Ako nájsť najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie na segmente?
Pre to postupujeme podľa známeho algoritmu:
1 . Nájdeme funkcie ODZ.
2 . Hľadanie derivácie funkcie
3 . Prirovnajte deriváciu k nule
4 . Nájdeme intervaly, v ktorých si derivácia zachováva svoje znamienko, a z nich určíme intervaly nárastu a poklesu funkcie:
Ak je na intervale I derivácia funkcie 0" title="(!LANG:f^(prvočíslo)(x)>0">, то функция !} sa v tomto intervale zvyšuje.
Ak je na intervale I derivácia funkcie , potom funkcia v tomto intervale klesá.
5 . nachádzame maximálne a minimálne body funkcie.
AT maximálny bod funkcie, derivácia zmení znamienko z "+" na "-".
AT minimálny bod funkciederivácia zmení znamienko z „-“ na „+“.
6 . Nájdeme hodnotu funkcie na koncoch segmentu,
- potom porovnáme hodnotu funkcie na koncoch segmentu a v maximálnych bodoch a vyberte najväčšiu z nich, ak potrebujete nájsť najväčšiu hodnotu funkcie
- alebo porovnáme hodnotu funkcie na koncoch segmentu a v minimálnych bodoch a vyberte si najmenšiu z nich, ak ju potrebujete nájsť najmenšia hodnota funkcie
Avšak v závislosti od toho, ako sa funkcia správa na intervale, môže byť tento algoritmus výrazne zredukovaný.
Zvážte funkciu 
. Graf tejto funkcie vyzerá takto:
Zoberme si niekoľko príkladov riešenia problémov z Open Task Bank pre
jeden . Úloha B15 (#26695)
Na reze.
1. Funkcia je definovaná pre všetky reálne hodnoty x
Je zrejmé, že táto rovnica nemá žiadne riešenia a derivácia je kladná pre všetky hodnoty x. Preto sa funkcia zväčšuje a nadobúda najväčšiu hodnotu na pravom konci intervalu, teda pri x=0.
odpoveď: 5.
2 . Úloha B15 (č. 26702)
Nájdite najväčšiu hodnotu funkcie 
na segmente.
1.Funkcia ODZ title="(!LANG:x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}
Derivácia je nula v , avšak v týchto bodoch nemení znamienko:
Preto title="(!LANG:3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} sa zvyšuje a nadobúda najväčšiu hodnotu na pravom konci intervalu, pri .
Aby bolo jasné, prečo derivácia nemení znamienko, transformujeme výraz pre deriváciu takto:
Title="(!LANG:y^(prvočíslo)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}
odpoveď: 5.
3. Úloha B15 (#26708)
Nájdite najmenšiu hodnotu funkcie na intervale.
1. Funkcie ODZ: title="(!LANG:x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}
Umiestnime korene tejto rovnice na trigonometrický kruh.
Interval obsahuje dve čísla: a
Umiestnime znamenia. Aby sme to dosiahli, určíme znamienko derivácie v bode x=0: 
. Pri prechode bodmi a deriváciou sa zmení znamienko.
Znázornime zmenu znamienka derivácie funkcie na súradnicovej čiare:
Je zrejmé, že bod je minimálny bod (kde derivácia mení znamienko z „-“ na „+“), a aby ste našli najmenšiu hodnotu funkcie v segmente, musíte porovnať hodnoty funkcie v minimálny bod a na ľavom konci segmentu, .
Miniatúrna a pomerne jednoduchá úloha, ktorá slúži ako záchranné lano pre plávajúceho študenta. V prírode, ospalá ríša polovice júla, a tak je čas usadiť sa s notebookom na pláži. Skoro ráno začal hrať slnečný lúč teórie, aby sa čoskoro zameral na prax, ktorá napriek deklarovanej ľahkosti obsahuje v piesku úlomky skla. V tejto súvislosti odporúčam svedomito zvážiť niekoľko príkladov tejto stránky. Na riešenie praktických úloh musíte byť schopní nájsť deriváty a porozumieť obsahu článku Intervaly monotónnosti a extrémy funkcie.
Najprv stručne o hlavnej veci. V lekcii o kontinuita funkcie Uviedol som definíciu spojitosti v bode a spojitosti v intervale. Podobným spôsobom je formulované aj príkladné správanie funkcie na segmente. Funkcia je spojitá na segmente, ak:
1) je spojitá na intervale;
2) súvislý v bode napravo a na mieste vľavo.
Druhý odsek pojednáva o tzv jednostranná kontinuita funguje v určitom bode. Existuje niekoľko prístupov k jeho definícii, ale ja sa budem držať skôr začatej línie:
Funkcia je spojitá v bode napravo, ak je definovaný v danom bode a jeho pravá hranica sa zhoduje s hodnotou funkcie v danom bode: 
. V bode je spojitá vľavo, ak je definovaný v danom bode a jeho ľavá hranica sa rovná hodnote v tomto bode: 
Predstavte si, že zelené bodky sú nechty, na ktorých je pripevnená magická gumička:
V duchu vezmite červenú čiaru do rúk. Je zrejmé, že bez ohľadu na to, ako ďaleko natiahneme graf nahor a nadol (pozdĺž osi), funkcia stále zostane obmedzené- hore živý plot, dole živý plot a náš produkt sa pasie vo výbehu. teda funkcia spojitá na segmente je na ňom ohraničená. V priebehu matematickej analýzy je tento zdanlivo jednoduchý fakt konštatovaný a dôsledne dokázaný Prvá Weierstrassova veta.... Mnohým ľuďom vadí, že elementárne tvrdenia sú v matematike únavne podložené, no má to dôležitý význam. Predpokladajme, že istý obyvateľ terryho stredoveku vytiahol graf na oblohu za hranice viditeľnosti, toto bolo vložené. Pred vynálezom ďalekohľadu nebola obmedzená funkcia vo vesmíre vôbec zrejmá! Ako vlastne viete, čo nás čaká za horizontom? Veď kedysi bola Zem považovaná za plochú, takže dnes aj obyčajná teleportácia vyžaduje dôkaz =)
Podľa druhá Weierstrassova veta, kontinuálne na segmentefunkcia dosiahne svoje presný horný okraj a jeho presný spodný okraj .
Číslo sa tiež volá maximálna hodnota funkcie na segmente a označené a číslom - minimálna hodnota funkcie na intervale označené .
