Vyhlásenie o probléme 2:
Daná funkcia, ktorá je definovaná a spojitá na nejakom intervale. Je potrebné nájsť najväčšiu (najmenšiu) hodnotu funkcie na tomto intervale.
Teoretický základ.
Veta (druhá Weierstrassova veta):
Ak je funkcia definovaná a spojitá v uzavretom intervale, potom v tomto intervale dosahuje svoje maximálne a minimálne hodnoty.
Funkcia môže dosiahnuť svoje maximálne a minimálne hodnoty buď vo vnútorných bodoch intervalu, alebo na jeho hraniciach. Poďme si ukázať všetky možné možnosti. 
Vysvetlenie:
1) Funkcia dosiahne svoju maximálnu hodnotu na ľavej hranici intervalu v bode , a minimálnu hodnotu v bode pravá hranica medzera v bode.
2) Funkcia dosiahne svoju maximálnu hodnotu v bode (toto je maximálny bod) a minimálnu hodnotu na pravej hranici intervalu v bode.
3) Funkcia dosiahne svoju maximálnu hodnotu na ľavej hranici intervalu v bode , a minimálnu hodnotu v bode (toto je minimálny bod).
4) Funkcia je na intervale konštantná, t.j. dosiahne svoje minimálne a maximálne hodnoty v ktoromkoľvek bode intervalu a minimálne a maximálne hodnoty sa navzájom rovnajú.
5) Funkcia dosiahne svoju maximálnu hodnotu v bode a minimálnu hodnotu v bode (napriek tomu, že funkcia má na tomto intervale maximum aj minimum).
6) Funkcia dosiahne svoju maximálnu hodnotu v bode (toto je maximálny bod) a minimálnu hodnotu v bode (toto je minimálny bod).
komentár:
„Maximálna“ a „maximálna hodnota“ sú rôzne veci. Vyplýva to z definície maxima a intuitívneho chápania slovného spojenia „maximálna hodnota“.
Algoritmus na riešenie problému 2.
4) Vyberte zo získaných hodnôt najväčšiu (najmenšiu) a zapíšte odpoveď.
Príklad 4:
Určte najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie 
na segmente.
Riešenie:
1) Nájdite deriváciu funkcie. 
2) Nájdite stacionárne body (a body, ktoré sú podozrivé z extrému) vyriešením rovnice . Venujte pozornosť bodom, kde neexistuje žiadna obojstranná konečná derivácia. 
3) Vypočítajte hodnoty funkcie v stacionárnych bodoch a na hraniciach intervalu.
4) Vyberte zo získaných hodnôt najväčšiu (najmenšiu) a zapíšte odpoveď.
Funkcia na tomto segmente dosiahne svoju maximálnu hodnotu v bode so súradnicami.
Funkcia na tomto segmente dosiahne svoju minimálnu hodnotu v bode so súradnicami.
Správnosť výpočtov si môžete overiť pohľadom na graf skúmanej funkcie. 
komentár: Funkcia dosiahne svoju maximálnu hodnotu v maximálnom bode a minimálnu hodnotu na hranici segmentu.
Špeciálny prípad.
Predpokladajme, že chcete nájsť maximálnu a minimálnu hodnotu nejakej funkcie v segmente. Po vykonaní prvého odseku algoritmu, t.j. pri výpočte derivátu je zrejmé, že napríklad v celom posudzovanom segmente preberá iba záporné hodnoty. Pamätajte, že ak je derivácia záporná, funkcia je klesajúca. Zistili sme, že funkcia klesá na celom intervale. Túto situáciu zobrazuje graf č. 1 na začiatku článku.
Funkcia klesá na intervale, t.j. nemá žiadne extrémne body. Z obrázku je vidieť, že funkcia bude mať najmenšiu hodnotu na pravom okraji segmentu, a najvyššia hodnota- naľavo. ak je derivácia na intervale všade kladná, funkcia je rastúca. Najmenšia hodnota je na ľavom okraji segmentu, najväčšia je na pravej strane.
medzi.
.
|
X | |||
|
r |
Definícia. Rovno y=kx +b (k≠ 0) sa nazýva šikmá asymptota funkčný graf y = f(x) kde
Všeobecná schéma pre štúdium funkcií a vykresľovanie.
