Viete, čo sa nazýva rez mnohostenom rovinou? Ak stále pochybujete o správnosti svojej odpovede na túto otázku, môžete sa jednoducho presvedčiť. Pozývame vás na krátky test nižšie.
Otázka. Aké je číslo obrázku, ktorý znázorňuje rez rovnobežnostena rovinou?
Správna odpoveď je teda na obrázku 3.
Ak odpoviete správne, potvrdzuje to, že rozumiete tomu, čo máte do činenia. Ale, bohužiaľ, ani správna odpoveď na testovú otázku vám nezaručuje najvyššie známky v lekciách na tému "Sekcie mnohostenov". Najťažšou vecou nie je rozpoznávanie rezov v hotových výkresoch, aj keď je to tiež veľmi dôležité, ale ich konštrukcia.
Najprv sformulujeme definíciu úseku mnohostenu. Úsek mnohostena sa teda nazýva mnohouholník, ktorého vrcholy ležia na okrajoch mnohostena a strany ležia na jeho stranách.
Teraz si precvičme rýchle a presné vytváranie priesečníkov 
daná čiara s danou rovinou. Aby sme to dosiahli, vyriešime nasledujúci problém.
Zostrojte priesečníky priamky MN s rovinami spodnej a hornej podstavy trojuholníkového hranolu ABCA 1 B 1 C 1 za predpokladu, že bod M patrí bočnej hrane CC 1 a bod N patrí hrane BB. 1.
Začnime predĺžením čiary MN na výkrese v oboch smeroch (obr. 1). Potom, aby sme získali priesečníky požadované stavom problému, predĺžime čiary ležiace v hornej a dolnej základni. A teraz prichádza najťažší moment riešenia problému: ktoré riadky v oboch základniach je potrebné predĺžiť, keďže každá z nich má tri riadky.
Na správne vykonanie posledného kroku konštrukcie je potrebné určiť, ktoré z priamych základov sú v rovnakej rovine ako čiara MN, ktorá nás zaujíma. V našom prípade ide o priamku CB v spodných a C 1 B 1 v horných základniach. A práve tie predĺžime až po priesečník s priamkou NM (obr. 2).
Výsledné body P a P 1 sú priesečníky priamky MN s rovinami hornej a dolnej podstavy trojuholníkového hranola ABCA 1 B 1 C 1 .
Po analýze prezentovaného problému môžete prejsť priamo na konštrukciu sekcií mnohostenov. Kľúčovým bodom tu bude zdôvodnenie, ktoré pomôže dospieť k požadovanému výsledku. V dôsledku toho sa pokúsime vytvoriť šablónu, ktorá bude odrážať postupnosť akcií pri riešení problémov tohto typu.
Pozrime sa teda na nasledujúci problém. Zostrojte rez trojuholníkovým hranolom ABCA 1 B 1 C 1 rovinou prechádzajúcou bodmi X, Y, Z prislúchajúcimi hranám AA 1 , AC a BB 1 .
Riešenie: Urobme si nákres a určme, ktoré dvojice bodov ležia v tej istej rovine.
Dvojice bodov X a Y, X a Z môžu byť spojené, pretože ležia v rovnakej rovine.
Zostrojme ďalší bod, ktorý bude ležať na rovnakej ploche ako bod Z. Aby sme to dosiahli, predĺžime priamky XY a CC 1, pretože ležia v rovine čela AA 1 C 1 C. Výsledný bod nazvime P.
Body P a Z ležia v rovnakej rovine - v rovine čela CC 1 B 1 B. Preto ich môžeme spojiť. Priamka PZ v nejakom bode pretína hranu CB, nazvime ju T. Body Y a T ležia v spodnej rovine hranola, spojíme ich. Vznikol tak štvoruholník YXZT a toto je požadovaný úsek. 
Zhrnúť. Ak chcete vytvoriť časť mnohostenu rovinou, musíte:
1) nakreslite priame čiary cez dvojice bodov ležiacich v rovnakej rovine.
2) nájdite čiary, pozdĺž ktorých sa pretínajú roviny rezu a steny mnohostenu. Aby ste to dosiahli, musíte nájsť priesečníky priamky patriacej do roviny rezu s priamkou ležiacou v jednej z plôch.
Proces konštrukcie úsekov mnohostenov je komplikovaný skutočnosťou, že v každom konkrétnom prípade je iný. A žiadna teória to nepopisuje od začiatku do konca. V skutočnosti existuje len jeden istý spôsob, ako sa naučiť, ako rýchlo a presne zostaviť časti akéhokoľvek mnohostenu - toto je neustála prax. Čím viac sekcií postavíte, tým ľahšie to pre vás bude v budúcnosti.
stránky, s úplným alebo čiastočným kopírovaním materiálu, je potrebný odkaz na zdroj.
Pri tejto metóde je prvým krokom (po nájdení sekundárnych priemetov týchto bodov) vytvorenie stopy roviny rezu na rovine hornej alebo dolnej podstavy hranola alebo zrezaného ihlana alebo na podstave ihlana.
zadok 2. Daný obraz trojuholníkového hranolu ABCA 1 B 1 C 1 a tri bodyM, N, P, ktoré ležia respektíve na okraji CC 1 a tváre ABB 1 A 1 , BCC 1 B 1 . Zostrojte rez hranolom rovinou, prechádzajúc cez M, N, P.
Riešenie. Jeden bod už máme na hornej základni hranola, takže stopu postavíme na hornú základňu. Staviame sekundárne projekcie bodov N a P k hornej základni. Potom: 1 .NPN 3 P 3 =X; 2 .MX=p-stopa; 3 .pB 1 C 1 =D.
Ďalšie kroky už boli znázornené vyššie na výkrese.
zadok 3. dec. Na spodnú základňu hranola postavíme stopu roviny rezu.
Budova: 1. MNED=X, MPEP 3 =Y;
2. p=XY- stopa; 3. pBC=G, pDC=H.
Musíme nájsť bod na okraji BB 1 alebo na okraji AA 1 .
AT 
fazety ABB 1 A 1 už máme jeden bod P. Preto je spodný okraj tejto tváre, t.j. AB, pokračujeme až po priesečník so stopou.
4. ABp=Z.
5. PZAA 1 =F; PZBB 1 =K.Ďalšie akcie sú už uvedené vyššie.
Ak sa ukáže, že linka AB nepretína so stopou, potom želaný FK bude tiež paralelný. zadok 4. dec. 1. PNP o N o= X;
2. MNCN o= Y;3. p=XY- stopa;
3. CBp=Z;4. ZMSB=E;
5. ENSA=G 6. GEMF- oddiel nárok.
17. Konštrukcia úseku valca.
Ak je rovina rezu daná tromi bodmi, potom jej stopu vždy nájdeme na rovine podstavy valca alebo kužeľa a bodu ( P, O) na svojej osi. Preto uvažujeme, že rovina rezu je daná týmito prvkami.
OD 
začiatok závodu je prípad, keď rovina pretína iba bočnú plochu valca. Potom bude rez valcom elipsa (;¯ a jeho obraz je tiež elipsa. Vieme, ako zostrojiť elipsu, ak sú známe jej dva konjugované priemery. Teraz si ukážeme, ako nájsť obraz hlavných priemerov elipsy (;¯.
Nech a 1 sú elipsy predstavujúce spodnú a hornú základňu valca, O a O 1 - ich stredy. Nakreslíme priemer A 3 B 3 spodná základňa, rovnobežná so stopou a jej konjugovaným priemerom C 3 D 3. Na stavbu C 3 D 3 použijeme akord K 3 L 3, ktorého jeden koniec patrí tvoriacej čiare obrysu. Pripomeň si to A 3 B 3 a C 3 D 3 znázorňujú kolmé priemery. Pokračujme C 3 D 3 po križovatku s trasou. Poďme k pointe X. Rovno PX nazvime to os rezu.
Zvýšme body C 3 a D 3 k osi rezu. Získajte C a D. Úsečka CD je obraz rezu s veľkým priemerom. Zvýšime segment A 3 B 3 do výšky OP. Dostaneme segment AB, čo je obraz rezu s malým priemerom. Negatívne AB a CD – párenie pr. elipsa .
H 
nájsť viac bodov, v ktorých elipsa prechádza z viditeľnej strany valca do neviditeľnej, čo znamená, že plná čiara prechádza do bodkovanej čiary. Toto sú priesečníky roviny sečnice s generátormi obrysov. Nechaj Y 3 =K 3 L 3 C 3 D 3. Poďme zvýšiť Y 3 k osi rezu. Poďme k bodu Y. Zdvihneme akord K 3 L 3 do výšky YY 3. Dostaneme segment KL. Našli sme požadovaný bod K a po ceste ešte jeden bod navyše L. Bodka M, znázorňujúci priesečník sečnej roviny a s druhou obrysovou tvoriacou čiarou je symetrická k bodu K vzhľadom na bod P.Okrem toho zostrojíme bod N, symetrické L
vzťahové body P
Ukážme si spôsob, ako môžete nájsť ľubovoľný počet bodov na reze bez použitia týchto priemerov.
vyberte si akýkoľvek. bod V 3 na elipse . Nosíme priemer V 3 T 3 a pokračujeme až do priesečníka so stopou.Dostaneme bod U. Zvyšujeme body V 3 a T 3 rovno U.P.. Získame dva body V a T na úseku. Voľba namiesto toho V 3 ďalší bod, získame ďalšie 2 body za sekciu Ak vyberiete bod K 3 ležiacej na tvoriacej čiare obrysu nájdeme body K a M, v ktorom by sa plná čiara na úseku mala zmeniť na prerušovanú.