V našom prípade: 
Poznámka
: teoreticky sú záznamy bežné 
.
Zhruba povedané, najväčšia hodnota sa nachádza tam, kde je najvyšší bod grafu, a najmenšia - tam, kde je najnižší bod.
Dôležité! Ako už bolo uvedené v článku o extrémy funkcie, najväčšia hodnota funkcie a najmenšia funkčná hodnota – NIE SÚ ROVNAKÉ, čo maximálna funkcia a funkčné minimum. Takže v tomto príklade je číslo minimom funkcie, ale nie minimálnou hodnotou.
Mimochodom, čo sa deje mimo segmentu? Ano aj potopa, v kontexte uvazovaneho problemu nas toto vobec nezaujima. Úloha zahŕňa iba nájdenie dvoch čísel 
a je to!
Navyše, riešenie je čisto analytické, preto netreba kresliť!
Algoritmus leží na povrchu a naznačuje sa z vyššie uvedeného obrázku:
1) Nájdite hodnoty funkcií v kritických bodov, ktoré patria do tohto segmentu.
Chyťte ešte jednu dobrotu: nie je potrebné kontrolovať dostatočnú podmienku pre extrém, pretože, ako je práve uvedené, prítomnosť minima alebo maxima ešte nie je zaručené, čo je minimálna resp maximálna hodnota. Demonštračná funkcia dosahuje maximum a z vôle osudu je rovnaké číslo najväčšou hodnotou funkcie na intervale . Ale, samozrejme, nie vždy sa takáto náhoda odohrá.
V prvom kroku je teda rýchlejšie a jednoduchšie vypočítať hodnoty funkcie v kritických bodoch patriacich do segmentu bez toho, aby ste sa obťažovali, či majú extrémy alebo nie.
2) Vypočítame hodnoty funkcie na koncoch segmentu.
3) Medzi hodnotami funkcie nájdenými v 1. a 2. odseku vyberte najmenšie a najväčšie číslo a zapíšte odpoveď.
Sedíme na brehu modrého mora a narážame na päty v plytkej vode:
Príklad 1
Nájdite najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie v segmente
rozhodnutie:
1) Vypočítajte hodnoty funkcie v kritických bodoch patriacich do tohto segmentu:
Vypočítajme hodnotu funkcie v druhom kritickom bode:
2) Vypočítajte hodnoty funkcie na koncoch segmentu: 
3) „Tučné“ výsledky boli získané s exponenciálami a logaritmami, čo značne komplikuje ich porovnanie. Z tohto dôvodu sa vyzbrojíme kalkulačkou alebo Excelom a vypočítame približné hodnoty, pričom nezabudneme, že: 
Teraz je všetko jasné.
Odpoveď:
Zlomkovo-racionálna inštancia pre nezávislé riešenie:
Príklad 6
Nájdite maximálne a minimálne hodnoty funkcie v segmente
Z praktického hľadiska je najzaujímavejšie použitie derivácie na nájdenie najväčšej a najmenšej hodnoty funkcie. S čím to súvisí? Maximalizácia zisku, minimalizácia nákladov, určenie optimálneho zaťaženia zariadení... Inými slovami, v mnohých oblastiach života treba riešiť problém s optimalizáciou niektorých parametrov. A to je problém nájsť najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie.
Treba poznamenať, že najväčšia a najmenšia hodnota funkcie sa zvyčajne hľadá na nejakom intervale X , ktorý je buď celým definičným oborom funkcie, alebo časťou definičného oboru. Samotný interval X môže byť úsečka, otvorený interval 
, nekonečný interval .
V tomto článku budeme hovoriť o hľadaní najväčších a najmenších hodnôt explicitne danej funkcie jednej premennej y=f(x) .
Navigácia na stránke.
Najväčšia a najmenšia hodnota funkcie - definície, ilustrácie.
Zastavme sa krátko pri hlavných definíciách.
Najväčšia hodnota funkcie 
, ktorý pre hociktorý 
nerovnosť je pravdivá.
Najmenšia hodnota funkcie y=f(x) na intervale X sa nazýva takáto hodnota 
, ktorý pre hociktorý nerovnosť je pravdivá.
Tieto definície sú intuitívne: najväčšia (najmenšia) hodnota funkcie je najväčšia (najmenšia) hodnota akceptovaná v uvažovanom intervale s osou x.
Stacionárne body sú hodnoty argumentu, pri ktorom derivácia funkcie zaniká.
Prečo potrebujeme stacionárne body pri hľadaní najväčších a najmenších hodnôt? Odpoveď na túto otázku dáva Fermatova veta. Z tejto vety vyplýva, že ak má diferencovateľná funkcia v určitom bode extrém (lokálne minimum alebo lokálne maximum), potom je tento bod stacionárny. Funkcia teda často nadobúda svoju maximálnu (najmenšiu) hodnotu na intervale X v jednom zo stacionárnych bodov z tohto intervalu.
Funkcia môže tiež často nadobúdať najväčšie a najmenšie hodnoty v bodoch, kde prvá derivácia tejto funkcie neexistuje a je definovaná samotná funkcia.
Hneď si odpovedzme na jednu z najčastejších otázok na túto tému: „Je vždy možné určiť najväčšiu (najmenšiu) hodnotu funkcie“? Nie vždy. Niekedy sa hranice intervalu X zhodujú s hranicami definičného oboru funkcie, alebo je interval X nekonečný. A niektoré funkcie v nekonečne a na hraniciach oblasti definície môžu nadobúdať nekonečne veľké aj nekonečne malé hodnoty. V týchto prípadoch nemožno nič povedať o najväčšej a najmenšej hodnote funkcie.
Pre prehľadnosť uvádzame grafické znázornenie. Pozrite sa na obrázky - a veľa bude jasné.
Na segmente
Na prvom obrázku funkcia naberá najväčšie (max y) a najmenšie (min y) hodnoty v stacionárnych bodoch vo vnútri segmentu [-6;6].
Zvážte prípad zobrazený na druhom obrázku. Zmeňte segment na . V tomto príklade sa najmenšia hodnota funkcie dosiahne v stacionárnom bode a najväčšia - v bode s osou zodpovedajúcou pravá hranica interval.
