Bir segmentteki bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerleri nasıl bulunur?
Bunun için iyi bilinen bir algoritmayı takip ediyoruz:
1 . ODZ fonksiyonlarını bulma.
2 . Fonksiyonun türevini bulma
3 . Türevi sıfıra eşitlemek
4 . Türevin işaretini koruduğu aralıkları buluruz ve bunlardan fonksiyonun artış ve azalış aralıklarını belirleriz:
I aralığında fonksiyonun türevi 0 ise" title="f^(prime)(x)>0">, то функция !} bu aralıkta artar.
I aralığında fonksiyonun türevi varsa, o zaman fonksiyon bu aralıkta azalır.
5 . Buluyoruz fonksiyonun maksimum ve minimum noktaları.
İÇİNDE Fonksiyonun maksimum noktasında türevin işareti “+”dan “-”ye değişir..
İÇİNDE fonksiyonun minimum noktasıtürevin işareti "-"den "+"ya değişir.
6 . Fonksiyonun değerini segmentin uçlarında buluruz,
- daha sonra fonksiyonun değerini parçanın uçlarında ve maksimum noktalarında karşılaştırırız ve Fonksiyonun en büyük değerini bulmanız gerekiyorsa en büyüğünü seçin
- veya fonksiyonun değerini parçanın uçlarında ve minimum noktalarda karşılaştırın ve bulmanız gerekiyorsa en küçüğünü seçin en küçük değer işlevler
Ancak fonksiyonun segment üzerinde nasıl davrandığına bağlı olarak bu algoritma önemli ölçüde azaltılabilir.
İşlevi düşünün 
. Bu fonksiyonun grafiği şuna benzer:
Açık Görev Bankası'ndaki sorunların çözümüne ilişkin birkaç örneğe bakalım.
1. Görev B15 (No. 26695)
Segmentte.
1. Fonksiyon x'in tüm gerçek değerleri için tanımlanmıştır
Açıkçası, bu denklemin hiçbir çözümü yoktur ve türevi, x'in tüm değerleri için pozitiftir. Sonuç olarak fonksiyon artar ve aralığın sağ ucunda yani x=0 noktasında en büyük değeri alır.
Cevap: 5.
2 . Görev B15 (No. 26702)
Fonksiyonun en büyük değerini bulun 
segmentte.
1. ODZ fonksiyonları title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}
Türev sıfıra eşittir ancak bu noktalarda işareti değişmez:
Bu nedenle, title="3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} artar ve aralığın sağ ucunda en büyük değeri alır.
Türevin neden işaret değiştirmediğini açıklığa kavuşturmak için türev ifadesini aşağıdaki gibi dönüştürürüz:
Title="y^(prime)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}
Cevap: 5.
3. Görev B15 (No. 26708)
Fonksiyonun segmentteki en küçük değerini bulun.
1. ODZ işlevleri: title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}
Bu denklemin köklerini trigonometrik çemberin üzerine yerleştirelim.
Aralık iki sayı içerir: ve
Tabelalar asalım. Bunu yapmak için x=0 noktasındaki türevin işaretini belirleriz: 
. Noktalardan geçerken türev işaret değiştirir.
Bir fonksiyonun türevinin işaretlerinin koordinat doğrusu üzerindeki değişimini gösterelim:
Açıkçası, bu nokta minimum bir noktadır (türevin işaretini “-” den “+” ya değiştirdiği nokta) ve segmentteki fonksiyonun en küçük değerini bulmak için fonksiyonun değerlerini şu noktada karşılaştırmanız gerekir: minimum nokta ve segmentin sol ucunda, .
Uçan bir öğrenci için cankurtaran görevi görecek türden minyatür ve oldukça basit bir problem. Doğada temmuzun ortası, bu yüzden dizüstü bilgisayarınızla sahilde oturmanın zamanı geldi. Sabahın erken saatlerinde, beyan edilen kolaylığa rağmen kumda cam kırıkları içeren uygulamaya kısa sürede odaklanmak için teorinin güneş ışığı oynamaya başladı. Bu bağlamda bu sayfadaki birkaç örneği dikkatle incelemenizi tavsiye ederim. Pratik sorunları çözmek için şunları yapabilmeniz gerekir: türevleri bul ve makalenin içeriğini anlayın Fonksiyonun monotonluk aralıkları ve ekstremumları.
İlk olarak, ana şey hakkında kısaca. Konuyla ilgili derste fonksiyonun sürekliliği Bir noktada sürekliliğin ve aralıkta sürekliliğin tanımını verdim. Bir fonksiyonun bir segment üzerindeki örnek davranışı benzer şekilde formüle edilir. Bir fonksiyon aşağıdaki durumlarda bir aralıkta süreklidir:
1) aralıkta süreklidir;
2) bir noktada sürekli Sağ ve bu noktada sol.
İkinci paragrafta sözde hakkında konuştuk. tek taraflı süreklilik bir noktada çalışır. Bunu tanımlamanın çeşitli yaklaşımları var, ancak daha önce başladığım çizgiye sadık kalacağım:
Fonksiyon bu noktada süreklidir. Sağ, eğer belirli bir noktada tanımlanmışsa ve sağdaki limiti, fonksiyonun belirli bir noktadaki değeriyle çakışıyorsa: 
. Bu noktada süreklidir sol, eğer belirli bir noktada tanımlanmışsa ve soldaki limiti bu noktadaki değere eşitse: 
Yeşil noktaların sihirli bir elastik bantla tutturulmuş çiviler olduğunu hayal edin:
Zihinsel olarak kırmızı çizgiyi elinize alın. Açıkçası, grafiği (eksen boyunca) yukarı ve aşağı ne kadar uzatırsak uzatalım, fonksiyon hala aynı kalacaktır. sınırlı– üstte çit, altta çit var ve ürünümüz padokta otluyor. Böylece, bir aralıkta sürekli olan bir fonksiyon bununla sınırlıdır. Matematiksel analiz sırasında, görünüşte basit olan bu gerçek ifade edilir ve kesinlikle kanıtlanır. Weierstrass'ın ilk teoremi....Birçok kişi, temel ifadelerin matematikte sıkıcı bir şekilde kanıtlanmasından rahatsızdır, ancak bunun önemli bir anlamı vardır. Orta Çağ'ın havlu kumaşından belli bir sakininin görünürlük sınırlarının ötesinde gökyüzüne bir grafik çektiğini varsayalım, bu eklendi. Teleskobun icadından önce uzaydaki sınırlı işlevi pek de açık değildi! Gerçekten ufukta bizi neyin beklediğini nereden biliyorsunuz? Sonuçta, bir zamanlar Dünya'nın düz olduğu düşünülüyordu, dolayısıyla bugün sıradan ışınlanma bile kanıt gerektiriyor =)
Buna göre Weierstrass'ın ikinci teoremi, bir segmentte süreklifonksiyon amacına ulaşır kesin üst sınır ve senin tam alt kenar .
