o conductă matematică similară: mai întâi vom găsi cosinusul unui număr, apoi vom pătrat numărul rezultat. Așadar, ni se dă un număr (ciocolată), îi găsesc cosinus (înveliș), iar apoi pătrați ceea ce am primit (legați-l cu o panglică). Ce s-a întâmplat? Funcţie. Acesta este un exemplu de funcție complexă: când, pentru a-i găsi valoarea, executăm prima acțiune direct cu variabila, iar apoi o a doua acțiune cu ceea ce a rezultat din prima.

Putem face cu ușurință aceiași pași în ordine inversă: mai întâi îl pătrați, iar apoi caut cosinusul numărului rezultat: . Este ușor de ghicit că rezultatul va fi aproape întotdeauna diferit. Caracteristică importantă funcții complexe: atunci când ordinea acțiunilor se schimbă, funcția se schimbă.

Cu alte cuvinte, o funcție complexă este o funcție al cărei argument este o altă funcție: .

Pentru primul exemplu, .

Al doilea exemplu: (același lucru). .

Acțiunea pe care o facem ultima va fi numită funcția „externă”., iar acțiunea efectuată prima - în consecință funcția „internă”.(acestea sunt nume informale, le folosesc doar pentru a explica materialul într-un limbaj simplu).

Încercați să determinați singur ce funcție este externă și care este internă:

Raspunsuri: Separarea funcțiilor interioare și exterioare este foarte asemănătoare cu schimbarea variabilelor: de exemplu, într-o funcție

1. Ce acțiune vom efectua mai întâi? Mai întâi, să calculăm sinusul și abia apoi să-l cubăm. Aceasta înseamnă că este o funcție internă, dar una externă.
   Iar funcția inițială este compoziția lor: .
2. Intern: ; extern: .
   Examinare: .
3. Intern: ; extern: .
   Examinare: .
4. Intern: ; extern: .
   Examinare: .
5. Intern: ; extern: .
   Examinare: .

Schimbăm variabilele și obținem o funcție.

Ei bine, acum ne vom extrage batonul de ciocolată și vom căuta derivatul. Procedura este întotdeauna inversată: mai întâi căutăm derivata funcției exterioare, apoi înmulțim rezultatul cu derivata funcției interioare. În raport cu exemplul original, arată astfel:

Un alt exemplu:

Deci, să formulăm în sfârșit regula oficială:

Algoritm pentru găsirea derivatei unei funcții complexe:

Pare simplu, nu?

Să verificăm cu exemple:

Solutii:

1) Intern: ;

Extern: ;

2) Intern: ;

(doar nu încercați să o tăiați până acum! Nu iese nimic de sub cosinus, vă amintiți?)

3) Intern: ;

Extern: ;

Este imediat clar că aceasta este o funcție complexă pe trei niveluri: la urma urmei, aceasta este deja o funcție complexă în sine și extragem și rădăcina din ea, adică efectuăm a treia acțiune (punem ciocolata într-un ambalaj iar cu o panglică în servietă). Dar nu există niciun motiv să ne fie frică: vom „despacheta” această funcție în aceeași ordine ca de obicei: de la sfârșit.

Adică, mai întâi diferențiem rădăcina, apoi cosinusul și abia apoi expresia dintre paranteze. Și apoi înmulțim totul.

În astfel de cazuri, este convenabil să numerotați acțiunile. Adică să ne imaginăm ce știm. În ce ordine vom efectua acțiuni pentru a calcula valoarea acestei expresii? Să ne uităm la un exemplu:

Cu cât acțiunea este efectuată mai târziu, cu atât funcția corespunzătoare va fi mai „externă”. Secvența acțiunilor este aceeași ca înainte:

Aici cuibărirea este în general pe 4 niveluri. Să stabilim cursul acțiunii.

1. Exprimarea radicală. .

2. Rădăcină. .

3. Sine. .

4. Pătrat. .

5. Punând totul împreună:

DERIVAT. SCURT DESPRE LUCRURILE PRINCIPALE

Derivată a unei funcții- raportul dintre incrementul funcției și incrementul argumentului pentru o creștere infinitezimală a argumentului:

Derivate de bază:

Reguli de diferentiere:

Constanta este scoasă din semnul derivat:

Derivată a sumei:

Derivat al produsului:

Derivată a coeficientului:

Derivata unei functii complexe:

Algoritm pentru găsirea derivatei unei funcții complexe:

1. Definim funcția „internă” și găsim derivata ei.
2. Definim funcția „externă” și găsim derivata ei.
3. Înmulțim rezultatele primului și celui de-al doilea punct.