Dmitriev Anton, Kireev Alexander
Táto prezentácia názorne, krok za krokom ukazuje príklady vytvárania sekcií od jednoduchých úloh až po zložitejšie. Animácia vám umožňuje vidieť fázy stavebných sekcií
Stiahnuť ▼:
Náhľad:
Ak chcete použiť ukážku prezentácií, vytvorte si Google účet (účet) a prihláste sa: https://accounts.google.com
Popisy snímok:
Konštrukcia rezov mnohostenov na príklade hranola ® Tvorcovia: Anton Dmitriev, Kireev Alexander. Asistencie: Gudková Oľga Viktorovna
Plán lekcie Algoritmy na zostavovanie sekcií Samokontrola Demonštračné úlohy Úlohy na fixáciu materiálu
Algoritmy na zostrojenie rezov stôp rovnobežných priamok rovnobežného posunu sečnej roviny vnútorného dizajnu kombinovaná metóda pridania n-gonálneho hranolu k trojuholníkovému hranolu Konštrukcia rezu metódou:
Konštrukcia rezu metódou stôp Základné pojmy a zručnosti Konštrukcia stopy priamky na rovine Konštrukcia stopy roviny rezu Konštrukcia rezu
Algoritmus na zostavenie rezu pomocou metódy sledovania Zistite, či sú na jednej ploche dva body rezu (ak áno, potom je možné cez ne nakresliť stranu rezu). Zostrojte stopu rezu na základnej rovine mnohostenu. Nájdite ďalší bod rezu na okraji mnohostenu (pokračujte stranou základne plochy, v ktorej je bod rezu, až kým sa nepretína so stopou). Prostredníctvom získaného dodatočného bodu na stope a bodu rezu vo vybranej ploche nakreslite priamku, označte jej priesečníky s okrajmi plochy. Spustite krok 1.
Konštrukcia rezu hranola Neexistujú dva body patriace k tej istej ploche. Bod R leží v základnej rovine. Nájdite stopu priamky KQ na základnej rovine: - KQ ∩K1Q1=T1, T1R je stopa rezu. 3. T1R ∩CD=E. 4. Poďme EQ. EQ∩DD1=N. 5. Nakreslite NK. NK ∩AA1=M. 6. Pripojte M a R. Zostrojte rez prechádzajúcou rovinou α body K,Q,R; K є ADD1, Q є CDD1, R є AB.
Metóda rovnobežných priamok Metóda je založená na vlastnosti rovnobežných rovín: „Ak dve rovnobežné roviny pretína tretia, potom sú priamky ich priesečníka rovnobežné. Základné zručnosti a pojmy Zostrojenie roviny rovnobežnej s danou Zostrojenie priesečníka rovín Zostrojenie rezu
Algoritmus na zostrojenie rezu metódou rovnobežných čiar. Vytvárame projekcie bodov, ktoré definujú rez. Nakreslite rovinu cez dva dané body (napríklad P a Q) a ich priemety. Cez tretí bod (napríklad R) postavíme rovinu rovnobežnú s ním α. Nájdeme priesečníky (napríklad m a n) roviny α so stenami mnohostenu obsahujúcich body P a Q. Cez bod R vedieme priamku a rovnobežku PQ. Nájdite priesečníky priamky a s priamkami m a n. Nájdeme priesečníky s hranami zodpovedajúcej plochy.
(PRISMA) Na rovinu hornej a dolnej podstavy staviame priemety bodov P a Q. Nakreslíme rovinu P1Q1Q2P2. Cez hranu obsahujúcu bod R vedieme rovinu α rovnobežnú s P1Q1Q2. Nájdeme priesečníky rovín ABB1 a CDD1 s rovinou α. Cez bod R nakreslíme priamku a||PQ . a∩n=X, a∩m=Y. XP∩AA1=K, XP∩BB1=L; YQ∩CC1=M, YQ∩DD1=N. KLMNR je požadovaná sekcia. Zostrojte rez prechádzajúcou rovinou α body P,Q,R; P є ABB1, Q є CDD1, R є EE1.
Spôsob paralelného posunu roviny rezu Zostrojíme pomocný rez daného mnohostena, ktorý spĺňa tieto požiadavky: je rovnobežný s rovinou rezu; v priesečníku s povrchom daného mnohostenu tvorí trojuholník. Priemet vrcholu trojuholníka spojíme s vrcholmi tej plochy mnohostenu, ktorú pomocný rez pretína, a nájdeme priesečníky so stranou trojuholníka ležiacou v tejto ploche. S týmito bodmi spájame vrchol trojuholníka. Cez bod požadovaného rezu nakreslíme rovné čiary rovnobežné so zostrojenými segmentmi v predchádzajúcom odseku a nájdeme priesečníky s okrajmi mnohostena.
PRISM R є AA1, P є EDD1, Q є CDD1. Zostrojme pomocnú sekciu AMQ1 ||RPQ. Nakreslíme AM||RP, MQ1||PQ, AMQ1∩ABC=AQ1. P1 je priemet bodov P a M na ABC. Vykonáme P1B a P1C. P1B ∩ AQ1=O1, P1C ∩ AQ1=O2. Cez bod P vedieme čiary m a n, v tomto poradí, rovnobežné s MO1 a MO2. m∩BB1=K, n∩CC1=L. LQ∩DD1=T, TP∩EE1=S. RKLTS - požadovaný rez Zostrojte rez hranolom rovinou α prechádzajúcou bodmi P,Q,R; P є EDD1, Q є CDD1, R є AA1.
Algoritmus na konštrukciu rezu metódou vnútorného návrhu. Zostrojte pomocné rezy a nájdite čiaru ich priesečníka. Zostrojte stopu rezu na hrane mnohostena. Ak nie je dostatok bodov sekcie na vytvorenie samotnej sekcie, zopakujte kroky 1-2.
Konštrukcia pomocných sekcií. PRISM Paralelný dizajn.
Konštrukcia rezovej stopy na hrane
Kombinovaná metóda. Cez druhú priamku q a nejaký bod W prvej priamky p nakreslite rovinu β. V rovine β cez bod W nakreslite priamku q‘ rovnobežnú s q . Priesečníky p a q‘ vymedzujú rovinu α. Priama konštrukcia rezu mnohostena rovinou α Podstatou metódy je aplikácia viet o rovnobežnosti priamok a rovín v priestore v kombinácii s axiomatickou metódou. Používa sa na konštrukciu rezu mnohostena s podmienkou rovnobežnosti. 1. Zostrojenie rezu mnohostena rovinou αprechádzajúcou danou priamkou p rovnobežnou s inou danou priamkou q.
PRIZMA Zostrojte rez hranolom rovinou α prechádzajúcou priamkou PQ rovnobežnou s AE1; P є BE, Q є E1C1. 1. Nakreslite rovinu cez priamku AE1 a bod P. 2. V rovine AE1P cez bod P nakreslite priamku q" rovnobežnú s AE1. q"∩E1S’=K. 3. Priesečníky PQ a PK určujú požadovanú rovinu α. 4. P1 a K1 sú projekcie bodov P a K na A1B1C1. P1K1∩PK=S“. S”Q∩E1D1=N, S”Q∩B1C1=M, NK∩EE1=L; MN∩A1E1=S”’, S”’L∩AE=T, TP∩BC=V. TVMNL-požadovaná sekcia.
Metóda doplnenia n-gonálneho hranola (pyramídy) na trojuholníkový hranol (pyramída). Tento hranol (pyramída) je dokončený na trojuholníkový hranol (pyramída) z tých plôch, na ktorých bočných hranách alebo plochách sú body, ktoré určujú požadovaný rez. Zostrojí sa rez výsledného trojuholníkového hranola (pyramídy). Požadovaný rez sa získa ako časť rezu trojuholníkového hranola (pyramídy).
Základné pojmy a zručnosti Konštrukcia pomocných sekcií Konštrukcia stopy sekcie na hrane Konštrukcia sekcie Centrálny dizajn Paralelný dizajn
PRISM Q є BB1C1C, P є AA1, R є EDD1E1. Hranol dokončíme na trojuholníkový. Aby sme to urobili, predĺžime strany spodnej základne: AE, BC, ED a hornú základňu: A 1 E 1 , B 1 C 1 , E 1 D 1. AE ∩BC=K, ED∩BC=L, A1E1∩B1C1=K1, E1D1 ∩B1C1=L1. Rez výsledného hranola KLEK1L1E1 zostrojíme rovinou PQR metódou vnútorného návrhu. Táto časť je súčasťou požadovanej časti. Postavíme požadovaný úsek.