Algoritmus výskumu funkciíy = f(x) :
1. Nájdite doménu funkcie D (r).
2. Nájdite (ak je to možné) priesečníky grafu so súradnicovými osami (s X= 0 a at r = 0).
3. Preskúmajte párne a nepárne funkcie ( r (‒ X) = r (X) ‒ parita; r(‒ X) = ‒ r (X) ‒ zvláštny).
4. Nájdite asymptoty grafu funkcie.
5. Nájdite intervaly monotónnosti funkcie.
6. Nájdite extrémy funkcie.
7. Nájdite intervaly konvexnosti (konkávnosti) a inflexné body grafu funkcie.
8. Na základe vykonaného výskumu zostrojte graf funkcie.
Príklad. Preskúmajte funkciu a nakreslite jej graf.
1) D (r) =
X= 4 - bod zlomu.
2) Kedy X = 0,
(0; – 5) – priesečník s oy.
O r = 0,
3)
r(‒
X)=
funkciu všeobecný pohľad(ani párne, ani nepárne).
4) Vyšetrujeme asymptoty.
a) vertikálne
b) horizontálne
c) nájdite šikmé asymptoty kde
‒šikmá asymptotná rovnica
5) V tejto rovnici nie je potrebné nájsť intervaly monotónnosti funkcie.
6)
Tieto kritické body rozdeľujú celú doménu funkcie na interval (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) a (10; +∞). Získané výsledky je vhodné prezentovať vo forme nasledujúcej tabuľky.
Štúdium takéhoto objektu matematickej analýzy ako funkcie má veľký význam. význam a v iných oblastiach vedy. Napríklad v ekonomickej analýze sa neustále vyžaduje hodnotenie správania funkcie zisku, a to určiť jeho maximum význam a vypracovať stratégiu na jej dosiahnutie.
Inštrukcia
Štúdium akéhokoľvek správania by malo vždy začať hľadaním domény definície. Zvyčajne je podľa stavu konkrétneho problému potrebné určiť najväčší význam funkcie buď na celú túto oblasť, alebo na jej špecifický interval s otvorenými alebo uzavretými hranicami.
Na základe , najväčší je význam funkcie y(x0), pod ktorým je pre ktorýkoľvek bod definičného oboru splnená nerovnosť y(x0) ≥ y(x) (х ≠ x0). Graficky bude tento bod najvyšší, ak usporiadate hodnoty argumentu pozdĺž osi x a samotnú funkciu pozdĺž osi y.
Na určenie najväčšieho význam funkcie, postupujte podľa trojkrokového algoritmu. Všimnite si, že musíte vedieť pracovať s jednostranným a , ako aj vypočítať deriváciu. Nech je teda daná nejaká funkcia y(x) a je potrebné nájsť jej najväčšiu význam na nejakom intervale s hraničnými hodnotami A a B.
Zistite, či je tento interval v rozsahu funkcie. Aby ste to dosiahli, je potrebné ho nájsť po zvážení všetkých možných obmedzení: prítomnosť zlomku, druhej odmocniny atď. vo výraze. Doména definície je množina hodnôt argumentov, pre ktoré má funkcia zmysel. Určte, či je daný interval jeho podmnožinou. Ak áno, pokračujte ďalším krokom.
Nájdite derivát funkcie a vyriešte výslednú rovnicu rovnaním derivácie nule. Takto získate hodnoty takzvaných stacionárnych bodov. Vyhodnoťte, či aspoň jeden z nich patrí do intervalu A, B.
Zvážte tieto body v tretej fáze, nahraďte ich hodnoty do funkcie. V závislosti od typu intervalu vykonajte nasledujúce dodatočné kroky. Ak existuje segment tvaru [A, B], hraničné body sú zahrnuté v intervale, je to označené zátvorkami. Vypočítajte hodnoty funkcie pre x = A a x = B. Ak je otvorený interval (A, B), hraničné hodnoty sú prepichnuté, t.j. nie sú v ňom zahrnuté. Vyriešte jednostranné limity pre x→A a x→B. Kombinovaný interval tvaru [A, B) alebo (A, B), ktorého jedna hranica mu patrí a druhá nie. Nájdite jednostrannú hranicu, keďže x smeruje k dierovanej hodnote, a druhú dosaďte do funkcie. Nekonečný obojstranný interval (-∞, +∞) alebo jednostranné nekonečné intervaly tvaru: , (-∞, B) Pre reálne limity A a B postupujte podľa už popísaných princípov a pre nekonečné , hľadajte limity pre x→-∞ a x→+∞.