Numaraya da denir fonksiyonun segmentteki maksimum değeri ve ile gösterilir ve sayı segmentteki fonksiyonun minimum değeri işaretlendi.
Bizim durumumuzda: 
Not
: teoride kayıtlar yaygındır 
.
Kabaca söylemek gerekirse, grafikte en büyük değer en yüksek noktanın olduğu yer, en küçük değer ise en alçak noktanın olduğu yerdir.
Önemli! Hakkında makalede daha önce vurgulandığı gibi fonksiyonun ekstremum değeri, en büyük fonksiyon değeri Ve en küçük fonksiyon değeri – AYNI DEĞİL, Ne maksimum fonksiyon Ve minimum fonksiyon. Dolayısıyla, söz konusu örnekte sayı, fonksiyonun minimum değeridir ancak minimum değeri değildir.
Bu arada segmentin dışında neler oluyor? Evet, söz konusu sorun bağlamında bir sel bile bizi hiç ilgilendirmiyor. Görev yalnızca iki sayı bulmayı içeriyor 
ve işte bu kadar!
Üstelik çözüm tamamen analitiktir, dolayısıyla çizim yapmaya gerek yok!
Algoritma yüzeyde yatıyor ve yukarıdaki şekilde kendini gösteriyor:
1) Fonksiyonun değerlerini bulun kritik noktalar, bu segmente ait olan.
Başka bir avantaj yakalayın: burada bir ekstremum için yeterli koşulu kontrol etmeye gerek yoktur, çünkü az önce gösterildiği gibi bir minimum veya maksimumun varlığı henüz garanti etmiyor, minimum nedir veya maksimum değer. Gösterim fonksiyonu maksimuma ulaşır ve kaderin iradesiyle aynı sayı, fonksiyonun segmentteki en büyük değeridir. Ancak elbette böyle bir tesadüf her zaman gerçekleşmez.
Böylece ilk adımda segmente ait kritik noktalardaki fonksiyonun değerlerini, ekstremumların olup olmadığına bakmadan hesaplamak daha hızlı ve kolaydır.
2) Segmentin uçlarındaki fonksiyonun değerlerini hesaplıyoruz.
3) 1. ve 2. paragraflarda bulunan fonksiyon değerlerinden en küçük ve en büyük sayıyı seçip cevabı yazınız.
Mavi denizin kıyısına oturup topuklarımızla sığ suya vuruyoruz:
Örnek 1
Bir segmentteki bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulun
Çözüm:
1) Fonksiyonun bu segmente ait kritik noktalardaki değerlerini hesaplayalım:
İkinci kritik noktada fonksiyonun değerini hesaplayalım:
2) Fonksiyonun parçanın uçlarındaki değerlerini hesaplayalım: 
3) Üslü sayılar ve logaritmalarla "kalın" sonuçlar elde edildi, bu da karşılaştırmalarını önemli ölçüde zorlaştırıyor. Bu nedenle, bir hesap makinesi veya Excel ile kendimizi silahlandıralım ve şunu unutmadan yaklaşık değerleri hesaplayalım: 
Artık her şey açık.
Cevap:
Bağımsız çözüm için kesirli-rasyonel örnek:
Örnek 6
Bir segmentteki bir fonksiyonun maksimum ve minimum değerlerini bulma
Pratik açıdan bakıldığında en büyük ilgi, bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulmak için türevi kullanmaktır. Bunun neyle bağlantısı var? Kârı en üst düzeye çıkarmak, maliyetleri en aza indirmek, optimum ekipman yükünü belirlemek... Başka bir deyişle, hayatın birçok alanında bazı parametreleri optimize etme sorunlarını çözmek zorundayız. Bunlar da bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulma görevleridir.
Bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerinin genellikle, ya fonksiyonun tüm alanı ya da tanım alanının bir parçası olan belirli bir X aralığında arandığına dikkat edilmelidir. X aralığının kendisi bir parça, açık bir aralık olabilir 
, sonsuz bir aralık.
Bu yazımızda tek değişkenli y=f(x) 'in açıkça tanımlanmış bir fonksiyonunun en büyük ve en küçük değerlerinin bulunmasından bahsedeceğiz.
Sayfada gezinme.
Bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değeri - tanımlar, çizimler.
Kısaca ana tanımlara bakalım.
Fonksiyonun en büyük değeri 
bu herkes için 
eşitsizlik doğrudur.
Fonksiyonun en küçük değeri X aralığında y=f(x)'e böyle bir değer denir 
bu herkes için eşitsizlik doğrudur.
Bu tanımlar sezgiseldir: Bir fonksiyonun en büyük (en küçük) değeri, apsiste söz konusu aralıkta kabul edilen en büyük (en küçük) değerdir.
Sabit noktalar– bunlar, fonksiyonun türevinin sıfır olduğu argümanın değerleridir.
En büyük ve en küçük değerleri bulurken neden sabit noktalara ihtiyacımız var? Bu sorunun cevabı Fermat teoremi ile verilmektedir. Bu teoremden, türevlenebilir bir fonksiyonun bir noktada bir ekstremuma (yerel minimum veya yerel maksimum) sahip olması durumunda bu noktanın durağan olduğu sonucu çıkar. Bu nedenle, fonksiyon çoğu zaman en büyük (en küçük) değerini X aralığında bu aralığın durağan noktalarından birinde alır.
Ayrıca bir fonksiyon çoğu zaman en büyük ve en küçük değerlerini bu fonksiyonun birinci türevinin bulunmadığı ve fonksiyonun kendisinin tanımlandığı noktalarda alabilir.
Bu konuyla ilgili en sık sorulan sorulardan birine hemen cevap verelim: “Bir fonksiyonun en büyük (en küçük) değerini belirlemek her zaman mümkün müdür?” Hayır, her zaman değil. Bazen X aralığının sınırları, fonksiyonun tanım bölgesinin sınırlarıyla çakışır veya X aralığı sonsuzdur. Ve sonsuzdaki ve tanım alanının sınırlarındaki bazı fonksiyonlar hem sonsuz büyük hem de sonsuz küçük değerler alabilir. Bu durumlarda fonksiyonun en büyük ve en küçük değeri hakkında bir şey söylenemez.
Netlik sağlamak için grafiksel bir gösterim vereceğiz. Resimlere baktığınızda pek çok şey daha net hale gelecektir.
Segmentte
İlk şekilde fonksiyon [-6;6] segmenti içerisinde yer alan durağan noktalardaki en büyük (max y) ve en küçük (min y) değerlerini almaktadır.
İkinci şekilde gösterilen durumu düşünün. Segmenti olarak değiştirelim. Bu örnekte, fonksiyonun en küçük değeri sabit bir noktada, en büyüğü ise apsisin karşılık geldiği noktada elde edilir. sağ kenarlık aralık.