Pravidlo pre sebakontrolu Ak je mnohosten konvexný, potom je rez konvexným mnohouholníkom. Vrcholy mnohouholníka ležia vždy na hranách mnohostenu. Ak body rezu ležia na okrajoch mnohostenu, potom sú to vrcholy mnohouholníka, ktoré sa v reze ukážu. Ak body rezu ležia na plochách mnohostenu, ležia na stranách mnohouholníka, ktorý sa ukáže v reze. Dve strany mnohouholníka, ktoré vyjdú v reze, nemôžu patriť k tej istej ploche mnohostenu. Ak rez pretína dve rovnobežné plochy, potom budú segmenty (strany mnohouholníka, ktoré budú v reze) rovnobežné.
Základné úlohy pri zostrojovaní rezov mnohostenov Ak majú dve roviny dva spoločné body, potom čiara vedená cez tieto body je priesečníkom týchto rovín. M є AD, N є DCC1, D1; ABCDA1B1C1D1 - kocka M є ADD1, D1 є ADD1, MD1. D1 є D1DC, N є D1DC, D1N ∩ DC=Q. M = ABC, Q = ABC, MQ. II. Ak dve rovnobežné roviny pretína tretia, potom sú čiary ich priesečníka rovnobežné. M є CC1, AD1; ABCDA1B1C1D1- kocka MK||AD1, K = BC. M = DCC1, D1 = DCC1, MD1. A - ABC, K - ABC, AK.
III. Spoločný bod troch rovín (vrchol trojstenného uhla) je spoločným bodom priamok ich párového priesečníka (okrajov trojstenného uhla). M є AB, N є AA1, K є A1D1; ABCDA1B1C1D1- kocka NK∩AD=F1 - vrchol trojstenného uhla, ktorý zvierajú roviny α , ABC, ADD1. F1M∩CD=F2 - vrchol trojstenného uhla, ktorý zvierajú roviny α , ABC, CDD1. F1M∩BC=P. NK∩DD1=F3 - vrchol trojstenného uhla, ktorý zvierajú roviny α , D1DC, ADD1. F3F2∩D1C1=Q, F3F2∩CC1=L. IV. Ak rovina prechádza priamkou rovnobežnou s inou rovinou a pretína ju, potom je priesečník rovnobežný s danou priamkou. A1, C, a ||BC1; ABCA1B1C1 - hranol. α∩BCC1=n, n||BC1, n∩BB1=S. SA1∩AB=P. Pripojíme A1, P a C.
V. Ak priamka leží v rovine rezu, potom bod jej priesečníka s rovinou čela mnohostenu je vrcholom trojstenného uhla, ktorý zviera rez, čelo a pomocná rovina obsahujúcu danú úsečku. . M є A1B1C1, K є BCC1, N є ABC; ABCDA1B1C1 je rovnobežnosten. jeden . Pomocná rovina MKK1: MKK1∩ABC=M1K1, MK∩M1K1=S, MK∩ABC=S, S je vrchol trojstenného uhla, ktorý zvierajú roviny: α , ABC, MKK1. 2. SN∩BC=P, SN∩AD=Q, PK∩B1C1=R, RM∩A1D1=L.
Úlohy. Ktorý obrázok znázorňuje rez kockou rovinou ABC? Koľko rovín možno nakresliť cez vybrané prvky? Aké axiómy a vety ste použili? Uzavrite, ako zostaviť sekciu v kocke? Pripomeňme si etapy konštrukcie rezov štvorstenu (rovnobežník, kocka). Aké polygóny možno v tomto prípade získať?
Existujú 2 hlavné spôsoby konštrukcie sekcií mnohostenov:
Axiomatická metóda konštrukcie rezov
1. Metóda stôp
Príklad 1
Na hrany AA" a B"C" hranola ABCA"B"C" nastavíme body P a Q. Zostrojíme rez hranolom rovinou (PQR), ktorej bod R nastavíme v jednej z nasledujúcich tvárí:
a) BCCB "C";
b) A "B" C";
c) ABC
Riešenie.
a) 1) Keďže body Q a R ležia v rovine (BCC"), potom priamka QR leží v tejto rovine. Nakreslite ju. Toto je stopa roviny (PQR) na rovinu (BCC"). (obr.1)
2) Nájdite body B"" a C", v ktorých priamka QR pretína priamky BB" a CC. Body B" a C" sú stopy roviny (PQR) na priamkach BB" a CC" ".
3) Keďže body B "" a P ležia v rovine (ABB"), potom v tejto rovine leží priamka B "" P. Nakreslíme ju. Úsečka B ** P je stopa roviny (PQR) na tvári ABB "A".
4) Keďže body P a C ležia v rovine (ACC"), potom priamka PC"" leží v tejto rovine. Nakreslite ju. Toto je stopa roviny (PQR) v rovine (ACC").
5) Nájdite bod V, v ktorom priamka PC"" pretína hranu A"C". Toto je stopa roviny (PQR) na hrane A "C".
6) Fúrik ako body Q a V ležia v rovine (A "B" C "), potom v tejto rovine leží priamka QV. Narysujeme priamku QV. Úsečka QV je stopa roviny (PQR) na prednej strane ABC. Získali sme teda polygón QB ""PV - požadovaný úsek.
b) 1) Keďže body Q a R ležia v rovine (A "B" C "), potom priamka QR leží v tejto rovine. Nakreslíme ju. Toto je stopa roviny (PQR) v rovine (A" B "C"). (Obr. 2)
2) Nájdite body D" a E", v ktorých priamka QR pretína priamky A"B" a B"C". Pretože bod D" leží na hrane A"B", segment QD" je stopa roviny (PQR) na ploche A"B"C".
3) Keďže body D "a P ležia v rovine (ABB"), potom priamka D "P leží v tejto rovine. Nakreslite ju. Toto je stopa roviny (PQR) v rovine (ABB"), a segment D "P je rovina stopy (PQR) na ploche ABB"A".
4) Keďže body P a E" ležia v rovine (ACC"), potom priamka PE leží v tejto rovine. Nakreslíme ju. Toto je stopa roviny (PQR) v rovine (ACC").
5) Nájdite bod C""=PE""CC". Keďže bod C"" leží na hrane CC", potom segment PC"" je stopa roviny (PQR) na ploche ACC"A" .
6) Keďže body Q a C "" ležia v rovine (BCC"), potom priamka QC "" leží v tejto rovine. Nakreslite ju. Toto je stopa roviny (PQR) v rovine (BCC") a segment QC "" - stopa roviny (PQR) na ploche BCC"B". Takže máme polygón QD"PC"" - toto je požadovaná sekcia.
v) 1) Z troch daných bodov P, Q a R žiadne dva neležia v žiadnej z rovín plôch hranola, takže nájdeme hlavnú stopu roviny (PQR) (t. j. priesečník rovina (PQR) s rovinou (ABC), zvolenou ako hlavná). Aby sme to urobili, najprv nájdeme priemety bodov P, Q a R do roviny (ABC) v smere rovnobežnom s bočnou hranou hranola. Keďže bod P leží na hrane AA", potom sa bod P" zhoduje s bodom A. Keďže bod Q leží v rovine (BCC"), potom v tejto rovine cez bod Q nakreslíme priamku rovnobežnú s priamku BB" a nájdite bod Q", v ktorom nakreslená priamka pretína priamku BC. Keďže bod R podľa podmienky leží v rovine zvolenej za hlavnú, bod R" sa zhoduje s bodom R. ( Obr. 3)
2) Rovnobežné čiary PP" a QQ" definujú rovinu. V tejto rovine nakreslíme čiary PQ a P"Q" a nájdeme bod S=PQ, ktorý pretína P"Q". Keďže bod S" leží na priamke PQ, potom leží v rovine (PQR) a keďže bod S" leží na priamke P"Q", leží v rovine (ABC). Bod S "je teda spoločným bodom rovín (PQR) a (ABC). To znamená, že roviny (PQR) a (ABC) sa pretínajú pozdĺž priamky prechádzajúcej bodom S".
3) Keďže bod R sa zhoduje s bodom R", potom bod R je ďalším spoločným bodom rovín (PQR) a (ABC). Čiara S "R je teda hlavnou stopou roviny (PQR). Nakreslíme túto čiaru. Ako môžete vidieť na obrázku, priamka S "R pretína hrany AB a BC základne hranola v bodoch S" "a S" "".
4) Keďže body S""" a Q ležia v rovine (BCC"), potom v tejto rovine leží priamka S""" Q. Nakreslite ju. Toto je stopa roviny (PQR) na rovine ( BCC"). A segment S""" Q je stopa roviny (PQR) na prednej strane BCC"B".
5) Podobne nájdeme segment S "" P - stopu roviny (PQR) na ploche ABB "A".