Na obrázku č. 3 sú hraničné body úsečky [-3; 2] úsečkami bodov zodpovedajúcich najväčšej a najmenšej hodnote funkcie.
Vo voľnom výbehu
Na štvrtom obrázku funkcia naberá najväčšie (max y) a najmenšie (min y) hodnoty v stacionárnych bodoch v rámci otvoreného intervalu (-6;6).
Pri intervale nemožno vyvodiť závery o najväčšej hodnote.
V nekonečne
V príklade znázornenom na siedmom obrázku má funkcia najväčšiu hodnotu (max y ) v stacionárnom bode s os x=1 a najmenšiu hodnotu (min y ) dosiahne na pravej hranici intervalu. V mínus nekonečne sa hodnoty funkcie asymptoticky blížia k y=3.
Na intervale funkcia nedosahuje ani najmenšiu, ani najväčšiu hodnotu. Keďže x=2 smeruje doprava, funkčné hodnoty majú tendenciu k mínus nekonečnu (priama čiara x=2 je vertikálna asymptota) a keďže úsečka smeruje k plus nekonečnu, funkčné hodnoty sa asymptoticky približujú k y=3 . Grafické znázornenie tohto príkladu je znázornené na obrázku 8.
Algoritmus na nájdenie najväčších a najmenších hodnôt spojitej funkcie na segmente.
Napíšeme algoritmus, ktorý nám umožní nájsť najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie na segmente.
- Nájdeme doménu funkcie a skontrolujeme, či obsahuje celý segment.
- Nájdeme všetky body, v ktorých prvá derivácia neexistuje a ktoré sú obsiahnuté v segmente (spravidla sa takéto body vyskytujú vo funkciách s argumentom pod znakom modulu a v mocenské funkcie so zlomkovým racionálnym exponentom). Ak takéto body neexistujú, prejdite na ďalší bod.
- Určujeme všetky stacionárne body, ktoré spadajú do segmentu. Aby sme to dosiahli, vyrovnáme sa nule, vyriešime výslednú rovnicu a vyberieme príslušné korene. Ak neexistujú žiadne stacionárne body alebo žiadny z nich nespadá do segmentu, prejdite na ďalší krok.
- Hodnoty funkcie vypočítame vo vybraných stacionárnych bodoch (ak existujú), v bodoch, kde prvá derivácia neexistuje (ak existuje), a tiež v x=a a x=b.
- Zo získaných hodnôt funkcie vyberieme najväčšiu a najmenšiu - budú to požadované maximálne a najmenšie hodnoty funkcie.
Poďme analyzovať algoritmus pri riešení príkladu na nájdenie najväčších a najmenších hodnôt funkcie na segmente.
Príklad.
Nájdite najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie
- na segmente;
- na intervale [-4;-1] .
rozhodnutie.
Definičný obor funkcie je celá množina reálnych čísel okrem nuly, teda . Oba segmenty spadajú do oblasti definície.
Nájdeme deriváciu funkcie vzhľadom na: 
Je zrejmé, že derivácia funkcie existuje vo všetkých bodoch segmentov a [-4;-1] .
Stacionárne body sa určia z rovnice . Jediný skutočný koreň je x=2 . Tento stacionárny bod spadá do prvého segmentu.
V prvom prípade vypočítame hodnoty funkcie na koncoch segmentu a v stacionárnom bode, teda pre x=1, x=2 a x=4: 
Preto najväčšia hodnota funkcie 
sa dosiahne pri x=1 a najmenšia hodnota 
– pri x=2.
V druhom prípade vypočítame hodnoty funkcie iba na koncoch segmentu [-4;-1] (keďže neobsahuje jediný stacionárny bod): 
Nech je funkcia $z=f(x,y)$ definovaná a spojitá v nejakej ohraničenej uzavretej doméne $D$. Nech má daná funkcia v tejto oblasti konečné parciálne derivácie prvého rádu (možno s výnimkou konečného počtu bodov). Na nájdenie najväčších a najmenších hodnôt funkcie dvoch premenných v danej uzavretej oblasti sú potrebné tri kroky jednoduchého algoritmu.
Algoritmus na nájdenie najväčších a najmenších hodnôt funkcie $z=f(x,y)$ v uzavretej doméne $D$.
- Nájdite kritické body funkcie $z=f(x,y)$, ktoré patria do oblasti $D$. Vypočítajte funkčné hodnoty v kritických bodoch.
- Preskúmajte správanie funkcie $z=f(x,y)$ na hranici oblasti $D$ nájdením bodov možných maximálnych a minimálnych hodnôt. Vypočítajte funkčné hodnoty v získaných bodoch.
- Z funkčných hodnôt získaných v predchádzajúcich dvoch odsekoch vyberte najväčšiu a najmenšiu.
Čo sú kritické body? ukázať skryť
Pod kritických bodov implikujú body, kde sa obe parciálne derivácie prvého rádu rovnajú nule (t. j. $\frac(\čiastočné z)(\čiastočné x)=0$ a $\frac(\čiastočné z)(\čiastočné y)=0 $) alebo aspoň jedna parciálna derivácia neexistuje.
Často sa nazývajú body, v ktorých sú parciálne derivácie prvého rádu rovné nule stacionárne body. Stacionárne body sú teda podmnožinou kritických bodov.
Príklad č. 1
Nájdite maximálne a minimálne hodnoty funkcie $z=x^2+2xy-y^2-4x$ v uzavretej oblasti ohraničenej čiarami $x=3$, $y=0$ a $y=x +1 $.
Budeme postupovať podľa vyššie uvedeného, ale najskôr sa budeme zaoberať zakreslením danej oblasti, ktorú označíme písmenom $D$. Sú nám dané rovnice troch priamok, ktoré ohraničujú túto oblasť. Priamka $x=3$ prechádza bodom $(3;0)$ rovnobežne s osou y (os Oy). Priamka $y=0$ je rovnica osi x (os Ox). Aby sme zostrojili priamku $y=x+1$, nájdime dva body, cez ktoré túto priamku nakreslíme. Namiesto $ x $ môžete, samozrejme, nahradiť niekoľko ľubovoľných hodnôt. Napríklad dosadením $x=10$ dostaneme: $y=x+1=10+1=11$. Našli sme bod $(10;11)$ ležiaci na priamke $y=x+1$. Je však lepšie nájsť tie body, kde sa priamka $y=x+1$ pretína s priamkami $x=3$ a $y=0$. prečo je to lepšie? Pretože jedným kameňom položíme pár vtákov: za zostrojenie priamky $y=x+1$ dostaneme dva body a zároveň zistíme, v ktorých bodoch táto priamka pretína ďalšie priamky, ktoré dané oblasť. Priamka $y=x+1$ pretína priamku $x=3$ v bode $(3;4)$ a priamka $y=0$ - v bode $(-1;0)$. Aby som priebeh riešenia nezahlcoval pomocnými vysvetlivkami, otázku získania týchto dvoch bodov uvediem do poznámky.