Şekil 3'te [-3;2] doğru parçasının sınır noktaları, fonksiyonun en büyük ve en küçük değerine karşılık gelen noktaların apsisleridir.
Açık bir aralıkta
Dördüncü şekilde fonksiyon, açık aralık (-6;6) içerisinde yer alan durağan noktalardaki en büyük (max y) ve en küçük (min y) değerlerini almaktadır.
Aralıkta en büyük değer hakkında hiçbir sonuç çıkarılamaz.
sonsuzlukta
Yedinci şekilde sunulan örnekte fonksiyon, apsis x=1 olan durağan bir noktada en büyük değeri (max y) almakta ve en küçük değere (min y) aralığın sağ sınırında ulaşmaktadır. Eksi sonsuzda fonksiyon değerleri asimptotik olarak y=3'e yaklaşır.
Aralık boyunca fonksiyon ne en küçük ne de en büyük değere ulaşır. X=2 sağdan yaklaştıkça fonksiyon değerleri eksi sonsuza doğru yönelir (x=2 doğrusu dikey bir asimptottur), apsis artı sonsuza doğru yöneldikçe fonksiyon değerleri asimptotik olarak y=3'e yaklaşır. Bu örneğin grafiksel gösterimi Şekil 8'de gösterilmektedir.
Bir segment üzerinde sürekli bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulma algoritması.
Bir segment üzerindeki bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulmamızı sağlayan bir algoritma yazalım.
- Fonksiyonun tanım alanını buluyoruz ve tüm segmenti içerip içermediğini kontrol ediyoruz.
- Birinci türevin bulunmadığı ve segmentte yer alan tüm noktaları buluruz (genellikle bu tür noktalar, modül işareti altında argümanı olan fonksiyonlarda bulunur ve güç fonksiyonları kesirli-rasyonel bir üs ile). Eğer böyle bir nokta yoksa, bir sonraki noktaya geçin.
- Segment içerisine düşen tüm sabit noktaları belirliyoruz. Bunu yapmak için onu sıfıra eşitliyoruz, ortaya çıkan denklemi çözüyoruz ve uygun kökleri seçiyoruz. Durağan nokta yoksa veya hiçbiri doğru parçasına girmiyorsa bir sonraki noktaya geçin.
- Fonksiyonun değerlerini seçilen sabit noktalarda (varsa), birinci türevin bulunmadığı noktalarda (varsa) ve ayrıca x=a ve x=b'de hesaplıyoruz.
- Fonksiyonun elde edilen değerlerinden en büyüğünü ve en küçüğünü seçiyoruz - bunlar sırasıyla fonksiyonun gerekli en büyük ve en küçük değerleri olacak.
Bir segmentteki bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulmaya yönelik bir örneği çözmek için algoritmayı analiz edelim.
Örnek.
Bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerini bulma
- segmentte;
- [-4;-1] segmentinde.
Çözüm.
Bir fonksiyonun tanım alanı, sıfır hariç, gerçek sayılar kümesinin tamamıdır. Her iki segment de tanım alanına girer.
Fonksiyonun türevini aşağıdakilere göre bulun: 
Açıkçası, fonksiyonun türevi doğru parçalarının tüm noktalarında ve [-4;-1]'de mevcuttur.
Denklemden sabit noktaları belirliyoruz. Tek gerçek kök x=2'dir. Bu durağan nokta ilk segmente girer.
İlk durumda fonksiyonun değerlerini parçanın uçlarında ve sabit noktada yani x=1, x=2 ve x=4 için hesaplıyoruz: 
Bu nedenle fonksiyonun en büyük değeri 
x=1'de elde edilir ve en küçük değer 
– x=2'de.
İkinci durumda, fonksiyon değerlerini yalnızca [-4;-1] segmentinin uçlarında hesaplıyoruz (çünkü tek bir durağan nokta içermemektedir): 
$z=f(x,y)$ fonksiyonunun sınırlı bir kapalı $D$ etki alanında tanımlı ve sürekli olmasına izin verin. Bu bölgedeki verilen fonksiyonun birinci dereceden sonlu kısmi türevleri olsun (belki sonlu sayıda nokta hariç). Belirli bir kapalı bölgedeki iki değişkenli bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulmak için basit bir algoritmanın üç adımı gerekir.
Kapalı bir $D$ etki alanında $z=f(x,y)$ fonksiyonunun en büyük ve en küçük değerlerini bulmak için algoritma.
- $D$ etki alanına ait $z=f(x,y)$ fonksiyonunun kritik noktalarını bulun. Kritik noktalardaki fonksiyon değerlerini hesaplayın.
- $z=f(x,y)$ fonksiyonunun $D$ bölgesinin sınırındaki davranışını araştırın ve olası maksimum ve minimum değerlerin noktalarını bulun. Elde edilen noktalardaki fonksiyon değerlerini hesaplayın.
- Önceki iki paragrafta elde edilen fonksiyon değerlerinden en büyüğünü ve en küçüğünü seçin.
Kritik noktalar nelerdir? göster\gizle
Altında kritik noktalar her iki birinci dereceden kısmi türevlerin de sıfıra eşit olduğu noktaları ima eder (yani $\frac(\partial z)(\partial x)=0$ ve $\frac(\partial z)(\partial y)=0 $) veya en az bir kısmi türev mevcut değildir.
Genellikle birinci dereceden kısmi türevlerin sıfıra eşit olduğu noktalara denir. sabit noktalar. Dolayısıyla durağan noktalar kritik noktaların bir alt kümesidir.
Örnek No.1
$x=3$, $y=0$ ve $y=x çizgileriyle sınırlanan kapalı bir bölgede $z=x^2+2xy-y^2-4x$ fonksiyonunun en büyük ve en küçük değerlerini bulun +1$.
Yukarıdakileri takip edeceğiz, ancak önce $D$ harfiyle göstereceğimiz belirli bir alanın çizimiyle ilgileneceğiz. Bize bu alanı sınırlayan üç doğrunun denklemleri veriliyor. $x=3$ düz çizgisi, ordinat eksenine (Oy ekseni) paralel $(3;0)$ noktasından geçer. $y=0$ düz çizgisi apsis ekseninin (Ox ekseni) denklemidir. $y=x+1$ doğrusunu oluşturmak için içinden bu çizgiyi çizeceğimiz iki nokta bulacağız. Elbette $x$ yerine birkaç keyfi değeri değiştirebilirsiniz. Örneğin, $x=10$ yerine şunu elde ederiz: $y=x+1=10+1=11$. $y=x+1$ doğrusu üzerinde bulunan $(10;11)$ noktasını bulduk. Ancak, $y=x+1$ düz çizgisinin $x=3$ ve $y=0$ doğrularıyla kesiştiği noktaları bulmak daha iyidir. Bu neden daha iyi? Çünkü bir taşla birkaç kuş vuracağız: $y=x+1$ düz çizgisini oluşturmak için iki nokta alacağız ve aynı zamanda bu düz çizginin, verilen alanı sınırlayan diğer doğrularla hangi noktalarda kesiştiğini bulacağız. $y=x+1$ doğrusu $x=3$ doğrusunu $(3;4)$ noktasında kesiyor ve $y=0$ doğrusu $(-1;0)$ noktasında kesişiyor. Çözümün ilerleyişini yardımcı açıklamalarla karıştırmamak adına bu iki noktanın elde edilmesi sorusunu bir notta belirteceğim.