7) Nájdeme, že bod F=PC"" pretína A"C" a potom dostaneme úsečku PF - stopu roviny (PQR) na ploche ACC"A".
8) Body Q a F ležia v rovine A"B"C", teda priamka QF leží v rovine (A"B"C). Nakreslíme priamku QF, dostaneme segment QF - stopu roviny (PQR) na ploche A "B" C. Získali sme teda mnohouholník QS "" "S" "PF - požadovaný rez.
3 poznámka. Ukážme si iný spôsob hľadania bodu C"", v ktorom nenájdeme priesečník priamky S""" Q s priamkou C"C"". Budeme argumentovať nasledovne. Ak je stopa roviny (PQR) na priamke CC" nejaký bod V, tak jej priemet do roviny (ABC) sa zhoduje s bodom C. Potom bod S""""= V"P"pretína VP leží na hlavnej stope S"R roviny (PQR). Tento bod S"""" postavíme ako priesečník priamok V"P" (toto je priamka CA) a S"R. Potom nakreslíme priamku S""""P. Pretína priamku CC “ v bode V.
Príklad 2
Na hranu MB pyramídy MABCD postavíme bod P, na jej čelo MCD bod Q. Zostrojíme rez pyramídy rovinou (PQR), ktorej bod R určíme:
a) na okraji MC;
b) na hranici MAD;
c) v rovine (MAS), mimo pyramídy.
Riešenie.
a) Stopa roviny (PQR) na čelnej strane MBC je úsečka PR a jej stopa na čelnej strane MCD je úsečka RD", kde bod D" je priesečník priamky RQ s okraj MD. Je jasné, že rovina (PQR) má stopy na plochách MAD a MAB (keďže rovina (PQR) má s týmito plochami spoločné body). Nájdite stopu roviny (PQR) na priamke MA. Urobme to takto:
1) Postavme si body P", Q" a R" - priemety bodov P, Q a R zo stredu M na rovinu (ABC), teda za hlavnú rovinu. (obr. 4)
3) Ak rovina (PQR) pretína priamku MA v nejakom bode V, tak bod V" sa zhoduje s bodom A a bod S"""= VQ pretína V"Q" leží na priamke S"S"" Inými slovami, v bode S""" sa pretínajú tri čiary: VQ, V"Q"" a S" S"". Posledné dva riadky z týchto troch sú už na výkrese. Preto zostrojíme bod S""" ako priesečník priamok V"Q" a SS"".
4) Nakreslite priamku QS""" (zhoduje sa s priamkou VQ, keďže priamka VQ musí prechádzať bodom S""", t.j. body V, Q a S""" ležia na tej istej priamke).
5) Nájdite bod V, v ktorom priamka QS"" "pretína priamku MA, bod V je stopa roviny (PQR) na hrane MA. Ďalej je zrejmé, že úsečky PV a VD" sú stopy roviny (PQR), v tomto poradí, na čelných plochách MAB a M.A.D. Polygón PRD „V je teda požadovaný úsek.
b) 1) Zoberieme rovinu (ABC) ako hlavnú rovinu a postavíme body P", Q" a R" - priemety bodov P, Q a R do roviny (ABC). vnútorným priemetom je bod M. (obr. 5.)
2) Postavíme priamku S"S"" - hlavnú stopu roviny (PQR).
3) Ak rovina (PQR) pretína priamku MA v bode V, potom bod V "- priemet bodu V do roviny (ABC) zo stredu M- sa zhoduje s bodom A a priamky S "S"", V"R" a priamka VR, ktorej bod V sme ešte nepostavili, sa pretínajú v bode S""". Nájdite tento bod S"""=V"R" pretína S"S ""."", a nájdite bod V=RS""" pretína MA. Ďalšia konštrukcia je jasná. Požadovaný rez je polygón PVD"T.
v)
(Obr.6.) Nech je bod R umiestnený v rovine (MAS), ako je znázornené na obrázku 6.
1) Zoberieme rovinu (ABC) ako hlavnú rovinu a postavíme body P", Q" a R" - priemety bodov P, Q a R do roviny (ABC). (Stred projekcia je bod M.)
2) Postavíme priamku S"S"", - hlavnú stopu roviny (PQR).
3) Nájdite bod V - stopu roviny (PQR) na priamke MA. Bod V" - priemet bodu V do roviny (ABC) zo stredu M - sa v tomto prípade zhoduje s bodom A.
4) Nájdite bod S"""= P"V" pretína S"S"" a potom bod V =PS""" pretína MA.
5) Získame stopu PV roviny (PQR) na rovine (MAB).
6) Nájdite bod T - stopu roviny (PQR) na priamke MO. Je jasné, že bod T" sa v tomto prípade zhoduje s bodom D. Na zostrojenie bodu T zostrojíme bod S""""=Q"T" pretína S"S"", a potom bod T = QS""" "pretína MT" .
7) Súbor stôp PV, VT, TC" a C "P, t.j. polygón PVTC" - požadovaný úsek.
Kombinovaná metóda delenia
Podstatou kombinovanej metódy konštrukcie rezov mnohostenov je aplikácia viet o rovnobežnosti priamok a rovín v priestore v kombinácii s axiomatickou metódou.
Príklad číslo 1.
Na hrany AB a AD pyramídy MABCD nastavíme body P a Q, resp. stredy týchto hrán a na hranu MC bod R. Zostrojme rez pyramídy rovinou prechádzajúcou cez body P, Q a R.
Riešenie
(obrázok 14):
jeden). Je zrejmé, že hlavnou stopou roviny PQR je priamka PQ.
2). Nájdite bod K, v ktorom rovina MAC pretína priamku PQ. Body K a R patria do roviny PQR aj do roviny MAC. Preto nakreslením priamky KR dostaneme priesečník týchto rovín.
3). Nájdeme bod N=AC BD, nakreslíme priamku MN a nájdeme bod F=KR MN.
štyri). Bod F je spoločným bodom rovín PQR a MDB, to znamená, že tieto roviny sa pretínajú pozdĺž priamky prechádzajúcej bodom F. Zároveň, keďže PQ je stredová čiara trojuholníka ABD, potom PQ je rovnobežná s BD, to znamená, že priamka PQ je rovnobežná s rovinou MDB. Potom rovina PQR prechádzajúca priamkou PQ pretína rovinu MDB pozdĺž priamky rovnobežnej s priamkou PQ, teda rovnobežne s priamkou BD. Preto v rovine MDB cez bod F nakreslíme priamku rovnobežnú s priamkou BD.
5). Ďalšie konštrukcie sú zrejmé z obrázku. V dôsledku toho dostaneme polygón PQD"RB" - požadovaný úsek.
1. Stavba úseku prechádzajúceho danou čiarou rovnobežnou s inou danou čiarou.
Nech je napríklad potrebné zostrojiť rez mnohostenom rovinou @ prechádzajúcou danou priamkou p rovnobežnou s druhou danou priamkou q. Vo všeobecnosti si riešenie tohto problému vyžaduje niekoľko predbežných konštrukcií, ktoré je možné vykonať podľa nasledujúceho plánu:
jeden). Cez druhú čiaru q a nejaký bod W prvej čiary p nakreslíme rovinu Betta (obr.
2). Nakreslite čiaru q" rovnobežnú s q v rovine Betta cez bod W.
3). Pretínajúce sa priamky p a q". Rovina @ je definovaná. Tým sú dokončené predbežné konštrukcie a môžeme pristúpiť ku konštrukcii priameho rezu mnohostenom rovinou @. V niektorých prípadoch nám znaky konkrétneho problému umožňujú implementujte kratší plán riešenia. Uvažujme o príkladoch.
Príklad číslo 2.
Na hranách BC a MA pyramídy MABC definujeme body P a Q. Zostrojíme rez pyramídy rovinou @ prechádzajúcou priamkou PQ rovnobežnou s priamkou AR, bodom R, ktorý definujeme takto: a). Na okraji MB; b). Zhoduje sa s bodom B; v). Na pokraji MAB.
Riešenie:
a)
.(Obrázok Rovina prechádzajúca druhou líniou, teda úsečka AR, a bod Q na prvej úsečke, je už na obrázku. Toto je rovina MAB.
2). V rovine MAB cez bod Q nakreslíme priamku QF rovnobežnú s AR.
3). Priesečníky PQ a QF určujú rovinu @ (táto rovina PQF) - rovinu požadovaného rezu. Skonštruujme túto sekciu metódou sledovania.
štyri). Bod B sa zhoduje s bodom F" - priemet bodu F do roviny ABC (zo stredu M) a bod A sa zhoduje s bodom Q" - priemet bodu Q do tejto roviny. Potom bod S"=FQ F"Q" leží na hlavnej stope sečnej roviny @. Keďže bod P leží na hlavnej stope sečnej roviny, priamka S"P je hlavnou stopou roviny @, a segment S""P je stopa roviny @ na okraji ABC. Ďalej je zrejmé, že bod P by mal byť spojený s bodom F. V dôsledku toho dostaneme štvoruholník PFQS"" - požadovaný úsek.
b)
(Obrázok Rovina prechádzajúca priamkou AB a bodom P priamky PQ je už zostrojená na obrázku. Ide o rovinu ABC. Pokračujme v konštrukcii podľa vyššie uvedeného plánu.