Úloha v tejto fáze
V praxi je celkom bežné používať deriváciu na výpočet najväčšej a najmenšej hodnoty funkcie. Túto akciu vykonávame, keď zisťujeme, ako minimalizovať náklady, zvýšiť zisk, vypočítať optimálne zaťaženie výroby atď., To znamená v prípadoch, keď je potrebné určiť optimálnu hodnotu parametra. Na správne vyriešenie takýchto problémov je potrebné dobre pochopiť, aká je najväčšia a najmenšia hodnota funkcie.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Zvyčajne tieto hodnoty definujeme v rámci nejakého intervalu x, ktorý zase môže zodpovedať celému rozsahu funkcie alebo jej časti. Môže to byť buď segment [ a ; b ] a otvorený interval (a ; b) , (a ; b ] , [ a ; b) , nekonečný interval (a ; b), (a ; b ] , [ a ; b) alebo nekonečný interval - ∞ ; a , (- ∞ ; a ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; + ∞) .
V tomto článku si popíšeme, ako sa vypočíta najväčšia a najmenšia hodnota explicitne danej funkcie s jednou premennou y=f(x) y = f (x).
Základné definície
Začneme, ako vždy, formuláciou hlavných definícií.
Definícia 1
Najväčšia hodnota funkcie y = f (x) na nejakom intervale x je hodnota m a x y = f (x 0) x ∈ X , ktorá pre ľubovoľnú hodnotu x x ∈ X, x ≠ x 0 robí nerovnosť f (x ) ≤ f (x 0) .
Definícia 2
Najmenšia hodnota funkcie y = f (x) na nejakom intervale x je hodnota m i n x ∈ X y = f (x 0) , ktorá pre ľubovoľnú hodnotu x ∈ X , x ≠ x 0 vytvára nerovnosť f(X). f (x) ≥ f(x0) .
Tieto definície sú celkom zrejmé. Ešte jednoduchšie sa dá povedať toto: najväčšia hodnota funkcie je jej najviac veľký význam na známom intervale na osi x 0 a najmenšia je najmenšia akceptovaná hodnota na rovnakom intervale na x 0 .
Definícia 3
Stacionárne body sú také hodnoty argumentu funkcie, pri ktorých sa jeho derivácia stáva 0.
Prečo potrebujeme vedieť, čo sú stacionárne body? Na zodpovedanie tejto otázky si musíme zapamätať Fermatovu vetu. Z neho vyplýva, že stacionárny bod je bod, v ktorom sa nachádza extrém diferencovateľnej funkcie (t. j. jej lokálne minimum alebo maximum). V dôsledku toho funkcia nadobudne najmenšiu alebo najväčšiu hodnotu na určitom intervale presne v jednom zo stacionárnych bodov.
Iná funkcia môže nadobudnúť najväčšiu alebo najmenšiu hodnotu v tých bodoch, v ktorých je samotná funkcia určitá a jej prvá derivácia neexistuje.
Prvá otázka, ktorá vyvstáva pri štúdiu tejto témy, je: môžeme vo všetkých prípadoch určiť maximálnu alebo minimálnu hodnotu funkcie na danom intervale? Nie, nemôžeme to urobiť, keď sa hranice daného intervalu budú zhodovať s hranicami definičného oboru, alebo ak máme do činenia s nekonečným intervalom. Stáva sa tiež, že funkcia v danom intervale alebo v nekonečne nadobudne nekonečne malé alebo nekonečne veľké hodnoty. V týchto prípadoch nie je možné určiť najväčšiu a/alebo najmenšiu hodnotu.
Tieto momenty budú zrozumiteľnejšie po obrázku na grafoch:
Prvý obrázok nám ukazuje funkciu, ktorá nadobúda najväčšie a najmenšie hodnoty (m a x y a m i n y) v stacionárnych bodoch nachádzajúcich sa na intervale [ - 6 ; 6].
Pozrime sa podrobne na prípad uvedený v druhom grafe. Zmeňme hodnotu segmentu na [ 1 ; 6] a dostaneme, že najväčšiu hodnotu funkcie dosiahneme v bode s úsečkou na pravej hranici intervalu a najmenšiu v stacionárnom bode.
Na treťom obrázku úsečky bodov predstavujú hraničné body segmentu [ - 3 ; 2]. Zodpovedajú najväčšej a najmenšej hodnote danej funkcie.
Teraz sa pozrime na štvrtý obrázok. V ňom funkcia naberá m a x y (najväčšiu hodnotu) a m i n y (najmenšiu hodnotu) v stacionárnych bodoch v otvorenom intervale (- 6 ; 6) .