$(3;4)$ ve $(-1;0)$ puanları nasıl elde edildi? göster\gizle
$y=x+1$ ve $x=3$ doğrularının kesiştiği noktadan başlayalım. İstenilen noktanın koordinatları hem birinci hem de ikinci düz çizgilere aittir, bu nedenle bilinmeyen koordinatları bulmak için denklem sistemini çözmeniz gerekir:
$$ \left \( \begin(aligned) & y=x+1;\\ & x=3. \end(aligned) \right. $$
Böyle bir sistemin çözümü önemsizdir: sahip olacağımız ilk denklemin yerine $x=3$ koymak: $y=3+1=4$. $(3;4)$ noktası, $y=x+1$ ve $x=3$ doğrularının istenen kesişme noktasıdır.
Şimdi $y=x+1$ ve $y=0$ doğrularının kesişme noktasını bulalım. Denklem sistemini tekrar oluşturup çözelim:
$$ \left \( \begin(aligned) & y=x+1;\\ & y=0. \end(aligned) \right. $$
İlk denklemde $y=0$ yerine şunu elde ederiz: $0=x+1$, $x=-1$. $(-1;0)$ noktası, $y=x+1$ ve $y=0$ (x ekseni) doğrularının istenen kesişme noktasıdır.
Şöyle görünecek bir çizim oluşturmak için her şey hazır:
Nottaki soru açık görünüyor çünkü resimde her şey görülebiliyor. Ancak çizimin delil teşkil edemeyeceğini hatırlamakta fayda var. Çizim yalnızca açıklama amaçlıdır.
Alanımız onu sınırlayan çizgilerin denklemleri kullanılarak tanımlandı. Açıkçası, bu çizgiler bir üçgeni tanımlıyor, değil mi? Yoksa tamamen açık değil mi? Ya da belki bize aynı çizgilerle sınırlanan farklı bir alan verilmiştir:
Tabii şart alanın kapalı olduğunu söylüyor, dolayısıyla gösterilen resim hatalı. Ancak bu tür belirsizliklerden kaçınmak için bölgeleri eşitsizliklere göre tanımlamak daha iyidir. Uçağın $y=x+1$ düz çizgisinin altında bulunan kısmıyla ilgileniyor muyuz? Tamam, yani $y ≤ x+1$. Alanımız $y=0$ çizgisinin üzerinde mi yer almalı? Harika, bu $y ≥ 0$ anlamına geliyor. Bu arada, son iki eşitsizlik kolayca tek bir eşitsizlikte birleştirilebilir: $0 ≤ y ≤ x+1$.
$$ \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ y ≤ x+1;\\ & x ≤ 3. \end(aligned) \right. $$
Bu eşitsizlikler $D$ bölgesini tanımlar ve hiçbir belirsizliğe izin vermeden açık bir şekilde tanımlar. Peki bunun, notun başında belirtilen soru konusunda bize nasıl bir faydası olacak? Ayrıca faydası olur :) $M_1(1;1)$ noktasının $D$ bölgesine ait olup olmadığını kontrol etmemiz gerekiyor. Bu bölgeyi tanımlayan eşitsizlikler sisteminde $x=1$ ve $y=1$ yerine koyalım. Her iki eşitsizlik de sağlanırsa nokta bölgenin içindedir. Eşitsizliklerden en az biri sağlanmıyorsa nokta bölgeye ait değildir. Bu yüzden:
$$ \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ 1 ≤ 1+1;\\ & 1 ≤ 3. \end(aligned) \right. \;\; \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ 1 ≤ 2;\\ & 1 ≤ 3. \end(aligned) \right $$.
Her iki eşitsizlik de geçerlidir. $M_1(1;1)$ noktası $D$ bölgesine aittir.
Şimdi sıra fonksiyonun bölge sınırındaki davranışını incelemeye geldi; hadi gidelim. $y=0$ düz çizgisiyle başlayalım.
$y=0$ düz çizgisi (x ekseni), $-1 ≤ x ≤ 3$ koşulu altında $D$ bölgesini sınırlar. Verilen $z(x,y)=x^2+2xy-y^2-4x$ fonksiyonunun yerine $y=0$ koyalım. Değiştirme sonucunda elde edilen $x$ değişkeninin fonksiyonunu $f_1(x)$ olarak gösteririz:
$$ f_1(x)=z(x,0)=x^2+2x\cdot 0-0^2-4x=x^2-4x. $$
Şimdi $f_1(x)$ fonksiyonu için $-1 ≤ x ≤ 3$ aralığındaki en büyük ve en küçük değerleri bulmamız gerekiyor. Bu fonksiyonun türevini bulup sıfıra eşitleyelim:
$$ f_(1)^(")(x)=2x-4;\\ 2x-4=0; \; x=2. $$
$x=2$ değeri $-1 ≤ x ≤ 3$ segmentine aittir, dolayısıyla noktalar listesine $M_2(2;0)$ da ekleyeceğiz. Ayrıca $z$ fonksiyonunun $-1 ≤ x ≤ 3$ bölütünün uçlarındaki değerlerini de hesaplayalım, yani. $M_3(-1;0)$ ve $M_4(3;0)$ noktalarında. Bu arada, eğer $M_2$ noktası söz konusu segmente ait olmasaydı, o zaman elbette içindeki $z$ fonksiyonunun değerini hesaplamaya gerek kalmayacaktı.