Ako boli získané body $(3;4)$ a $(-1;0)$? ukázať skryť
Začnime od priesečníka priamok $y=x+1$ a $x=3$. Súradnice požadovaného bodu patria do prvého aj druhého riadku, takže ak chcete nájsť neznáme súradnice, musíte vyriešiť systém rovníc:
$$ \vľavo \( \začiatok(zarovnané) & y=x+1;\\ & x=3. \koniec(zarovnané) \vpravo. $$
Riešenie takéhoto systému je triviálne: dosadením $x=3$ do prvej rovnice dostaneme: $y=3+1=4$. Bod $(3;4)$ je požadovaný priesečník priamok $y=x+1$ a $x=3$.
Teraz nájdime priesečník priamok $y=x+1$ a $y=0$. Opäť skladáme a riešime sústavu rovníc:
$$ \vľavo \( \začiatok(zarovnané) & y=x+1;\\ & y=0. \koniec(zarovnané) \vpravo. $$
Dosadením $y=0$ do prvej rovnice dostaneme: $0=x+1$, $x=-1$. Bod $(-1;0)$ je požadovaný priesečník priamok $y=x+1$ a $y=0$ (os x).
Všetko je pripravené na vytvorenie výkresu, ktorý bude vyzerať takto:
Otázka poznámky sa zdá byť zrejmá, pretože z obrázku je vidieť všetko. Je však potrebné pripomenúť, že kresba nemôže slúžiť ako dôkaz. Obrázok je len ilustráciou pre názornosť.
Naša oblasť bola stanovená pomocou rovníc priamok, ktoré ju obmedzujú. Je zrejmé, že tieto čiary definujú trojuholník, však? Alebo nie celkom zrejmé? Alebo možno máme inú oblasť ohraničenú rovnakými čiarami:
Samozrejme, podmienka hovorí, že oblasť je uzavretá, takže zobrazený obrázok je nesprávny. Aby sa však predišlo takýmto nejasnostiam, je lepšie definovať regióny podľa nerovností. Zaujíma nás časť roviny nachádzajúca sa pod čiarou $y=x+1$? Dobre, takže $y ≤ x+1 $. Naša oblasť by sa mala nachádzať nad čiarou $y=0$? Skvelé, takže $y ≥ 0 $. Mimochodom, posledné dve nerovnosti sa dajú ľahko spojiť do jednej: $0 ≤ y ≤ x+1 $.
$$ \vľavo \( \začiatok(zarovnané) & 0 ≤ y ≤ x+1;\\ & x ≤ 3. \end(zarovnané) \vpravo. $$
Tieto nerovnosti definujú doménu $D$ a definujú ju jednoznačne, bez akýchkoľvek nejasností. Ako nám to však pomôže v otázke na začiatku poznámky pod čiarou? Aj to pomôže :) Musíme skontrolovať, či bod $M_1(1;1)$ patrí do regiónu $D$. Dosaďte $x=1$ a $y=1$ do systému nerovností, ktoré definujú túto oblasť. Ak sú obe nerovnosti splnené, potom bod leží vo vnútri regiónu. Ak nie je splnená aspoň jedna z nerovností, bod kraju nepatrí. Takže:
$$ \left \( \begin(zarovnané) & 0 ≤ 1 ≤ 1+1;\\ & 1 ≤ 3. \end(zarovnané) \right. \;\; \left \( \begin(zarovnané) & 0 ≤ 1 ≤ 2;\\ & 1 ≤ 3. \end(zarovnané) \right.$$
Obe nerovnosti sú pravdivé. Bod $M_1(1;1)$ patrí do oblasti $D$.
Teraz je rad na skúmaní správania sa funkcie na hranici definičného oboru, t.j. ísť do. Začnime s priamkou $y=0$.
Priama čiara $y=0$ (os x) obmedzuje oblasť $D$ za podmienky $-1 ≤ x ≤ 3$. Dosaďte $y=0$ do danej funkcie $z(x,y)=x^2+2xy-y^2-4x$. Výsledná substitučná funkcia jednej premennej $x$ bude označená ako $f_1(x)$:
$$ f_1(x)=z(x,0)=x^2+2x\cdot 0-0^2-4x=x^2-4x. $$
Teraz pre funkciu $f_1(x)$ potrebujeme nájsť najväčšiu a najmenšiu hodnotu na intervale $-1 ≤ x ≤ 3$. Nájdite deriváciu tejto funkcie a prirovnajte ju k nule:
$$ f_(1)^(")(x)=2x-4;\\ 2x-4=0; \; x=2. $$
Hodnota $x=2$ patrí segmentu $-1 ≤ x ≤ 3$, preto do zoznamu bodov pridáme aj $M_2(2;0)$. Okrem toho vypočítame hodnoty funkcie $z$ na koncoch segmentu $-1 ≤ x ≤ 3$, t.j. v bodoch $M_3(-1;0)$ a $M_4(3;0)$. Mimochodom, ak by bod $M_2$ nepatril do uvažovaného segmentu, potom by v ňom samozrejme nebolo potrebné počítať hodnotu funkcie $z$.