2). V rovine ABC cez bod P vedieme priamku PD rovnobežnú s priamkou AB.
3). Pretínajúce sa čiary PQ a PD definujú rovinu alfa (toto je rovina PQD) - rovinu požadovaného rezu. Poďme zostaviť túto sekciu.
štyri). Je jasné, že stopa roviny alfa na ploche MAC je segment DQ.
5). Ďalšie stavby realizujeme s prihliadnutím na nasledovné úvahy. Keďže priamka PD je rovnobežná s priamkou AB, priamka PD je rovnobežná s rovinou MAB. Potom rovina alfa prechádzajúca priamkou PD pretína rovinu MAB pozdĺž priamky rovnobežnej s priamkou PD, teda priamkou AB. Takže v rovine MAB cez bod Q nakreslíme priamku QE rovnobežnú s AB. Segment QE je stopa roviny alfa na prednej strane MAB.
6). Spojme bod P s bodom E. Segment PE je stopa roviny alfa na čelnej strane MBC. Požadovaným úsekom je teda štvoruholník PEQD. sa zhoduje s bodom A a bod L" sa zhoduje s R"=MR BC. Potom bod S "=LQ L"Q" leží na hlavnej stope sečnovej roviny alfa. Táto hlavná stopa je priamka S"P a stopa roviny alfa na čelnej strane ABC je úsečka S" "P. Ďalej, priamka PL je stopa roviny alfa na rovine MBC a segment PN je stopa roviny alfa na ploche MBC. Takže štvoruholník PS""QN je požadovaný úsek.
Príklad 3
Na uhlopriečkach AC a C"E" podstav hranola ABCDEA"B"C"D"E" nastavíme body P a Q. Zostrojme rez hranolom rovinou alfa prechádzajúcou priamkou. PQ rovnobežná s jednou z nasledujúcich čiar: a). AB; b) .ac"; v). Riešenie BC:
a)
(Obrázok Rovina prechádzajúca priamkou AB - druhá daná priamka a bod P na prvej priamke už boli zostrojené. Toto je rovina ABC.
2). V rovine ABC cez bod P nakreslíme priamku rovnobežnú s priamkou AB a nájdeme body K a L, v ktorých táto priamka pretína priamky BC a AE. B"C" sú tiež navzájom paralelné. Berúc do úvahy, že KL je rovnobežná s AB a A"B" je rovnobežná s AB, nakreslíme priamku v rovine A"B"C" cez bod Q rovnobežnú s priamkou A"B" a nájdeme body F a T, v ktorých sa táto priamka pretína, respektíve priamky C"D" a A"E". Ďalej dostaneme úsečku TL - stopu roviny alfa na ploche AEE"A", bod S"=KL CD , priamka S"F - stopa roviny alfa na rovine CDD", úsečka FC"" - stopa roviny alfa na čelnej strane CDD"C" a nakoniec úsečka C""K" - stopa roviny alfa na ploche BCC"B". V dôsledku toho dostaneme polygón KLTFC"" - požadovaný úsek. 
b)
(Obrázok Nakreslite rovinu cez priamku AC "- druhú danú priamku a bod P na prvej priamke. Toto je rovina ACC".
2). V rovine ACC" cez bod P nakreslíme priamku rovnobežnú s priamkou AC" a nájdeme bod C"" v ktorom táto priamka pretína priamku CC".
3). Pretínajúce sa čiary PQ a PC"" určujú rovinu alfa (rovinu C""PQ) - rovinu požadovaného rezu. Skonštruujme túto sekciu napríklad metódou trace. Jeden bod patriaci stope roviny alfa na rovine ABC, ktorý berieme ako hlavný, je už na výkrese. Toto je bod P. Nájdime ešte jeden bod tejto stopy.
štyri). Priemetom bodu C "" do roviny ABC je bod C a priemetom bodu Q je bod Q" - priesečník priamky CE s priamkou prechádzajúcou v rovine CEE "bodom Q rovnobežná s priamkou EE". Bod S „= C" „Q CQ" je druhým bodom hlavnej stopy roviny alfa. Hlavná stopa roviny alfa je teda priamka S „P. Pretína strany BC a AE podstavy hranola v bodoch S"" a S"""... Potom je segment S""S""" stopou sečnej roviny alfa na tvár ABCDE. A segment S""C"" je stopa roviny alfa na prednej strane BCC"B". Je ľahké vidieť, že priamky C"" Q a EE" ležia v rovnakej rovine. Nájdite bod E"" =C""Q EE". Potom je jasné získať ďalšie stopy roviny alfa: S"""S"", S"""T, TF a FC"". V dôsledku toho dostaneme polygón S""S"""TFC"" - požadovaný úsek.
v)
(kreslenie Cez druhú danú priamku - priamku BC "- a napr. cez bod P ležiaci na prvej danej priamke posunieme rovinu. Urobíme to stopovou metódou. Je ľahké zistiť, že hlavná stopa tejto roviny BC" P je priamka BP. Potom nájdeme bod S"=BP CD a stopu S"C" roviny BC"P a rovinu CDD".
2).V rovine BC "P cez bod P nakreslíme priamku rovnobežnú s priamkou BC". Priesečník nakreslenej čiary s čiarou S "C" je označený V.
3). Pretínajúce sa čiary PQ a PV definujú rovinu alfa (rovinu PQV) - rovinu požadovaného rezu. Poďme zostaviť túto sekciu.
štyri). Nájdeme body Q "a V" - priemet bodov Q a V do roviny ABC, ktorú berieme ako hlavnú rovinu. Potom nájdeme bod S""=QV Q"V". Toto je jeden z bodov hlavnej stopy roviny alfa. A už je tu ešte jeden bod tejto stopy. Toto je daný bod P. Čiara S "" P je hlavnou stopou roviny alfa a výsledný segment S "" "S" """ je stopou roviny alfa na ploche ABCDE. Ďalší priebeh stavby je jasný: S "" "" "=S""P CD, S"""""V, body C""=S"""""V CC" a F=S""" ""V C"D", potom FQ a bod T= FQ A"E" a nakoniec TS"""". V dôsledku toho dostaneme polygón S"""C""FTS"""" - požadovaný úsek.
Poznámka: Stručne načrtneme priebeh riešenia príkladu 3, c, v ktorom bol na prvej danej priamke zachytený bod Q a nie bod P (obrázok 22).
jeden). Postavíme rovinu BC"Q (toto je rovina BC"E").
2). Rovina BC"Q pretína rovinu ABC pozdĺž priamky BN rovnobežnej s C"E" (pre konštrukciu môžete použiť skutočnosť, že BN je rovnobežná s CE).
3). V rovine BC"Q cez bod Q nakreslíme priamku QM rovnobežnú s BC" (M=QM BN).
štyri). Zostrojíme rez hranolom rovinou definovanou pretínajúcimi sa priamkami PQ a QM. Môžete to urobiť v nasledujúcom poradí: MP, S"=MP AE a S""=MP BC, S""""=MP CE, C""=S""""Q CC", S""" C"", F=S"""C"" C"D", FQ, T=FQ A"E", TS. Polygón S""C""FTS"- požadovaný úsek.
2. Konštrukcia rezu prechádzajúceho daným bodom rovnobežným s dvomi danými šikmými čiarami.
Nech je potrebné zostrojiť rez mnohostenom rovinou prechádzajúcou daným bodom K rovnobežnou s dvomi danými šikmými čiarami l a m. O pozadie:#FFCCCC; border:outset #CC33FF 1,5pt">
1. Vyberme si nejaký bod W. (Tento bod môže ležať na jednej z uvedených šikmých čiar, môže sa zhodovať s bodom K.)
2. Nakreslite čiary l" a m" cez bod W. (Prirodzene, ak bod W leží na jednej z priamok, napríklad na priamke l, potom sa priamka l" zhoduje s priamkou l.)
3. Pretínajúce sa čiary l " a m " vymedzujú rovinu beta - rovinu pomocného rezu mnohostena. Postavíme časť mnohostenu pri rovine Betta.
4. Zostrojte rezy mnohostena rovinou alfa prechádzajúcou bodom K a rovnobežnou s rovinou beta.
Zvážte príklady aplikácie načrtnutého plánu.
PRÍKLAD 4
Na hrany AD a C"D" hranola ABCDA"B"C"D" nastavíme body P a Q a na hranu DD" bod K. Zostrojíme rez hranolom. s rovinou alfa prechádzajúcou bodom K rovnobežným s priamkou PQ a jednou z nasledujúcich priamok: a) AB; b) A "B; c) BR, ktorého bod R je daný na hrane A"D".
Riešenie. a)
(Obr. 2 Nech sa bod W zhoduje s bodom P.