Öyleyse $z$ fonksiyonunun değerlerini $M_2$, $M_3$, $M_4$ noktalarında hesaplayalım. Elbette bu noktaların koordinatlarını orijinal $z=x^2+2xy-y^2-4x$ ifadesinde değiştirebilirsiniz. Örneğin, $M_2$ noktası için şunu elde ederiz:
$$z_2=z(M_2)=2^2+2\cdot 2\cdot 0-0^2-4\cdot 2=-4.$$
Ancak hesaplamalar biraz basitleştirilebilir. Bunu yapmak için, $M_3M_4$ segmentinde $z(x,y)=f_1(x)$'a sahip olduğumuzu hatırlamakta fayda var. Bunu ayrıntılı olarak yazacağım:
\begin(aligned) & z_2=z(M_2)=z(2,0)=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\\ & z_3=z(M_3)=z(- 1,0)=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\\ & z_4=z(M_4)=z(3,0)=f_1(3)= 3^2-4\cdot 3=-3. \end(hizalanmış)
Elbette genellikle bu kadar ayrıntılı kayıtlara gerek yoktur ve gelecekte tüm hesaplamaları kısaca yazacağız:
$$z_2=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\; z_3=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\; z_4=f_1(3)=3^2-4\cdot 3=-3.$$
Şimdi $x=3$ düz çizgisine dönelim. Bu düz çizgi $0 ≤ y ≤ 4$ koşulu altında $D$ bölgesini sınırlar. Verilen $z$ fonksiyonuna $x=3$ koyalım. Bu ikamenin sonucu olarak $f_2(y)$ fonksiyonunu elde ederiz:
$$ f_2(y)=z(3,y)=3^2+2\cdot 3\cdot y-y^2-4\cdot 3=-y^2+6y-3. $$
$f_2(y)$ fonksiyonu için $0 ≤ y ≤ 4$ aralığındaki en büyük ve en küçük değerleri bulmamız gerekiyor. Bu fonksiyonun türevini bulup sıfıra eşitleyelim:
$$ f_(2)^(")(y)=-2y+6;\\ -2y+6=0; \; y=3. $$
$y=3$ değeri $0 ≤ y ≤ 4$ segmentine aittir, dolayısıyla önceden bulunan noktalara $M_5(3;3)$ da ekleyeceğiz. Ek olarak, $0 ≤ y ≤ 4$ segmentinin uçlarındaki noktalarda $z$ fonksiyonunun değerini de hesaplamanız gerekir, yani. $M_4(3;0)$ ve $M_6(3;4)$ noktalarında. $M_4(3;0)$ noktasında $z$ değerini zaten hesapladık. $z$ fonksiyonunun değerini $M_5$ ve $M_6$ noktalarında hesaplayalım. $M_4M_6$ segmentinde $z(x,y)=f_2(y)$ olduğunu hatırlatmama izin verin, dolayısıyla:
\begin(aligned) & z_5=f_2(3)=-3^2+6\cdot 3-3=6; & z_6=f_2(4)=-4^2+6\cdot 4-3=5. \end(hizalanmış)
Ve son olarak, $D$ bölgesinin son sınırını düşünün, yani. düz çizgi $y=x+1$. Bu düz çizgi $-1 ≤ x ≤ 3$ koşulu altında $D$ bölgesini sınırlar. $z$ fonksiyonunda $y=x+1$ yerine koyarsak, şunu elde ederiz:
$$ f_3(x)=z(x,x+1)=x^2+2x\cdot (x+1)-(x+1)^2-4x=2x^2-4x-1. $$
Bir kez daha elimizde $x$ değişkenli bir fonksiyon var. Ve yine bu fonksiyonun $-1 ≤ x ≤ 3$ aralığında en büyük ve en küçük değerlerini bulmamız gerekiyor. $f_(3)(x)$ fonksiyonunun türevini bulalım ve onu sıfıra eşitleyelim:
$$ f_(3)^(")(x)=4x-4;\\ 4x-4=0; \; x=1. $$
$x=1$ değeri $-1 ≤ x ≤ 3$ aralığına aittir. $x=1$ ise $y=x+1=2$ olur. Nokta listesine $M_7(1;2)$'ı ekleyelim ve $z$ fonksiyonunun bu noktada değerinin ne olduğunu bulalım. $-1 ≤ x ≤ 3$ segmentinin uçlarındaki noktalar, yani. $M_3(-1;0)$ ve $M_6(3;4)$ noktaları daha önce dikkate alınmıştı, fonksiyonun değerini zaten bunların içinde bulduk.
$$z_7=f_3(1)=2\cdot 1^2-4\cdot 1-1=-3.$$
Çözümün ikinci adımı tamamlandı. Yedi değer aldık:
$$z_1=-2;\;z_2=-4;\;z_3=5;\;z_4=-3;\;z_5=6;\;z_6=5;\;z_7=-3.$$
'a dönelim. Üçüncü paragrafta elde edilen sayılardan en büyük ve en küçük değerleri seçerek şunu elde edeceğiz:
$$z_(dak)=-4; \; z_(maks)=6.$$
Sorun çözüldü, geriye sadece cevabı yazmak kaldı.
Cevap: $z_(dak)=-4; \; z_(maks)=6$.
Örnek No.2
$z=x^2+y^2-12x+16y$ fonksiyonunun $x^2+y^2 ≤ 25$ bölgesindeki en büyük ve en küçük değerlerini bulun.
İlk önce bir çizim oluşturalım. $x^2+y^2=25$ denklemi (bu, belirli bir alanın sınır çizgisidir), merkezi orijinde (yani $(0;0)$ noktasında) ve yarıçapı şu şekilde olan bir daireyi tanımlar: 5. $x^2 +y^2 ≤ $25 eşitsizliği söz konusu çemberin içindeki ve üzerindeki tüm noktaları karşılar.
Ona göre hareket edeceğiz. Kısmi türevleri bulalım ve kritik noktaları bulalım.
$$ \frac(\kısmi z)(\kısmi x)=2x-12; \frac(\kısmi z)(\kısmi y)=2y+16. $$
Bulunan kısmi türevlerin bulunmadığı nokta yoktur. Her iki kısmi türevin hangi noktalarda aynı anda sıfıra eşit olduğunu bulalım; Durağan noktaları bulalım.
$$ \left \( \begin(aligned) & 2x-12=0;\\ & 2y+16=0. \end(aligned) \right. \;\; \left \( \begin(aligned) & x =6;\\ & y=-8 \end(aligned) \right $$.
$(6;-8)$ durağan bir nokta elde ettik. Ancak bulunan nokta $D$ bölgesine ait değildir. Bunu çizime bile başvurmadan göstermek kolaydır. $D$ bölgemizi tanımlayan $x^2+y^2 ≤ 25$ eşitsizliğinin geçerli olup olmadığını kontrol edelim. Eğer $x=6$, $y=-8$ ise, o zaman $x^2+y^2=36+64=100$, yani. $x^2+y^2 ≤ 25$ eşitsizliği geçerli değil. Sonuç: $(6;-8)$ noktası $D$ alanına ait değil.