Vypočítajme teda hodnoty funkcie $z$ v bodoch $M_2$, $M_3$, $M_4$. Súradnice týchto bodov môžete samozrejme dosadiť do pôvodného výrazu $z=x^2+2xy-y^2-4x$. Napríklad pre bod $M_2$ dostaneme:
$$z_2=z(M_2)=2^2+2\cdot 2\cdot 0-0^2-4\cdot 2=-4,$$
Výpočty sa však dajú trochu zjednodušiť. Aby sme to dosiahli, je potrebné pripomenúť, že na segmente $M_3M_4$ máme $z(x,y)=f_1(x)$. Rozpíšem to podrobne:
\začiatok(zarovnané) & z_2=z(M_2)=z(2,0)=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\\ & z_3=z(M_3)=z(- 1,0)=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\\ & z_4=z(M_4)=z(3,0)=f_1(3)= 3^2-4\cdot 3=-3. \end (zarovnané)
Samozrejme, zvyčajne nie sú potrebné takéto podrobné záznamy a v budúcnosti začneme všetky výpočty zapisovať kratšie:
$$z_2=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\; z_3=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\; z_4=f_1(3)=3^2-4\cdot 3=-3,$$
Teraz sa obráťme na priamku $x=3$. Táto čiara ohraničuje doménu $D$ pod podmienkou $0 ≤ y ≤ 4$. Dosaďte $x=3$ do danej funkcie $z$. V dôsledku takejto substitúcie dostaneme funkciu $f_2(y)$:
$$ f_2(y)=z(3,y)=3^2+2\cdot 3\cdot y-y^2-4\cdot 3=-y^2+6y-3. $$
Pre funkciu $f_2(y)$ musíte nájsť najväčšiu a najmenšiu hodnotu na intervale $0 ≤ y ≤ 4$. Nájdite deriváciu tejto funkcie a prirovnajte ju k nule:
$$ f_(2)^(")(y)=-2y+6;\\ -2y+6=0; \; y=3. $$
Hodnota $y=3$ patrí segmentu $0 ≤ y ≤ 4$, takže k bodom zisteným skôr pripočítame $M_5(3;3)$. Okrem toho je potrebné vypočítať hodnotu funkcie $z$ v bodoch na koncoch segmentu $0 ≤ y ≤ 4$, t.j. v bodoch $M_4(3;0)$ a $M_6(3;4)$. V bode $M_4(3;0)$ sme už vypočítali hodnotu $z$. Vypočítajme hodnotu funkcie $z$ v bodoch $M_5$ a $M_6$. Dovoľte mi pripomenúť, že na segmente $M_4M_6$ máme $z(x,y)=f_2(y)$, teda:
\začiatok(zarovnané) & z_5=f_2(3)=-3^2+6\cdot 3-3=6; &z_6=f_2(4)=-4^2+6\cdot 4-3=5. \end (zarovnané)
A nakoniec zvážte poslednú hranicu $D$, t.j. riadok $y=x+1$. Táto čiara ohraničuje oblasť $D$ pod podmienkou $-1 ≤ x ≤ 3$. Nahradením $y=x+1$ do funkcie $z$ dostaneme:
$$ f_3(x)=z(x,x+1)=x^2+2x\cdot (x+1)-(x+1)^2-4x=2x^2-4x-1. $$
Opäť tu máme funkciu jednej premennej $x$. A opäť musíte nájsť najväčšie a najmenšie hodnoty tejto funkcie na segmente $-1 ≤ x ≤ 3$. Nájdite deriváciu funkcie $f_(3)(x)$ a prirovnajte ju k nule:
$$ f_(3)^(")(x)=4x-4;\\ 4x-4=0; \; x=1. $$
Hodnota $x=1$ patrí do intervalu $-1 ≤ x ≤ 3$. Ak $x=1$, potom $y=x+1=2$. Do zoznamu bodov pridajme $M_7(1;2)$ a zistíme, aká je v tomto bode hodnota funkcie $z$. Body na koncoch segmentu $-1 ≤ x ≤ 3$, t.j. body $M_3(-1;0)$ a $M_6(3;4)$ sme uvažovali skôr, už sme v nich našli hodnotu funkcie.
$$z_7=f_3(1)=2\cdot 1^2-4\cdot 1-1=-3,$$
Druhý krok riešenia je dokončený. Máme sedem hodnôt:
$$z_1=-2;\;z_2=-4;\;z_3=5;\;z_4=-3;\;z_5=6;\;z_6=5;\;z_7=-3,$$
Obráťme sa na. Výberom najväčších a najmenších hodnôt z čísel získaných v treťom odseku budeme mať:
$$z_(min)=-4; \; z_(max)=6,$$
Problém je vyriešený, zostáva len zapísať odpoveď.
Odpoveď: $z_(min)=-4; \; z_(max)=6$.
Príklad č. 2
Nájdite najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie $z=x^2+y^2-12x+16y$ v oblasti $x^2+y^2 ≤ 25 $.
Najprv zostavíme výkres. Rovnica $x^2+y^2=25$ (toto je hraničná čiara danej oblasti) definuje kružnicu so stredom v počiatku (t.j. v bode $(0;0)$) a polomerom 5. Nerovnosť $x^2 +y^2 ≤ 25$ vyhovie všetkým bodom vo vnútri a na uvedenom kruhu.
Budeme konať. Poďme nájsť parciálne derivácie a zistiť kritické body.
$$ \frac(\čiastočné z)(\čiastočné x)=2x-12; \frac(\čiastočné z)(\čiastočné y)=2y+16. $$
Neexistujú žiadne body, v ktorých by neexistovali nájdené parciálne derivácie. Zistime, v ktorých bodoch sú obe parciálne derivácie súčasne rovné nule, t.j. nájsť stacionárne body.
$$ \vľavo \( \začiatok(zarovnané) & 2x-12=0;\\ & 2y+16=0. \koniec(zarovnané) \vpravo. \;\; \vľavo \( \začiatok(zarovnané) & x =6;\\ & y=-8.\end(zarovnané) \vpravo.$$
Dostali sme stacionárny bod $(6;-8)$. Nájdený bod však nepatrí do oblasti $D$. Je ľahké to ukázať bez toho, aby ste sa museli uchýliť k kresleniu. Skontrolujme, či platí nerovnosť $x^2+y^2 ≤ 25$, ktorá definuje našu doménu $D$. Ak $x=6$, $y=-8$, potom $x^2+y^2=36+64=100$, t.j. nerovnosť $x^2+y^2 ≤ 25$ nie je splnená. Záver: bod $(6;-8)$ nepatrí do oblasti $D$.