Ak vezmeme interval [ 1 ; 6) , potom môžeme povedať, že najmenšiu hodnotu funkcie na ňom dosiahneme v stacionárnom bode. Maximálnu hodnotu sa nedozvieme. Funkcia môže nadobudnúť najväčšiu hodnotu pri x rovnú 6, ak x = 6 patrí do intervalu. Práve tento prípad je znázornený na obrázku 5.
Na grafe 6 táto funkcia nadobúda najmenšiu hodnotu na pravej hranici intervalu (- 3 ; 2 ] a o najväčšej hodnote nemôžeme vyvodiť jednoznačné závery.
Na obrázku 7 vidíme, že funkcia bude mať ma x y v stacionárnom bode s osou rovnajúcou sa 1 . Funkcia dosiahne svoju minimálnu hodnotu na hranici intervalu s pravá strana. V mínus nekonečne sa hodnoty funkcie asymptoticky priblížia k y = 3.
Ak vezmeme interval x ∈ 2 ; + ∞ , potom uvidíme, že daná funkcia nenadobudne ani najmenšiu, ani najväčšiu hodnotu. Ak má x tendenciu k 2, potom hodnoty funkcie budú mať tendenciu k mínus nekonečnu, pretože priamka x = 2 je vertikálna asymptota. Ak má abscisa tendenciu k plus nekonečnu, potom sa hodnoty funkcie asymptoticky priblížia k y = 3. Toto je prípad znázornený na obrázku 8.
V tomto odseku uvedieme postupnosť akcií, ktoré je potrebné vykonať, aby sme našli najväčšiu alebo najmenšiu hodnotu funkcie na určitom intervale.
- Najprv nájdime doménu funkcie. Skontrolujeme, či je v nej zahrnutý segment uvedený v podmienke.
- Teraz vypočítajme body obsiahnuté v tomto segmente, v ktorých prvá derivácia neexistuje. Najčastejšie ich možno nájsť vo funkciách, ktorých argument je napísaný pod znakom modulu alebo in mocenské funkcie, ktorého exponentom je zlomkové racionálne číslo.
- Ďalej zistíme, ktoré stacionárne body spadajú do daného segmentu. Aby ste to dosiahli, musíte vypočítať deriváciu funkcie, potom ju prirovnať k 0 a vyriešiť výslednú rovnicu a potom vybrať príslušné korene. Ak nezískame ani jeden stacionárny bod alebo nespadajú do daného segmentu, tak prejdeme k ďalšiemu kroku.
- Určme, aké hodnoty bude mať funkcia v daných stacionárnych bodoch (ak existujú), alebo v tých bodoch, kde prvá derivácia neexistuje (ak existuje), alebo vypočítame hodnoty pre x = a a x = b.
- 5. Máme sériu funkčných hodnôt, z ktorých teraz musíme vybrať najväčšiu a najmenšiu. Toto budú najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie, ktorú potrebujeme nájsť.
Pozrime sa, ako správne aplikovať tento algoritmus pri riešení problémov.
Príklad 1
podmienka: je daná funkcia y = x 3 + 4 x 2. Určte jeho najväčšiu a najmenšiu hodnotu na segmentoch [1; 4] a [-4; - jeden].
Riešenie:
Začnime hľadaním domény tejto funkcie. V tomto prípade to bude množina všetkých reálnych čísel okrem 0 . Inými slovami, D (y): x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ 0 ; +∞ . Obidva segmenty špecifikované v podmienke budú vo vnútri oblasti definície.
Teraz vypočítame deriváciu funkcie podľa pravidla o derivácii zlomku:
y "= x 3 + 4 x 2" = x 3 + 4 " x 2 - x 3 + 4 x 2" x 4 = = 3 x 2 x 2 - (x 3 - 4) 2 x x 4 = x 3 - 8 x 3
Dozvedeli sme sa, že derivácia funkcie bude existovať vo všetkých bodoch segmentov [1; 4] a [-4; - jeden].
Teraz musíme určiť stacionárne body funkcie. Urobme to s rovnicou x 3 - 8 x 3 = 0. Má iba jeden skutočný koreň, ktorým je 2. Bude to stacionárny bod funkcie a bude spadať do prvého segmentu [1; štyri].
Vypočítajme hodnoty funkcie na koncoch prvého segmentu a v danom bode, t.j. pre x = 1 , x = 2 a x = 4:
y(1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y(2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y(4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4
Dosiahli sme, že najväčšia hodnota funkcie m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 dosiahneme pri x = 1 a najmenšie m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 – pri x = 2 .