Yani $D$ bölgesinde kritik nokta yok. Devam edelim... Belirli bir bölgenin sınırındaki bir fonksiyonun davranışını incelememiz gerekir; $x^2+y^2=25$ çemberinde. Elbette $y$'ı $x$ cinsinden ifade edebiliriz ve sonra elde edilen ifadeyi $z$ fonksiyonumuzun yerine koyabiliriz. Bir daire denkleminden şunu elde ederiz: $y=\sqrt(25-x^2)$ veya $y=-\sqrt(25-x^2)$. Örneğin $y=\sqrt(25-x^2)$ ifadesini verilen işleve koyarsak, şunu elde ederiz:
$$ z=x^2+y^2-12x+16y=x^2+25-x^2-12x+16\sqrt(25-x^2)=25-12x+16\sqrt(25-x) ^2); \;\; -5≤ x ≤ 5. $$
Diğer çözüm, önceki örnek 1'deki bölgenin sınırındaki fonksiyonun davranışının incelenmesiyle tamamen aynı olacaktır. Ancak bu durumda Lagrange yöntemini uygulamak bana daha mantıklı geliyor. Bu yöntemin yalnızca ilk kısmıyla ilgileneceğiz. Lagrange yönteminin ilk kısmını uyguladıktan sonra $z$ fonksiyonunun minimum ve maksimum değerlerini inceleyeceğimiz puanları elde edeceğiz.
Lagrange fonksiyonunu oluşturuyoruz:
$$ F=z(x,y)+\lambda\cdot(x^2+y^2-25)=x^2+y^2-12x+16y+\lambda\cdot (x^2+y^2) -25). $$
Lagrange fonksiyonunun kısmi türevlerini buluyoruz ve karşılık gelen denklem sistemini oluşturuyoruz:
$$ F_(x)^(")=2x-12+2\lambda x; \;\; F_(y)^(")=2y+16+2\lambda y.\\ \left \( \begin (hizalanmış) & 2x-12+2\lambda x=0;\\ & 2y+16+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-25=0 \;\; \left \( \begin(aligned) & x+\lambda x=6;\\ & y+\lambda y=-8;\\ & x^2+y^2=25. \end(align)\right.$ $
Bu sistemi çözmek için hemen $\lambda\neq -1$'a işaret edelim. Neden $\lambda\neq -1$? İlk denklemde $\lambda=-1$ yerine koymayı deneyelim:
$$ x+(-1)\cdot x=6; \; x-x=6; \; 0=6. $$
Ortaya çıkan $0=6$ çelişkisi, $\lambda=-1$ değerinin kabul edilemez olduğunu gösterir. Çıktı: $\lambda\neq -1$. $x$ ve $y$'ı $\lambda$ cinsinden ifade edelim:
\begin(aligned) & x+\lambda x=6;\; x(1+\lambda)=6;\; x=\frac(6)(1+\lambda). \\ & y+\lambda y=-8;\; y(1+\lambda)=-8;\; y=\frac(-8)(1+\lambda). \end(hizalanmış)
Burada neden özellikle $\lambda\neq -1$ koşulunu şart koştuğumuzun açıkça ortaya çıktığına inanıyorum. Bu, $1+\lambda$ ifadesini paydalara müdahale olmadan sığdırmak için yapıldı. Yani, paydanın $1+\lambda\neq 0$ olduğundan emin olmak için.
$x$ ve $y$ için elde edilen ifadeleri sistemin üçüncü denkleminde yerine koyalım, yani. $x^2+y^2=25$ cinsinden:
$$ \left(\frac(6)(1+\lambda) \right)^2+\left(\frac(-8)(1+\lambda) \right)^2=25;\\ \frac( 36)((1+\lambda)^2)+\frac(64)((1+\lambda)^2)=25;\\ \frac(100)((1+\lambda)^2)=25 ; \; (1+\lambda)^2=4. $$
Ortaya çıkan eşitlikten $1+\lambda=2$ veya $1+\lambda=-2$ sonucu çıkar. Dolayısıyla $\lambda$ parametresinin iki değeri var: $\lambda_1=1$, $\lambda_2=-3$. Buna göre $x$ ve $y$ olmak üzere iki çift değer elde ederiz:
\begin(aligned) & x_1=\frac(6)(1+\lambda_1)=\frac(6)(2)=3; \; y_1=\frac(-8)(1+\lambda_1)=\frac(-8)(2)=-4. \\ & x_2=\frac(6)(1+\lambda_2)=\frac(6)(-2)=-3; \; y_2=\frac(-8)(1+\lambda_2)=\frac(-8)(-2)=4. \end(hizalanmış)
Böylece olası bir koşullu ekstremumun iki noktasını elde ettik, yani. $M_1(3;-4)$ ve $M_2(-3;4)$. $z$ fonksiyonunun değerlerini $M_1$ ve $M_2$ noktalarında bulalım:
\begin(aligned) & z_1=z(M_1)=3^2+(-4)^2-12\cdot 3+16\cdot (-4)=-75; \\ & z_2=z(M_2)=(-3)^2+4^2-12\cdot(-3)+16\cdot 4=125. \end(hizalanmış)
Birinci ve ikinci adımda elde ettiğimiz değerler arasından en büyük ve en küçük değerleri seçmeliyiz. Ancak bu durumda seçim küçük :) Elimizde:
$$ z_(dak)=-75; \; z_(maks)=125. $$
Cevap: $z_(dak)=-75; \; z_(maks)=125$.
Ve bunu çözmek için konu hakkında minimum bilgiye ihtiyacınız olacak. Bir sonraki biter akademik yıl, herkes tatile gitmek istiyor ve bu anı yakınlaştırmak için hemen asıl konuya geçeceğim:
Bölgeyle başlayalım. Koşulda belirtilen alan sınırlı kapalı bir düzlem üzerindeki noktalar kümesi. Örneğin, TAM üçgen de dahil olmak üzere bir üçgenin sınırladığı noktalar kümesi (Eğer itibaren sınırlar en az bir noktayı "dikerseniz" bölge artık kapatılmayacaktır). Uygulamada dikdörtgen, yuvarlak ve biraz daha karmaşık şekillerde alanlar da vardır. Matematiksel analiz teorisinde katı tanımların verildiğine dikkat edilmelidir. sınırlamalar, izolasyon, sınırlar vb., ancak herkesin bu kavramların sezgisel düzeyde farkında olduğunu düşünüyorum ve artık daha fazlasına gerek yok.
Düz bir bölge standart olarak harfle gösterilir ve kural olarak analitik olarak birkaç denklemle belirtilir. (mutlaka doğrusal olması gerekmez); daha az sıklıkla eşitsizlikler. Tipik laf kalabalığı: “çizgilerle sınırlanan kapalı alan.”
Söz konusu görevin ayrılmaz bir parçası, çizimdeki bir alanın inşasıdır. Bu nasıl yapılır? Listelenen tüm çizgileri çizmeniz gerekir (bu durumda 3) dümdüz) ve olanları analiz edin. Aranan alan genellikle hafif gölgelidir ve sınırları kalın bir çizgiyle işaretlenmiştir: 
Aynı alan da ayarlanabilir doğrusal eşitsizlikler: , bazı nedenlerden dolayı genellikle numaralandırılmış bir liste olarak yazılır. sistem.
Sınır bölgeye ait olduğundan tüm eşitsizlikler elbette gevşek.