Vo vnútri $D$ teda nie sú žiadne kritické body. Poďme ďalej, do. Potrebujeme vyšetriť správanie sa funkcie na hranici danej oblasti, t.j. na kruhu $x^2+y^2=25$. Môžete, samozrejme, vyjadriť $y$ ako $x$ a výsledný výraz potom dosadiť do našej funkcie $z$. Z kruhovej rovnice dostaneme: $y=\sqrt(25-x^2)$ alebo $y=-\sqrt(25-x^2)$. Nahradením napríklad $y=\sqrt(25-x^2)$ do danej funkcie dostaneme:
$$ z=x^2+y^2-12x+16y=x^2+25-x^2-12x+16\sqrt(25-x^2)=25-12x+16\sqrt(25-x ^2); \;\; -5≤ x ≤ 5. $$
Ďalšie riešenie bude úplne totožné so štúdiom správania sa funkcie na hranici regiónu v predchádzajúcom príklade č.1. Zdá sa mi však rozumnejšie v tejto situácii použiť Lagrangeovu metódu. Nás zaujíma iba prvá časť tejto metódy. Po aplikovaní prvej časti Lagrangeovej metódy získame body, pri ktorých preskúmame funkciu $z$ na minimálne a maximálne hodnoty.
Zostavíme Lagrangeovu funkciu:
$$ F=z(x,y)+\lambda\cdot(x^2+y^2-25)=x^2+y^2-12x+16y+\lambda\cdot (x^2+y^2 -25). $$
Nájdeme parciálne derivácie Lagrangeovej funkcie a zostavíme zodpovedajúci systém rovníc:
$$ F_(x)^(")=2x-12+2\lambda x; \;\; F_(y)^(")=2y+16+2\lambda y.\\ \vľavo \( \začiatok (zarovnané) & 2x-12+2\lambda x=0;\\ & 2y+16+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-25=0.\end (zarovnané) \ vpravo. \;\; \vľavo \( \začiatok(zarovnané) & x+\lambda x=6;\\ & y+\lambda y=-8;\\ & x^2+y^2=25. \end( zarovnané)\vpravo.$$
Aby sme tento systém vyriešili, okamžite označme $\lambda\neq -1$. Prečo $\lambda\neq -1$? Skúsme nahradiť $\lambda=-1$ do prvej rovnice:
$$ x+(-1)\cdot x=6; \; x-x=6; \; 0 = 6. $$
Výsledný rozpor $0=6$ hovorí, že hodnota $\lambda=-1$ je neplatná. Výstup: $\lambda\neq -1$. Vyjadrime $x$ a $y$ v podmienkach $\lambda$:
\begin(zarovnané) & x+\lambda x=6;\; x(1+\lambda)=6;\; x=\frac(6)(1+\lambda). \\ & y+\lambda y=-8;\; y(1+\lambda)=-8;\; y=\frac(-8)(1+\lambda). \end (zarovnané)
Verím, že tu je zrejmé, prečo sme konkrétne stanovili podmienku $\lambda\neq -1$. Toto bolo urobené, aby sa výraz $1+\lambda$ zmestil do menovateľov bez rušenia. To znamená, aby ste mali istotu, že menovateľ je $1+\lambda\neq 0$.
Získané výrazy pre $x$ a $y$ dosadíme do tretej rovnice sústavy, t.j. v $x^2+y^2=25$:
$$ \left(\frac(6)(1+\lambda) \right)^2+\left(\frac(-8)(1+\lambda) \right)^2=25;\\ \frac( 36)((1+\lambda)^2)+\frac(64)((1+\lambda)^2)=25;\\ \frac(100)((1+\lambda)^2)=25 ; \; (1+\lambda)^2=4. $$
Z výslednej rovnosti vyplýva, že $1+\lambda=2$ alebo $1+\lambda=-2$. Máme teda dve hodnoty parametra $\lambda$, a to: $\lambda_1=1$, $\lambda_2=-3$. V súlade s tým dostaneme dva páry hodnôt $ x $ a $ y $:
\begin(zarovnané) & x_1=\frac(6)(1+\lambda_1)=\frac(6)(2)=3; \; y_1=\frac(-8)(1+\lambda_1)=\frac(-8)(2)=-4. \\ & x_2=\frac(6)(1+\lambda_2)=\frac(6)(-2)=-3; \; y_2=\frac(-8)(1+\lambda_2)=\frac(-8)(-2)=4. \end (zarovnané)
Získali sme teda dva body možného podmieneného extrému, t.j. $M_1(3;-4)$ a $M_2(-3;4)$. Nájdite hodnoty funkcie $z$ v bodoch $M_1$ a $M_2$:
\začiatok(zarovnané) & z_1=z(M_1)=3^2+(-4)^2-12\cdot 3+16\cdot (-4)=-75; \\ & z_2=z(M_2)=(-3)^2+4^2-12\cdot(-3)+16\cdot 4=125. \end (zarovnané)
Mali by sme vybrať najväčšie a najmenšie hodnoty z tých, ktoré sme získali v prvom a druhom kroku. Ale v tomto prípade je výber malý :) Máme:
$$z_(min)=-75; \; z_(max)=125. $$
Odpoveď: $z_(min)=-75; \; z_(max)=125$.
A na jeho vyriešenie potrebujete minimálne znalosti danej témy. Ďalší akademický rok, každý chce ísť na dovolenku a aby som tento moment priblížil, hneď sa pustím do práce:
Začnime oblasťou. Oblasť uvedená v podmienke je obmedzené ZATVORENÉ množina bodov v rovine. Napríklad množina bodov ohraničená trojuholníkom vrátane CELÉHO trojuholníka (ak od hranice„Vystrčte“ aspoň jeden bod, potom už oblasť nebude uzavretá). V praxi sa vyskytujú aj plochy pravouhlých, okrúhlych a trochu zložitejších tvarov. Je potrebné poznamenať, že v teórii matematickej analýzy sú uvedené prísne definície obmedzenia, izolácia, hranice atď., ale myslím si, že každý si je vedomý týchto pojmov na intuitívnej úrovni a viac teraz nie je potrebné.
Plocha sa štandardne označuje písmenom a spravidla je daná analyticky - niekoľkými rovnicami (nie nevyhnutne lineárne); menej často nerovnosti. Typický slovný obrat: „uzavretý priestor ohraničený čiarami“.
Neoddeliteľnou súčasťou uvažovanej úlohy je konštrukcia plochy na výkrese. Ako to spraviť? Je potrebné nakresliť všetky uvedené čiary (v tomto prípade 3 rovno) a analyzujte, čo sa stalo. Požadovaná oblasť je zvyčajne jemne šrafovaná a jej okraj je zvýraznený hrubou čiarou: 
Je možné nastaviť rovnakú oblasť lineárne nerovnosti: , ktoré sa z nejakého dôvodu častejšie píšu ako zoznam enumerácií, a nie systému.