Druhý segment neobsahuje žiadne stacionárne body, takže musíme vypočítať funkčné hodnoty iba na koncoch daného segmentu:
y (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3
Preto m a x y x ∈ [ - 4; -1] = y (-1) = 3, m i n y x ∈ [ - 4; -1] = y (-4) = -334.
odpoveď: Pre segment [1; 4] - ma x y x ∈ [1; 4] = y (2) = 3, m n y x ∈ [ 1; 4 ] = y (2) = 3, pre segment [ - 4 ; -1] - ma x y x ∈ [ - 4; -1] = y (-1) = 3, m i n y x ∈ [ - 4; -1] = y (-4) = -334.
Pozri obrázok:
Predtým, ako sa naučíte túto metódu, odporúčame vám, aby ste si preštudovali, ako správne vypočítať jednostranný limit a limit v nekonečne, ako aj naučiť sa základné metódy na ich nájdenie. Aby sme našli najväčšiu a/alebo najmenšiu hodnotu funkcie na otvorenom alebo nekonečnom intervale, vykonáme nasledujúce kroky v poradí.
- Najprv je potrebné skontrolovať, či daný interval bude podmnožinou domény danej funkcie.
- Určme všetky body, ktoré sú obsiahnuté v požadovanom intervale a v ktorých prvá derivácia neexistuje. Zvyčajne sa vyskytujú vo funkciách, kde je argument uzavretý v znamienku modulu, a v mocninných funkciách so zlomkovo racionálnym exponentom. Ak tieto body chýbajú, môžete prejsť na ďalší krok.
- Teraz určíme, ktoré stacionárne body spadajú do daného intervalu. Najprv vyrovnáme deriváciu s 0, vyriešime rovnicu a nájdeme vhodné korene. Ak nemáme ani jeden stacionárny bod alebo nespadajú do daného intervalu, tak hneď ideme do ďalšia akcia. Sú určené typom intervalu.
- Ak interval vyzerá ako [ a ; b) , potom potrebujeme vypočítať hodnotu funkcie v bode x = a a jednostrannú limitu lim x → b - 0 f (x) .
- Ak má interval tvar (a ; b ] , tak potrebujeme vypočítať hodnotu funkcie v bode x = b a jednostrannú limitu lim x → a + 0 f (x) .
- Ak má interval tvar (a ; b) , tak musíme vypočítať jednostranné limity lim x → b - 0 f (x) , lim x → a + 0 f (x) .
- Ak interval vyzerá ako [ a ; + ∞) , potom je potrebné vypočítať hodnotu v bode x = a a limitu do plus nekonečna lim x → + ∞ f (x) .
- Ak interval vyzerá takto (- ∞ ; b ] , vypočítame hodnotu v bode x = b a limitu v mínus nekonečne lim x → - ∞ f (x) .
- Ak - ∞ ; b , potom uvažujeme jednostrannú limitu lim x → b - 0 f (x) a limitu v mínus nekonečne lim x → - ∞ f (x)
- Ak - ∞ ; + ∞ , potom uvažujeme limity do mínus a plus nekonečna lim x → + ∞ f (x) , lim x → - ∞ f (x) .
- Na konci musíte vyvodiť záver na základe získaných hodnôt funkcie a limitov. Možností je tu veľa. Ak sa teda jednostranná limita rovná mínus nekonečnu alebo plus nekonečnu, potom je hneď jasné, že o najmenšej a najväčšej hodnote funkcie sa nedá nič povedať. Nižšie sa pozrieme na jeden typický príklad. Podrobné popisy pomôže vám pochopiť, čo je čo. V prípade potreby sa môžete vrátiť k obrázkom 4 - 8 v prvej časti materiálu.
Podmienka: je daná funkcia y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 . Vypočítajte jeho najväčšiu a najmenšiu hodnotu v intervaloch - ∞ ; - 4, - ∞; -3, (-3; 1], (-3; 2), [1; 2), 2; + ∞, [4; +∞).
Riešenie
Najprv nájdeme doménu funkcie. Menovateľ zlomku je štvorcová trojčlenka, ktorá by nemala smerovať k 0:
x 2 + x - 6 = 0 D = 1 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 ⇒ D (y) : x ∈ (- ∞ ; - 3) ∪ (- 3 ; 2) ∪ (2 ; + ∞)
Získali sme definičný obor funkcie, do ktorého patria všetky intervaly uvedené v podmienke.