2) V rovine ABC cez bod P nakreslite priamku rovnobežnú s priamkou AB. Nájdite bod E, v ktorom nakreslená čiara pretína čiaru BC.
3) Pretínajúce sa čiary PQ a PE vymedzujú rovinu beta - rovinu pomocného rezu. Zostrojme rez hranolom rovinou Betta. Priamy PE a body C"" a D"" sú stopy roviny Betta na priamkach CC" a DD". Potom postavíme priamku D "" P a získame bod F na hrane A "D". Rez hranola rovinou beta je teda - I polygón PEC "" QF.
4) Teraz postavíme rez hranolom rovinou alfa prechádzajúcou bodom K rovnobežným s rovinou beta. V dôsledku toho dostaneme trojuholník KLN - požadovaný úsek.
b)
(Obr. Nech sa bod W zhoduje s bodom Q. Ak chcete bodom Q nakresliť priamku rovnobežnú s priamkou A „B“, najprv nakreslite rovinu gama cez priamku A „B a bod Q. Urobme to takto cestu. Nájdite bod Q" - priemet bodu Q do roviny ABC a nakreslite priamku AQ". Je zrejmé, že AQ" je rovnobežná s A"Q. Teraz cez bod B v rovine ABC nakreslíme priamku l" rovnobežná s AQ". Pretínajúce sa priamky A"B a l" definujú rovinu gama. V rovine gama cez bod Q nakreslite priamku l"" rovnobežnú s A"B.
3) Pretínajúce sa priamky PQ a l "", je určená rovina beta - rovina pomocného rezu hranola. Poďme zostaviť túto sekciu. Aby sme to dosiahli, nájdeme bod S"=l", ktorý pretína l"", a potom priamku PS" - hlavnú stopu roviny Betta. Ďalej nájdeme bod s""=PS" pretínajúci CD a nakreslíme čiaru S""Q - stopa roviny beta na rovine CDD ". Získame bod D"" - stopa roviny beta na priamke DD". Bod D"" a bod P ležia v rovine ADD". Čiara PD"" je teda stopou roviny Betta na rovine ADD" a segment PF je stopou roviny Betta na ploche. PRIDAJ". Rez hranola rovinou beta je teda štvoruholník PS "" QF. (Všimnite si prosím: QF je rovnobežná s PS "". A je to, samozrejme, tak. Koniec koncov, základne hranola ležia v rovnobežných rovinách. Táto okolnosť by sa dala použiť pri konštrukcii rezu hranola rovinou Betta .)
4) Teraz postavíme rez hranolom rovinou alfa prechádzajúcou bodom K rovnobežne s rovinou beta. Toto zostavenie je jednoduché. V dôsledku toho dostaneme trojuholník KLN - požadovaný úsek.
v)
(Obr. Ako bod W zvolíme bod Q.
2) Nakreslite rovinu gama cez priamku BR a bod Q. Rovina gama pretína rovinu ABC pozdĺž priamky l "rovnobežnej s QR. Na zostrojenie priamky l" postavíme body R "a Q" - priemety bodov R a Q do roviny ABC - a nakreslite priamku Q "R", a potom v rovine ABC cez bod In vedieme priamku l" rovnobežnú s Q"R". V rovine gama cez bod Q vedieme priamku l"" rovnobežnú s BR. Získame bod S"=l" pretína l"".
3) Priesečníky PQ a l "" vymedzujú rovinu beta - rovinu pomocného rezu hranola. Poďme zostaviť túto sekciu. Je jasné, že priamka PS" je hlavnou stopou roviny Betta. Ďalej nájdeme body S""= PS" pretína CD, S"""= PS" pretína BC a C"" = QS"" pretína CC ". Získame segmenty PS"" ", S""C"" a C""Q- stopy roviny Betta, v tomto poradí, na stenách ABCD, BCC"B a CDD"C". Ďalej buď nakreslíme čiaru v rovine A "B" C "rovnobežnú so stopou PS" a získame bod F, alebo nájdeme bod D "" \u003d S" "Q pretína DD" a nakreslíme čiaru D "" P. Táto priamka pretína priamku A "D" v bode F. Získame teda ďalšie dve stopy roviny beta: QF n FP. Polygón PS"""C""QF je teda rez hranolu rovinou Betta.
4) Teraz postavme rez hranolom rovinou alfa prechádzajúcou bodom K rovnobežne s rovinou beta. V dôsledku toho dostaneme trojuholník KLN - požadovaný úsek.
PRÍKLAD 5.
Na hrany MB a MA pyramídy MABCD nastavíme body P a K a na úsečku AC bod Q. Zostrojíme rez pyramídy rovinou alfa prechádzajúcou bodom K rovnobežne. na riadok PQ a jeden z nasledujúcich riadkov: a) CD; b) MS; c) RV, ktorého body R a V nastavíme na hrany AB a MC ihlanu.
Riešenie.
a)
(Obr. 2V rovine ABC cez bod Q vedieme priamku rovnobežnú s priamkou CD, a. nájdite body S". S"" a S""", v ktorých táto priamka pretína priamky BC, AD a AB , resp.
2) Pretínajúce sa priamky PQ a S"S"" vymedzujú rovinu beta - rovinu pomocného rezu pyramídy. Zostrojme tento rez. Hlavnou stopou roviny beta je priamka S"S"". Segment PS" je stopa roviny Betta na ploche MBC, priamka PS""" je jej stopa na rovine MAB, segment PA" je na ploche MAB, segment A"S"" je na tvár MAD.
b)
(Obr. 27.) Daný úsek postavíme v tomto poradí:
1) V rovine MAC cez
bod Q nakreslíme priamku QA rovnobežnú s MC
2) Zostrojíme pomocný rez pyramídy rovinou, ktorá je určená o. Na tento účel nájdeme bod S"=PA" pretína AB, nakreslíme priamku S"Q, ktorá je hlavnou stopou roviny PQA", získame body S""=S"Q pretína AD a S"" "=S"Q pretína BC a spája bod A" s bodom S"" a bod P s bodom S""". Štvoruholník PA"S""S""" je pomocný rez pyramídy. Rovina tohto úsek je rovnobežný s priamkami PQ a MC, ale neprechádza bodom K .
3) Teraz zostrojme rez pyramídy rovinou prechádzajúcou bodom K rovnobežným s rovinou PQA ". V dôsledku toho dostaneme štvoruholník B" KFE - požadovaný rez.
a)
(Obr. 28.) Zostrojme daný rez pyramídy tak, že najprv zostrojíme pomocný rez jeho rovinou prechádzajúcou priamkou PQ rovnobežnou s priamkou RV. Urobme to v nasledujúcom poradí:
1) Zostrojte bod S "=PV pretína BC a nakreslite priamku S" R.
2) Priesečníky S "V a S" R určujú rovinu. V tejto rovine nakreslite čiaru PS"" cez bod P rovnobežnú s RV.
3) Pretínajúce sa čiary PQ a PS"" vymedzujú rovinu pomocného rezu pyramídy. Poďme zostaviť túto sekciu. Nájdeme postupne priamku S "" Q - hlavnú stopu roviny pomocného rezu, potom body T "=S" "Q pretína BC, T" "= S" "Q pretína AB a T" "" \u003d S" "Q pretína CD, nakreslíme potom čiaru T"P a nájdeme bod E \u003d T"P pretína "MC. Bod P spojíme s bodom T"" a bod E s T" "". Štvoruholník PT ""T" "" E je pomocný rez pyramídy Rovina tohto rezu je rovnobežná s priamkami PQ a RV, ale neprechádza bodom K. Teraz zostrojíme rez pyramídy. s rovinou prechádzajúcou bodom K rovnobežnou s rovinou pomocného rezu V dôsledku toho získame štvoruholník KV "C" D" - požadovaný rez.
Nájdenie plochy prierezu v mnohostenoch.
Úloha číslo 1.
Úloha č. 2
Úloha číslo 3.
Úloha číslo 4.
Úloha číslo 5.
Úloha číslo 6.
Úloha č.7
Úloha číslo 8.
Použitie vlastností podobných trojuholníkov.
Preto nižšie uvádzame niekoľko jednoduchých úloh, v ktorých hrajú podobné trojuholníky hlavnú úlohu, najmä preto, že ich tiež treba postaviť (a vidieť!!!) pomocou štandardnej stereometrickej techniky: jednu rovinu pretína druhá rovina a ich priesečník je skonštruované pozdĺž dvoch bodov spoločných pre roviny.
Úloha číslo 1.
Úloha č. 2
Úloha č. 3
Úloha č. 4
Úloha č. 5
Existujú štyri hlavné spôsoby, ako nájsť vzdialenosť medzi šikmými čiarami:
1) Nájdenie dĺžky spoločnej kolmice dvoch pretínajúcich sa priamok, teda úsečky s koncami na týchto priamkach a kolmej na obe.
2) Nájdenie vzdialenosti od jednej z pretínajúcich sa čiar k rovine rovnobežnej s ňou, ktorá prechádza druhou čiarou.