Keďže hranica patrí regiónu, potom všetky nerovnosti, samozrejme, neprísne.
A teraz jadro veci. Predstavte si, že os ide priamo k vám z počiatku súradníc. Zvážte funkciu, ktorá nepretržitý v každom plošný bod. Graf tejto funkcie je povrch, a malým šťastím je, že na vyriešenie dnešného problému vôbec nemusíme vedieť, ako tento povrch vyzerá. Môže byť umiestnený nad, pod, cez rovinu - to všetko nie je dôležité. A dôležité je nasledovné: podľa Weierstrassove vety, nepretržitý v obmedzené zatvorené oblasti, funkcia dosahuje maximum (z "najvyšších") a najmenej (z "najnižších") hodnoty, ktoré treba nájsť. Tieto hodnoty sa dosahujú alebo v stacionárne body, patriace do regiónuD , alebo v bodoch, ktoré ležia na hranici tohto regiónu. Z toho vyplýva jednoduchý a prehľadný algoritmus riešenia:
Príklad 1
V obmedzenom uzavretom priestore
rozhodnutie: Najprv musíte na výkrese znázorniť oblasť. Bohužiaľ je pre mňa technicky náročné urobiť interaktívny model problému, a preto hneď uvediem finálnu ilustráciu, na ktorej sú zobrazené všetky „podozrivé“ body zistené pri štúdiu. Zvyčajne sa ukladajú jeden po druhom, keď sa nájdu: 
Na základe preambuly možno rozhodnutie pohodlne rozdeliť do dvoch bodov:
I) Nájdite stacionárne body. Ide o štandardný úkon, ktorý sme na lekcii opakovane vykonávali. o extrémoch viacerých premenných:
Nájdený stacionárny bod patrí oblasti: (označte to na výkrese), čo znamená, že by sme mali vypočítať hodnotu funkcie v danom bode:
- ako v článku Najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie v segmente, dôležité výsledky Dám to tučným písmom. V zošite je vhodné ich zakrúžkovať ceruzkou.
Venujte pozornosť nášmu druhému šťastiu - nemá zmysel kontrolovať postačujúca podmienka pre extrém. prečo? Aj keď v bode funkcia dosiahne napr. miestne minimum, tak to NEZNAMENÁ, že výsledná hodnota bude minimálne v celom regióne (pozri začiatok lekcie o bezpodmienečných extrémoch) .
Čo ak stacionárny bod NEPATRÍ do oblasti? Takmer nič! Treba poznamenať, že a prejdite na ďalší odsek.
II) Skúmame hranicu regiónu.
Keďže hranica pozostáva zo strán trojuholníka, je vhodné rozdeliť štúdiu na 3 pododseky. Ale je lepšie to urobiť nie. Z môjho pohľadu je najskôr výhodnejšie uvažovať o segmentoch rovnobežných so súradnicovými osami a v prvom rade o tých, ktoré ležia na samotných osiach. Ak chcete zachytiť celú postupnosť a logiku akcií, skúste si naštudovať koniec „jedným dychom“:
1) Vyrovnať sa s spodná strana trojuholník. Aby sme to dosiahli, dosadíme priamo do funkcie:
Prípadne to môžete urobiť takto: 
Geometricky to znamená, že súradnicová rovina (čo je dané aj rovnicou)„vystrihnúť“ z povrchy„priestorová“ parabola, ktorej vrchol okamžite padne do podozrenia. Poďme zistiť kde je:
- výsledná hodnota "zasiahla" oblasť a pokojne to môže byť aj bod (značka na výkrese) funkcia dosahuje najväčšiu alebo najmenšiu hodnotu v celej oblasti. V každom prípade urobme výpočty:
Ďalšími „kandidátmi“ sú samozrejme konce segmentu. Vypočítajte hodnoty funkcie v bodoch 
(značka na výkrese):
Tu, mimochodom, môžete vykonať ústnu mini-kontrolu na „oblečenej“ verzii: 
2) Aby sme preštudovali pravú stranu trojuholníka, dosadíme ju do funkcie a „dáme tam veci do poriadku“:
Tu okamžite vykonáme hrubú kontrolu a „prezvoníme“ už spracovaný koniec segmentu:
, perfektné.
Geometrická situácia súvisí s predchádzajúcim bodom:
- výsledná hodnota tiež „vstúpila do rozsahu našich záujmov“, čo znamená, že musíme vypočítať, čomu sa funkcia rovná v bode, ktorý sa objavil:
Pozrime sa na druhý koniec segmentu:
Pomocou funkcie 
, Skontrolujme to: 
3) Každý asi vie, ako preskúmať zvyšnú stranu. Do funkcie nahrádzame a vykonávame zjednodušenia:
Linka končí 
už boli preskúmané, ale na koncepte stále kontrolujeme, či sme funkciu našli správne 
:
– zhoduje sa s výsledkom podľa prvého pododseku;
– sa zhoduje s výsledkom podľa druhého pododseku.
Zostáva zistiť, či je v segmente niečo zaujímavé:
- existuje! Nahradením priamky do rovnice dostaneme ordinátu tejto „zaujímavosti“:
Označíme bod na výkrese a nájdeme zodpovedajúcu hodnotu funkcie:
Ovládajme výpočty podľa „rozpočtovej“ verzie 
:
, objednať.
A posledný krok: POZORNE si prezrite všetky „tučné“ čísla, odporúčam aj začiatočníkom urobiť si jeden zoznam: 
z ktorých vyberáme najväčšie a najmenšie hodnoty. Odpoveď napíš štýlom problém nájsť najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie na intervale:
Pre každý prípad sa ešte raz vyjadrím ku geometrickému významu výsledku:
– tu je najvyšší bod povrchu v regióne;
- tu je najnižší bod povrchu v oblasti.
V analyzovanom probléme sme našli 7 „podozrivých“ bodov, no ich počet sa líši od úlohy k úlohe. V prípade trojuholníkovej oblasti sa minimálna „množina prieskumov“ skladá z troch bodov. To sa stane, keď sa funkcia napr lietadlo- je celkom jasné, že neexistujú žiadne stacionárne body a funkcia môže dosiahnuť maximálne / minimálne hodnoty iba vo vrcholoch trojuholníka. Ale neexistujú také príklady raz, dvakrát - zvyčajne sa s nejakým musíte vyrovnať povrch 2. rádu.