Ve şimdi görevin özü. Eksenin orijinden doğrudan size doğru çıktığını hayal edin. Şöyle bir fonksiyon düşünün sürekli her birinde alan noktası. Bu fonksiyonun grafiği bazı yüzey Ve küçük mutluluk, günümüzün sorununu çözmek için bu yüzeyin neye benzediğini bilmemize gerek olmamasıdır. Daha yükseğe, daha aşağıya yerleştirilebilir, düzlemle kesişebilir - bunların hepsi önemli değil. Ve aşağıdakiler önemlidir: göre Weierstrass'ın teoremleri, sürekli V sınırlı kapalı fonksiyonun en büyük değerine ulaştığı alan (“en yüksek”) ve en az (“en düşük”) bulunması gereken değerler. Bu değerlere ulaşıldı veya V sabit noktalar, bölgeye aitD , veya bu alanın sınırında kalan noktalarda. Bu, basit ve şeffaf bir çözüm algoritmasına yol açar:
Örnek 1
Sınırlı kapalı alanda
Çözüm: Öncelikle çizimdeki alanı tasvir etmeniz gerekiyor. Maalesef sorunun etkileşimli bir modelini yapmak benim için teknik olarak zor ve bu nedenle araştırma sırasında bulunan tüm "şüpheli" noktaları gösteren son çizimi hemen sunacağım. Genellikle keşfedildiklerinde birbiri ardına listelenirler: 
Giriş kısmına dayanarak, karar rahatlıkla iki noktaya ayrılabilir:
I) Durağan noktaları bulun. Bu, sınıfta tekrar tekrar gerçekleştirdiğimiz standart bir eylemdir. birkaç değişkenin ekstremumları hakkında:
Bulunan sabit nokta ait alanlar: (çizim üzerinde işaretleyin) Bu, fonksiyonun değerini belirli bir noktada hesaplamamız gerektiği anlamına gelir:
- makalede olduğu gibi Bir fonksiyonun bir segmentteki en büyük ve en küçük değerleri, önemli sonuçlar Kalın harflerle yazacağım. Bunları bir defterde kalemle takip etmek uygundur.
İkinci mutluluğumuza dikkat edin - kontrol etmenin bir anlamı yok bir ekstremum için yeterli koşul. Neden? Fonksiyonun ulaştığı bir noktada bile, örneğin, yerel minimum, o zaman bu, elde edilen değerin şu şekilde olacağı anlamına gelmez: asgari bölge genelinde (bkz: dersin başlangıcı koşulsuz aşırılıklar hakkında) .
Sabit nokta alana ait DEĞİLSE ne yapmalı? Neredeyse hiçbir şey! Bunu not edip bir sonraki noktaya geçmek gerekiyor.
II) Bölgenin sınırlarını araştırıyoruz.
Kenarlık bir üçgenin kenarlarından oluştuğu için çalışmayı 3 alt bölüme ayırmak uygun olacaktır. Ama yine de bunu yapmamak daha iyidir. Benim bakış açıma göre, öncelikle koordinat eksenlerine paralel olan bölümleri ve her şeyden önce eksenlerin üzerinde yer alan bölümleri dikkate almak daha avantajlıdır. Eylemlerin tüm sırasını ve mantığını kavramak için, "tek nefeste" sonunu incelemeye çalışın:
1) Hadi ilgilenelim alt tarafüçgen. Bunu yapmak için doğrudan işlevin yerine şunu yazın:
Alternatif olarak bunu şu şekilde de yapabilirsiniz: 
Geometrik olarak bu, koordinat düzleminin (bu aynı zamanda denklemde de verilmektedir)"oymak" yüzeyler Tepesi hemen şüphe konusu olan "uzaysal" bir parabol. Hadi öğrenelim o nerede:
– ortaya çıkan değer alana “düştü” ve bu noktada pekala ortaya çıkabilir (çizimde işaretlenmiştir) fonksiyon tüm bölgedeki en büyük veya en küçük değere ulaşır. Öyle ya da böyle, hesaplamaları yapalım:
Diğer “adaylar” ise elbette segmentin sonları. Fonksiyonun değerlerini noktalarda hesaplayalım 
(çizimde işaretlenmiştir):
Bu arada burada, "sadeleştirilmiş" bir versiyonu kullanarak sözlü bir mini kontrol yapabilirsiniz: 
2) Üçgenin sağ tarafını incelemek için onu fonksiyona yerleştirin ve "işleri düzene koyun":
Burada, segmentin önceden işlenmiş ucunu "çaldırarak" hemen kaba bir kontrol gerçekleştireceğiz:
, Harika.
Geometrik durum bir önceki noktayla ilgilidir:
– ortaya çıkan değer aynı zamanda “çıkar alanlarımıza da girdi”, yani ortaya çıkan noktadaki fonksiyonun neye eşit olduğunu hesaplamamız gerekiyor:
Segmentin ikinci ucunu inceleyelim:
Fonksiyonun kullanılması 
, bir kontrol kontrolü gerçekleştirelim: 
3) Muhtemelen herkes geri kalan tarafı nasıl keşfedeceğini tahmin edebilir. Bunu fonksiyona yerleştiriyoruz ve basitleştirmeler yapıyoruz:
Segmentin sonları 
zaten araştırıldı, ancak taslakta hala işlevi doğru bulup bulmadığımızı kontrol ediyoruz 
:
– 1. alt paragrafın sonucuyla çakıştı;
– 2. alt paragrafın sonucuyla çakıştı.
Segmentte ilginç bir şey olup olmadığını öğrenmek için kalıyor:
- Orada! Düz çizgiyi denklemde yerine koyarsak, bu "ilginçliğin" ordinatını elde ederiz:
Çizimde bir noktayı işaretliyoruz ve fonksiyonun karşılık gelen değerini buluyoruz:
Hesaplamaları “bütçe” versiyonunu kullanarak kontrol edelim 
:
, emir.
Ve son adım: Tüm “cesur” sayıları DİKKATLİCE inceliyoruz, hatta yeni başlayanlara tek bir liste yapmalarını öneriyorum: 
buradan en büyük ve en küçük değerleri seçiyoruz. Cevap Bulma problemi tarzında yazalım bir segmentteki bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerleri:
Her ihtimale karşı, sonucun geometrik anlamı hakkında bir kez daha yorum yapacağım:
– burası bölgedeki yüzeyin en yüksek noktası;
– burası bölgedeki yüzeyin en alçak noktasıdır.
Analiz edilen görevde 7 "şüpheli" nokta belirledik ancak bunların sayısı görevden göreve değişiyor. Üçgensel bir bölge için minimum “araştırma seti” üç noktadan oluşur. Bu, örneğin fonksiyon şunu belirttiğinde meydana gelir: uçak– hiçbir durağan noktanın olmadığı ve fonksiyonun maksimum/en küçük değerlerine yalnızca üçgenin köşelerinde ulaşabileceği tamamen açıktır. Ancak yalnızca bir veya iki benzer örnek var; genellikle bir tür şeyle uğraşmanız gerekir. 2. dereceden yüzey.