3) Nájdenie vzdialenosti medzi dvoma rovnobežnými rovinami prechádzajúcich danými šikmými čiarami.
4) Zistenie vzdialenosti od bodu - čo je priemet jednej z pretínajúcich sa priamok do roviny na ňu kolmej - k priemetu inej priamky do tej istej roviny.
Úloha č.18
Úloha č.19
Uveďte 4 možnosti riešenia tohto problému a vyberte najracionálnejšiu z nich. Svoj výber zdôvodnite.
Úloha #20
Úloha č.21
Úloha č.22
Nájdenie vzdialenosti a uhla medzi šikmými čiarami v mnohostene.
Úloha číslo 1.
Úloha číslo 2.
Úloha číslo 3.
prechádzajúcou bočnou hranou a stredom základne, ktorá sa s ňou pretína, a rovinou prechádzajúcou rovnakým stredom a stredom ktorejkoľvek inej bočnej hrany.
Sekcie.
Úloha číslo 1.
Úloha číslo 2.
Úloha číslo 3.
Dve protiľahlé hrany štvorstenu sú kolmé a ich dĺžky sa rovnajú a a b, vzdialenosť medzi nimi sa rovná c. Do štvorstenu je vpísaná kocka, ktorej štyri hrany sú kolmé na tieto dve hrany štvorstenu a na každej strane štvorstenu ležia práve dva vrcholy kocky. Nájdite hranu kocky.
Úloha číslo 4.
Úloha číslo 5.
Úloha číslo 6.
Úloha číslo 7.
Úloha číslo 8.
Úloha číslo 9.
Pomer objemov častí mnohostenu.
Úloha číslo 1.
Úloha číslo 2.
Úloha číslo 3.
Úloha číslo 4.
Projekcie a rezy pravidelných mnohostenov.
Úloha číslo 1.
Ukážte, že projekcie dvanásťstenov a dvadsaťstenov na roviny rovnobežné s ich stenami sú pravidelné mnohouholníky.
Úloha číslo 2.
Ukážte, že priemet dvanástnika do roviny kolmej na priamku prechádzajúcu jeho stredom a stredom hrany je šesťuholník (nie desaťuholník).
Úloha číslo 3.
a) ukazujú, že priemet dvadsaťstenu do roviny. kolmá na priamku prechádzajúcu jej stredom a vrcholom je pravidelný desaťuholník. b). Dokážte, že priemet dvanástnika do roviny kolmej na priamku prechádzajúcu jeho stredom a vrcholom je nepravidelný dvanásťsten.
Úloha číslo 4.
Existuje časť kocky, ktorá je pravidelným šesťuholníkom t?
Úloha číslo 5.
Existuje časť osemstenu, ktorá je pravidelným šesťuholníkom?
Úloha číslo 6.
Existuje časť dvanástnika, ktorá je pravidelným šesťuholníkom?
Úloha číslo 7.
Všetky steny ABC a ABD dvadsaťstenu majú spoločnú hranu AB. Cez vrchol D je vedená rovina rovnobežná s rovinou ABC. Je pravda, že rez dvadsaťstenom touto rovinou je pravidelný šesťuholník?
Odpovede na úlohy podľa témy:
4. Uhol medzi rovinami.
5. Sekcie
6. Pomer objemov častí mnohostenu.
7. Priemetne a rezy pravidelných mnohostenov.
1. Nájdenie plochy prierezu v mnohostenoch.
Riešenie problému
№1 №2 №3 №4 №5 №6 №7 №8
Úloha číslo 1.
https://pandia.ru/text/78/375/images/image040_59.gif" width="597" height="292 src=">
Úloha číslo 2.
https://pandia.ru/text/78/375/images/image042_56.gif" width="577" height="277 src=">
Úloha číslo 3.
https://pandia.ru/text/78/375/images/image044_53.gif" width="630" height="275 src=">
Úloha číslo 4.
https://pandia.ru/text/78/375/images/image046_49.gif" width="641" height="332 src=">
Úloha číslo 5.
https://pandia.ru/text/78/375/images/image048_46.gif" width="642" height="245 src=">
Úloha číslo 6.
https://pandia.ru/text/78/375/images/image050_46.gif" width="680" height="340 src=">
Úloha číslo 7.
https://pandia.ru/text/78/375/images/image052_47.gif" width="659" height="340 src=">left" style="margin-left: 6.75pt; margin-right: 6.75 pt">
2. Použitie vlastností podobných trojuholníkov.
Riešenie problému
№1 №2 №3 №4 №5
Úloha číslo 1.
https://pandia.ru/text/78/375/images/image055_46.gif" width="605" height="254">
2. prípad 
Úloha číslo 2.
https://pandia.ru/text/78/375/images/image058_41.gif" width="683" height="260 src=">
Úloha číslo 3.
https://pandia.ru/text/78/375/images/image061_42.gif" width="536" height="203">
https://pandia.ru/text/78/375/images/image063_41.gif" width="341" height="107 src=">MsoNormalTable">
Bod C patrí do roviny CB"A"D (pretože CD" je kolmá na C"D ako uhlopriečka štvorca a keďže B"C" je kolmá na rovinu CC"D"D, čo znamená, že B "C" je kolmé na CE), dostaneme CE je kolmé na B"C" a CE je kolmé na C"D). Potom nakreslíme EF kolmo na B"D a potom dostaneme B"D kolmé na CF (o veta o troch kolmičkách: CF je naklonená vzhľadom na rovinu AB"C"D, CE - kolmica a EF - priemet šikmej CF; potom je tiež kolmá na samotnú šikmú CF.) Keďže EF a CF patria k obom rovinám je požadovaný uhol phi (uhol CFE).
Po tomto odôvodnení nasleduje jednoduchá výpočtová časť.
"B" EF a D ""C" EF), v dôsledku čoho kolmice A "" M a D "" M, nakreslené na oboch obrázkoch k ich priesečníku, padnú do jedného bodu M, navyše vo vnútri a nie mimo hranola, pretože uhly B"A""D" a C"D""A sú tupé (B"D a viac BD=AC=A""C"" a C"A viac ako AC=BD=B" "D""). Ďalej po nájdení uhlopriečok a strán kosoštvorcov je možné nájsť segmenty A "" M a D "" M pomocou napríklad dvoch vzorcov pre oblasť kosoštvorca 
Poznámka: Samozrejme, v tomto a podobných problémoch nie sú potrebné žiadne rozmery mnohostenu (napríklad "a"), preto pri výbere číselných hodnôt parametra "k" pre rôzne varianty problému je obsah jeho stav na príslušnom mieste treba formulovať napríklad takto: „... v hranole, ktorého výška je toľkonásobne väčšia ako strana podstavy ... “ atď.
3. Nájdenie vzdialenosti a uhla medzi šikmými čiarami v mnohostene.
Riešenie problému
№1 №2 №3 №4 №5
Úloha číslo 1.
MsoNormalTable">
№1
Riešenie problému prvým spôsobom
navrhuje:
- ťažké zdôvodnenie, že požadovaná kolmica (h skr.) s koncami na dvoch daných priesečníkoch sa nachádza vo vnútri kocky (a nie mimo nej);
- približné určenie polohy tejto kolmice;
- hádajte, že zistíte dĺžku segmentu h skr. je potrebné pomocou vety o troch kolmici premietnuť ju na susedné plochy kocky, ku ktorým patria pretínajúce sa priamky (uhlopriečky) a až potom pristúpiť k jednoduchému riešeniu:
| 2.
Riešenie problému druhým spôsobom zahŕňa
nasledujúce akcie: |
Konštrukcia ďalšej sečnej roviny prechádzajúcej cez uhlopriečku B "D" a pretínajúcej druhú zo šikmých čiar A "C"; túto rovinu je vhodné zvoliť uhlopriečku BB "D" D k tomuto znamienku kolmosti dvoch rovín. roviny BB "D" D je kolmá na rovinu ACD", pretože rovina BB"D"D prechádza priamkou (B"D) kolmou na inú rovinu (ACD"). Ďalej sa vytvorí priesečník oboch rovín pozdĺž ich 2 spoločných bodov (D "O) a upevní sa priesečníkom tejto priamky s uhlopriečkou B" D (bod N);
-a nakoniec podľa vety, že ak je rovina kolmá na jednu z rovnobežiek, tak je kolmá aj na druhú, z bodu O "patrí do A"C" kreslíme v rovine rezu BB"D. "D k priesečníku s D"O segment O "M je rovnobežný s B"D; v tomto prípade bude O "M kolmá na rovinu ACD" a teda O "M \u003d h kr.;
- potom vo výpočtovej časti riešenia, po zvážení časti BB "D'D a v nej - pravouhlého trojuholníka OO'D", nájdeme: Ako vidíte, obe prvé metódy sú málo použiteľné pre úlohy, ktoré predstavujú aspoň určitú zložitosť
| 3.