Ak takéto úlohy málo riešite, tak z trojuholníkov sa vám môže zakrútiť hlava, a preto som pre vás pripravil nevšedné príklady, ako to mať hranaté :))
Príklad 2
Nájdite najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie 
v uzavretom priestore ohraničenom čiarami
Príklad 3
Nájdite najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie v ohraničenej uzavretej oblasti.
Venujte osobitnú pozornosť racionálnemu poradiu a technike štúdia hranice oblasti, ako aj reťazcu priebežných kontrol, ktoré takmer úplne zabránia chybám vo výpočtoch. Vo všeobecnosti to môžete vyriešiť, ako chcete, ale v niektorých problémoch, napríklad v rovnakom príklade 2, existuje šanca výrazne skomplikovať váš život. Približný príklad dokončovania úloh na konci hodiny.
Algoritmus riešenia systematizujeme, inak sa s mojou usilovnosťou pavúka akosi stratil v dlhom vlákne komentárov prvého príkladu:
- V prvom kroku vybudujeme oblasť, je žiaduce ju zatieniť a zvýrazniť hranicu hrubou čiarou. Počas riešenia sa objavia body, ktoré je potrebné umiestniť na výkres.
- Nájdite stacionárne body a vypočítajte hodnoty funkcie len v tých, ktoré patria do oblasti . Získané hodnoty sú v texte zvýraznené (napríklad zakrúžkované ceruzkou). Ak stacionárny bod NEPATRÍ do oblasti, tak túto skutočnosť označíme ikonou alebo slovne. Ak neexistujú žiadne stacionárne body, vyvodíme písomný záver, že chýbajú. V každom prípade túto položku nie je možné preskočiť!
– Prieskum pohraničnej oblasti. Najprv je výhodné zaoberať sa priamkami, ktoré sú rovnobežné so súradnicovými osami (ak nejaké existujú). Zvýraznené sú aj funkčné hodnoty vypočítané v "podozrivých" bodoch. O technike riešenia už bolo povedané veľa a niečo iné bude povedané nižšie - čítajte, znova čítajte, ponorte sa do toho!
- Z vybraných čísel vyberte najväčšiu a najmenšiu hodnotu a odpovedzte. Niekedy sa stáva, že funkcia dosiahne takéto hodnoty v niekoľkých bodoch naraz - v tomto prípade by sa všetky tieto body mali prejaviť v odpovedi. Nech napr. 
a ukázalo sa, že je to najmenšia hodnota. Potom to napíšeme
Záverečné príklady sú venované ostatným užitočné nápady užitočné v praxi:
Príklad 4
Nájdite najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie v uzavretej oblasti 
.
Ponechal som autorovu formuláciu, v ktorej je plocha uvedená ako dvojitá nerovnosť. Táto podmienka môže byť napísaná v ekvivalentnom systéme alebo v tradičnejšej forme pre tento problém: 
Pripomínam, že s nelineárne na nerovnosť sme narazili na , a ak nerozumiete geometrickému významu zadania, tak prosím neodkladajte a objasnite situáciu hneď teraz ;-)
rozhodnutie, ako vždy, začína výstavbou plochy, ktorá je akousi „podrážkou“: 
Hmm, niekedy treba hlodať nielen žulu vedy....
I) Nájdite stacionárne body: 
Idiotov vysnívaný systém :)
Stacionárny bod patrí do regiónu, konkrétne leží na jeho hranici.
A tak to nie je nič ... prebehla zábavná lekcia - to znamená piť správny čaj =)
II) Skúmame hranicu regiónu. Bez ďalších okolkov začnime s osou x:
1) Ak , tak
Zistite, kde je vrchol paraboly:
- Oceňujte takéto momenty - "trafte" až do bodu, z ktorého je už všetko jasné. Ale nezabudnite skontrolovať: 
Vypočítajme hodnoty funkcie na koncoch segmentu: 
2) Spodnú časť „podrážky“ zvládneme „na jedno posedenie“ - bez komplexov ju dosadíme do funkcie, navyše nás bude zaujímať len segment:
Kontrola:
To už teraz prináša oživenie do monotónnej jazdy na ryhovanej trati. Poďme nájsť kritické body:
My rozhodujeme kvadratická rovnica pamätáš si tento? ... Pamätajte však, samozrejme, inak by ste tieto riadky nečítali =) Ak by v dvoch predchádzajúcich príkladoch boli výpočty vhodné v desatinné zlomky(čo je mimochodom zriedkavé), potom tu čakáme na bežné bežné zlomky. Nájdeme korene „x“ a pomocou rovnice určíme zodpovedajúce „herné“ súradnice „kandidátskych“ bodov: 
Vypočítajme hodnoty funkcie v nájdených bodoch: 
Skontrolujte funkciu sami.
Teraz pozorne študujeme získané trofeje a zapisujeme si ich odpoveď:
Tu sú „kandidáti“, teda „kandidáti“!
Pre samostatné riešenie:
Príklad 5
Nájdite najmenšie a najväčšiu hodnotu funkcie 
v uzavretom priestore 
Záznam so zloženými zátvorkami znie takto: „množina bodov takých, že“.
Niekedy v takýchto príkladoch používajú Lagrangeova multiplikačná metóda, ale skutočná potreba jeho použitia pravdepodobne nevznikne. Takže napríklad, ak je daná funkcia s rovnakou oblasťou "de", potom po dosadení do nej - s deriváciou bez ťažkostí; navyše je všetko nakreslené v „jednom riadku“ (so znakmi) bez toho, aby bolo potrebné posudzovať horný a dolný polkruh oddelene. Existujú však samozrejme aj komplikovanejšie prípady, keď funkcia Lagrange chýba (kde je napríklad rovnaká kruhová rovnica) je ťažké sa zaobísť – aké ťažké je zaobísť sa bez dobrého odpočinku!
Všetko najlepšie, aby ste prešli reláciou a čoskoro sa uvidíme v budúcej sezóne!
Riešenia a odpovede:
Príklad 2: rozhodnutie: nakreslite oblasť na výkres:
Načítava...