Derivarea formulei pentru derivata unei funcții putere (x la puterea lui a). Sunt considerate derivate din rădăcinile lui x. Formula pentru derivata unei funcții de putere de ordin superior. Exemple de calculare a derivatelor.

Derivata lui x la puterea lui a este egală cu a ori x puterea unui minus unu:
(1) .

Derivata rădăcinii a n-a a lui x la a-a putere este:
(2) .

Derivarea formulei pentru derivata unei funcții de putere

Cazul x > 0

Să considerăm o funcție de putere a variabilei x cu exponent a:
(3) .
Aici a este un număr real arbitrar. Să luăm în considerare mai întâi cazul.

Pentru a găsi derivata funcției (3), folosim proprietățile unei funcții de putere și o transformăm în următoarea formă:
.

Acum găsim derivata folosind:
;
.
Aici .

Formula (1) a fost dovedită.

Derivarea formulei pentru derivata rădăcinii de gradul n a lui x la gradul de m

Acum luați în considerare o funcție care este rădăcina următoarei forme:
(4) .

Pentru a găsi derivata, transformăm rădăcina într-o funcție de putere:
.
Comparând cu formula (3) vedem că
.
De atunci
.

Folosind formula (1) găsim derivata:
(1) ;
;
(2) .

În practică, nu este nevoie să memorați formula (2). Este mult mai convenabil să transformați mai întâi rădăcinile în funcții de putere și apoi să găsiți derivatele lor folosind formula (1) (vezi exemplele de la sfârșitul paginii).

Cazul x = 0

Dacă , atunci funcția de putere este definită pentru valoarea variabilei x = 0 . 0 Să găsim derivata funcției (3) la x =
.

. 0 :
.
Pentru a face acest lucru, folosim definiția unei derivate:

Aici o punem la punct.
.
Să înlocuim x =
În acest caz, prin derivată înțelegem limita din dreapta pentru care .
În acest caz, prin derivată înțelegem limita din dreapta pentru care .
Din aceasta rezultă clar că pentru , .
(1) .
La , . 0 .

Acest rezultat se obține și din formula (1):< 0

Prin urmare, formula (1) este valabilă și pentru x =
(3) .
Cazul x
,
Luați în considerare din nou funcția (3):

Pentru anumite valori ale constantei a, este definită și pentru valori negative ale variabilei x. 3 Și anume, fie a un număr rațional. Apoi poate fi reprezentat ca o fracție ireductibilă: 1 unde m și n sunt numere întregi care nu au un divizor comun.
.
Dacă n este impar, atunci funcția de putere este definită și pentru valorile negative ale variabilei x.

De exemplu, când n =
.
și m =
.
avem rădăcina cubă a lui x:

.
De asemenea, este definit pentru valorile negative ale variabilei x.
.
Derivatul său este determinat prin formula (9). Variabilele pot fi desemnate prin orice literă. În formula (9), înlocuiți variabila x cu y:
.
De atunci
.
Să găsim derivata funcției de putere (3) pentru și pentru valorile raționale ale constantei a pentru care este definită. Pentru a face acest lucru, să reprezentăm x în următoarea formă:
(1) .

Apoi,

Găsim derivata plasând constanta în afara semnului derivatei și aplicând regula de diferențiere a unei funcții complexe:
(3) .
Aici . Dar
.

Adică, formula (1) este valabilă și pentru:
.
Derivate de ordin superior
;

.

Acum să găsim derivate de ordin superior ale funcției de putere Am găsit deja derivata de ordinul întâi: Luând constanta a în afara semnului derivatei, găsim derivata de ordinul doi:
.

În mod similar, găsim derivate de ordinul al treilea și al patrulea: Din aceasta este clar că derivată de ordin al n-lea arbitrar
.
are următoarea formă:
,
Rețineți că

Exemple de calculare a derivatelor

De aici

Aflați derivata funcției:
.

lnnx

Să convertim rădăcinile în puteri:
;
.
Atunci funcția originală ia forma:
.

Găsirea derivatelor puterilor:
;
.
Derivata constantei este zero:
.