Bu tür görevleri biraz çözerseniz üçgenler başınızı döndürebilir, bu yüzden kare yapmak için sizin için sıra dışı örnekler hazırladım :))
Örnek 2
Bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulma 
çizgilerle sınırlanmış kapalı bir alanda
Örnek 3
Sınırlı bir kapalı alanda bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulun.
Hesaplama hatalarını neredeyse tamamen önleyecek olan ara kontrol zincirinin yanı sıra, bölgenin sınırını incelemenin rasyonel düzenine ve tekniğine özellikle dikkat edin. Genel olarak konuşursak, bunu istediğiniz şekilde çözebilirsiniz, ancak bazı problemlerde, örneğin Örnek 2'de, hayatınızı çok daha zorlaştırma şansı her zaman vardır. Dersin sonundaki final ödevlerinin yaklaşık bir örneği.
Çözüm algoritmasını sistematize edelim, aksi halde benim bir örümcek olarak gösterdiğim titizlik nedeniyle, 1. örneğin uzun yorum dizisinde bir şekilde kaybolup gitti:
– İlk adımda bir alan oluşturuyoruz, onu gölgelemeniz ve sınırı kalın bir çizgiyle vurgulamanız tavsiye edilir. Çözüm sırasında çizimde işaretlenmesi gereken noktalar ortaya çıkacaktır.
– Durağan noktaları bulun ve fonksiyonun değerlerini hesaplayın sadece onlardan olanlarda bölgeye aittir. Ortaya çıkan değerleri metinde vurgularız (örneğin, bunları bir kalemle daire içine alın). Sabit bir nokta bölgeye ait DEĞİLSE bu durumu bir simgeyle veya sözlü olarak işaretliyoruz. Hiç sabit nokta yoksa, bunların bulunmadığına dair yazılı bir sonuca varırız. Ne olursa olsun bu nokta atlanamaz!
– Bölgenin sınırlarını araştırıyoruz. Öncelikle koordinat eksenlerine paralel olan düz çizgileri anlamakta fayda var. (eğer varsa). Ayrıca “şüpheli” noktalarda hesaplanan fonksiyon değerlerini de ön plana çıkarıyoruz. Yukarıda çözüm tekniği hakkında çok şey söylendi ve aşağıda başka bir şey daha söylenecek - okuyun, yeniden okuyun, derinlemesine araştırın!
– Seçilen sayılardan en büyük ve en küçük değerleri seçin ve cevabı verin. Bazen bir fonksiyonun bu tür değerlere aynı anda birkaç noktada ulaşması mümkündür - bu durumda tüm bu noktaların cevaba yansıtılması gerekir. Örneğin, 
ve bunun en küçük değer olduğu ortaya çıktı. Sonra bunu yazıyoruz
Son örnekler başkalarına ithaf edilmiştir faydalı fikirler pratikte faydalı olacaktır:
Örnek 4
Kapalı bir bölgedeki bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulun 
.
Alanın çifte eşitsizlik biçiminde verildiği yazarın formülasyonunu korudum. Bu koşul, eşdeğer bir sistemle veya bu problem için daha geleneksel bir biçimde yazılabilir: 
şunu hatırlatırım doğrusal olmayanüzerinde eşitsizliklerle karşılaştık ve gösterimin geometrik anlamını anlamıyorsanız lütfen gecikmeyin ve durumu hemen açıklayın;-)
Çözüm, her zaman olduğu gibi, bir tür “taban”ı temsil eden bir alan inşa etmekle başlar: 
Hmm, bazen sadece bilimin granitini çiğnemek zorunda kalmazsın...
I) Durağan noktaları bulun: 
Sistem bir aptalın hayalidir :)
Sabit bir nokta bölgeye aittir, yani sınırında yer alır.
Ve böylece sorun yok... ders iyi geçti - doğru çayı içmenin anlamı budur =)
II) Bölgenin sınırlarını araştırıyoruz. Daha fazla uzatmadan x ekseniyle başlayalım:
1) Eğer öyleyse
Parabolün tepe noktasının nerede olduğunu bulalım:
– böyle anların kıymetini bilin – her şeyin zaten net olduğu noktaya kadar “vurdunuz”. Ancak yine de kontrol etmeyi unutmuyoruz: 
Segmentin uçlarındaki fonksiyonun değerlerini hesaplayalım: 
2) "Tek oturuşta" "tabanın" alt kısmını ele alalım - herhangi bir kompleks olmadan onu fonksiyona yerleştireceğiz ve sadece segmentle ilgileneceğiz:
Kontrol:
Bu zaten tırtıklı pistteki monoton sürüşe biraz heyecan katıyor. Kritik noktaları bulalım:
Haydi karar verelim ikinci dereceden denklem, bununla ilgili başka bir şey hatırlıyor musun? ...Ancak, elbette unutmayın, aksi takdirde bu satırları okumazdınız =) Eğer önceki iki örnekte hesaplamalar olsaydı ondalık sayılar(bu arada, nadirdir), o zaman burada olağan sıradan kesirler bizi bekliyor. "X" köklerini buluyoruz ve "aday" noktaların karşılık gelen "oyun" koordinatlarını belirlemek için denklemi kullanıyoruz: 
Bulunan noktalarda fonksiyonun değerlerini hesaplayalım: 
İşlevi kendiniz kontrol edin.
Şimdi kazanılan kupaları dikkatlice inceliyoruz ve yazıyoruz cevap:
Bunlar “aday”, bunlar “aday”!
Kendiniz çözmek için:
Örnek 5
En küçüğü bulun ve en yüksek değer işlevler 
kapalı bir alanda 
Kıvrımlı parantezlerin olduğu bir giriş şu şekilde okunur: "şöyle bir nokta kümesi."
Bazen bu tür örneklerde kullanırlar Lagrange çarpanı yöntemi, ancak onu kullanmaya gerçek bir ihtiyaç olması pek olası değildir. Yani, örneğin, aynı alana sahip bir "de" fonksiyonu verilirse, o zaman onun yerine başka bir şey koyduktan sonra türevi hiçbir zorluk olmadan; Üstelik üst ve alt yarım daireleri ayrı ayrı dikkate almaya gerek kalmadan her şey “tek satırda” (işaretlerle) çizilmiştir. Ancak elbette Lagrange fonksiyonunun olmadığı daha karmaşık durumlar da vardır. (örneğin bir dairenin denkleminin aynı olduğu yer) Geçinmek zor - tıpkı iyice dinlenmeden idare etmenin zor olduğu gibi!
Herkese iyi eğlenceler, gelecek sezon görüşmek üzere!
Çözümler ve cevaplar:
Örnek 2: Çözüm: Çizimdeki alanı gösterelim:
Yükleniyor...