Riešenie problému tretím spôsobom zahŕňa
: |
A nakoniec, vo výpočtovej časti riešenia môžete použiť trik z predchádzajúcej metódy riešenia alebo sa uchýliť k podobnosti trojuholníkov:
| 4.
Riešenie problému štvrtým spôsobom zahŕňa: |
Úloha číslo 3.
V tejto úlohe je pre výber metódy riešenia určujúcim faktorom kolmosť priamky AC na diagonálnu rovinu ВB'D'D (pretože AC je kolmá na ВD a AC je kolmá na BB'), ku ktorej sa viaže ďalšia priamka B 'F patrí, t. j. sečná rovina BB' D'D je vhodná na jej výber ako rovinu premietania. A potom nasleduje jednoduchá časť výpočtu:
jeden). Z podobnosti trojuholníka DFT a trojuholníka D'FB' zistíme DT = kd;
2). Z podobnosti trojuholníka NOT a trojuholníka BB'T zistíme ON: 
Úloha číslo 4.
Tento problém je tu prezentovaný na demonštráciu aplikácie druhej metódy (zostrojenie kolmice z prvej čiary na rovnobežnú rovinu obsahujúcu druhú čiaru) na najjednoduchšie situácie lokalizácie šikmých čiar v takom zložitom mnohostene, akým je pravidelný šesťhranný hranol.
https://pandia.ru/text/78/375/images/image077_33.gif" width="186" height="87 src=">
Úloha číslo 5.
https://pandia.ru/text/78/375/images/image079_29.gif" width="347" height="326 src=">
5. Sekcie.
Riešenie problému
№1 №2 №3 №4 №5 №6
Úloha číslo 1.
V každom prípade body A, B a C ležia v rovnakej rovine, a preto môžeme uvažovať rez rovinou obsahujúcou tieto body. Pretože rovina rezu prechádza bodom dotyku gúľ (gule roviny) a rez sa ukazuje ako dotyčnica ku kružnici (kružnici a čiare). Nech O' a 0'' sú stredy prvého a druhého kruhu. Od O'A || 0''B a body O', C a 0'' ležia na jednej priamke, uhol AO'C = uhol BO''C. Preto uhol ACO' = uhol BCO'', t.j. body A, B a C ležia na tej istej priamke.
Úloha číslo 2.
Osovým rezom tohto zrezaného kužeľa je opísaný lichobežník ABCD so základňami AD = 2R a BC = 2r. Nech P je dotykový bod vpísanej kružnice so stranou AB, O je stred vpísanej kružnice. V trojuholníku ABO je súčet uhlov vo vrcholoch A a B 90°, takže je pravouhlý. Preto AP: RO - RO: BP, t.j. PO'2 = AP * BP. Je tiež jasné, že AP = R a BP = r. Preto sa polomer RO gule vpísanej do kužeľa rovná druhej odmocnine súčinu R a r, a teda S = 4п(R2 + Rr+ r2). Vyjadrením objemu tohto zrezaného kužeľa pomocou vzorcov dostaneme, že plocha jeho celkového povrchu sa rovná 2n(R2 + Rr + r2) = S/2 (treba vziať do úvahy, že výška zrezaného kužeľa sa rovná dvojnásobku polomeru gule, okolo ktorej je opísaná).
Úloha číslo 3.
Spoločná kolmica k týmto hranám je rozdelená rovinami stien kocky rovnobežnými s nimi na segmenty dĺžky y, x a r (x je dĺžka hrany kocky; segment dĺžky y susedí s okraj a). Roviny plôch kocky, rovnobežné s týmito hranami, pretínajú štvorsten v dvoch obdĺžnikoch. Menšie strany týchto obdĺžnikov sa rovnajú hrane kocky x. Keďže strany týchto obdĺžnikov sa dajú ľahko vypočítať, dostaneme x = bu/c a x = az/c. Preto c=x+y+r=x+cx/b + ex/a, teda x=abc/(ab + bc + ca).
Úloha číslo 4.
Každá strana výsledného mnohouholníka patrí jednej z plôch kocky, takže počet jej strán nepresahuje 6. Okrem toho sú strany prislúchajúce protiľahlým stenám kocky rovnobežné, pretože priesečníky rovina s dvoma rovnobežnými rovinami sú rovnobežné. Preto rezom kocky nemôže byť pravidelný päťuholník, pretože nemá rovnobežné strany. Je ľahké skontrolovať, či pravidelný trojuholník, štvorec a pravidelný šesťuholník môžu byť časťami kocky.
Úloha číslo 5.
Uvažujme kružnicu, ktorá je rezom daného telesa a nakreslite čiaru l cez jej stred kolmo na jej rovinu. Táto čiara pretína dané teleso pozdĺž nejakého segmentu AB. Všetky úseky prechádzajúce priamkou l sú kružnice s priemerom AB.
Úloha číslo 6.
Uvažujme ľubovoľný úsek prechádzajúci vrcholom A. Tento úsek je trojuholník ABC a jeho strany AB a AC sú generátormi kužeľa, t.j. majú konštantnú dĺžku. Preto je plocha prierezu úmerná sínusu uhla BAC. Uhol BAC sa mení z 0° na φ,
MsoNormalTable">
Úloha číslo 2.
Uvažujme kocku, ktorej vrcholy sú umiestnené vo vrcholoch dvanástnika. V našom probléme hovoríme o priemete do roviny rovnobežnej s plochou tejto kocky. Teraz je ľahké overiť, že priemet dvanástnika je skutočne šesťuholník (obr. 70).
Úloha číslo 3.
a) Uvažovaný priemet dvadsaťstenu prechádza do seba po otočení o 36° (v tomto prípade priemetne horných plôch prechádzajú do priemetov dolných plôch). Preto ide o pravidelné 10-uhlie (obr. 71, a).
b) Uvažovaný priemet dvanásťstena je 12-uholník otáčajúci sa do seba pri pootočení o 60° (obr. 71. b). Polovica jej strán sú priemety hrán rovnobežných s rovinou premietania a druhá polovica strán sú priemety hrán, ktoré nie sú rovnobežné s rovinou premietania. Preto je tento 12-uholník nepravidelný.
MsoNormalTable">
Úloha číslo 4.
Existuje. Stred znázorneného na obr. 72 hrán kocky sú vrcholy pravidelného šesťuholníka. Vyplýva to zo skutočnosti, že strany tohto šesťuholníka sú rovnobežné so stranami pravidelného trojuholníka PQR a ich dĺžky sú polovičné ako dĺžky strán tohto trojuholníka.
Úloha číslo 6. Existuje. Zoberieme tri päťuholníkové plochy so spoločným vrcholom A a uvažujeme rez rovinou, ktorá tieto plochy pretína a je rovnobežná s rovinou, v ktorej ležia tri párové spoločné vrcholy uvažovaných plôch (obr. 74). Táto časť je šesťuholník s párovo rovnobežnými protiľahlými stranami. Pri otočení o 120° okolo osi prechádzajúcej vrcholom A a kolmej na rovinu rezu prechádzajú dvanásťsten a rovina rezu do seba. Úsek je teda konvexný šesťuholník s uhlami 120°, ktorého dĺžky pri striedaní nadobúdajú dve hodnoty. Aby bol tento šesťuholník pravidelný, stačí, aby sa tieto dve hodnoty zhodovali. Keď sa rovina rezu pohybuje z jednej zo svojich extrémnych polôh do druhej, pričom sa vzďaľuje od vrcholu A, prvá z týchto hodnôt sa zvyšuje z 0 na d a druhá klesá z d na a, kde a je dĺžka okraj dvanástnika. (d je dĺžka uhlopriečky tváre (d je väčšia ako a). Preto sú v určitom bode tieto hodnoty rovnaké, to znamená, že úsek je pravidelný šesťuholník. |
|
Úloha číslo 7.
Nie, nie je to pravda. Zvážte projekciu dvadsaťstenu do roviny ABC. Je to pravidelný šesťuholník (pozri obr. 69). Preto by uvažovaný rez bol pravidelným šesťuholníkom iba vtedy, ak by všetkých 6 vrcholov spojených hranami s bodmi A, B a C (a odlišných od A, B a C) ležalo v rovnakej rovine. Ale, ako môžete ľahko vidieť, nie je to pravda (inak by sa ukázalo, že všetky vrcholy ikosahedru sú umiestnené v troch rovnobežných rovinách).
ÚLOHY
|
2. Použitie vlastností podobných trojuholníkov.
Riešenie problému
№1 №2 №3 №4 №5
Úloha číslo 1.
https://pandia.ru/text/78/375/images/image055_46.gif" width="605" height="254">
2. prípad
Úloha číslo 2.
https://pandia.ru/text/78/375/images/image058_41.gif" width="683" height="260 src=">
Úloha číslo 3.
https://pandia.ru/text/78/375/images/image060_43.gif" width="570" height="264 src=">
Úloha číslo 4.
https://pandia.ru/text/78/375/images/image063_41.gif" width="341" height="107 src=">right">
Načítava...