Teraz rozlíšime funkciu a získame:
y "= 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4" = 3 e 1 x 2 + x - 6 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 1 x 2 + x - 6 " == 3 e 1 x 2 + x - 6 1 "x 2 + x - 6 - 1 x 2 + x - 6" (x 2 + x - 6) 2 = - 3 (2 x + 1) e 1 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6 2
V dôsledku toho existujú derivácie funkcie v celej oblasti jej definície.
Prejdime k hľadaniu stacionárnych bodov. Derivácia funkcie sa stane 0 v x = -1 2 . Ide o stacionárny bod, ktorý je v intervaloch (- 3 ; 1 ] a (- 3 ; 2) .
Vypočítajme hodnotu funkcie v x = - 4 pre interval (- ∞ ; - 4 ] , ako aj limitu v mínus nekonečne:
y (- 4) \u003d 3 e 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 \u003d 3 e 1 6 - 4 ≈ - 0. 456 lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 = 3 e 0 - 4 = - 1
Keďže 3 e 1 6 - 4 > - 1, potom m a x y x ∈ (- ∞ ; - 4 ] = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4. To nám neumožňuje jednoznačne určiť najmenšiu hodnotu funkcie. Môžeme len dospieť k záveru, že existuje limit pod -1, pretože práve k tejto hodnote sa funkcia približuje asymptoticky v mínus nekonečne.
Charakteristickým znakom druhého intervalu je, že nemá jediný stacionárny bod a ani jednu prísnu hranicu. Preto nemôžeme vypočítať ani najväčšiu, ani najmenšiu hodnotu funkcie. Definovaním limitu v mínus nekonečne a ako má argument tendenciu - 3 na ľavej strane, dostaneme iba rozsah hodnôt:
lim x → - 3 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 - 0 3 e 1 (x + 3) (x - 3) - 4 = 3 e 1 (- 3 - 0 + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1
To znamená, že hodnoty funkcií sa budú nachádzať v intervale - 1 ; +∞
Aby sme našli maximálnu hodnotu funkcie v treťom intervale, určíme jej hodnotu v stacionárnom bode x = - 1 2 ak x = 1 . Potrebujeme tiež poznať jednostrannú hranicu pre prípad, keď má argument tendenciu - 3 na pravej strane:
y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 y (1) = 3 e 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1 . 644 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (- 0) - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4
Ukázalo sa, že funkcia nadobudne najväčšiu hodnotu v stacionárnom bode m a x y x ∈ (3 ; 1 ] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4. Čo sa týka najmenšej hodnoty, nevieme ju určiť. viem, je prítomnosť dolnej hranice do -4.
Pre interval (- 3 ; 2) zoberme výsledky predchádzajúceho výpočtu a ešte raz vypočítame, čomu sa rovná jednostranná hranica pri sklone k 2 z ľavej strany:
y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e - 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 lim x → 2 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 - 0 - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4
Preto m a x y x ∈ (- 3 ; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4 a najmenšiu hodnotu nemožno určiť a hodnoty funkcie sú zdola ohraničené číslom - 4 .
Na základe toho, čo sme urobili v predchádzajúcich dvoch výpočtoch, môžeme tvrdiť, že na intervale [ 1 ; 2) funkcia nadobudne najväčšiu hodnotu pri x = 1 a nie je možné nájsť najmenšiu.
Na intervale (2 ; + ∞) funkcia nedosiahne ani najväčšiu, ani najmenšiu hodnotu, t.j. bude nadobúdať hodnoty z intervalu - 1 ; +∞ .
lim x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 + 0 + 3 ) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → + ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1
Keď vypočítame, aká bude hodnota funkcie pri x = 4, zistíme, že m a x y x ∈ [ 4 ; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4 a daná funkcia v plus nekonečne sa bude asymptoticky blížiť k priamke y = - 1 .
Porovnajme, čo sme dostali pri každom výpočte, s grafom danej funkcie. Na obrázku sú asymptoty znázornené bodkovanými čiarami.
To je všetko, čo sme chceli hovoriť o hľadaní najväčšej a najmenšej hodnoty funkcie. Postupnosti akcií, ktoré sme uviedli, vám pomôžu urobiť potrebné výpočty čo najrýchlejšie a najjednoduchšie. Pamätajte však, že často je užitočné najprv zistiť, v akých intervaloch bude funkcia klesať a v akých intervaloch sa bude zvyšovať, a potom je možné vyvodiť ďalšie závery. Môžete tak presnejšie určiť najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie a zdôvodniť výsledky.
Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter
Načítava...